伯努利-欧拉错排问题的思考与推广

伯努利伯努利 欧拉错排问题的思考与推广欧拉错排问题的思考与推广 1 1 论文由来 论文由来 学期初的时候 曾在作业题上见过这样一个题 假设有学期初的时候 曾在作业题上见过这样一个题 假设有 n n 个人同时个人同时 间去一家影院看电影 每人一张电影票 且放映室内恰有间去一家影院看电影 每人一张电影票 且放映室内恰有 n n 个位置 个位置 若这若这 n n 个人随意坐到这个人随意坐到这 n n 个座位上 求至少有一个人手里的电影票个座位上 求至少有一个人手里的电影票 的座位号码恰与他实际所坐位置的座位号码相同的概率 的座位号码恰与他实际所坐位置的座位号码相同的概率 记得当时我们解这个题的方法是用记得当时我们解这个题的方法是用 减法原理减法原理 即 即 P 1 虽然用这种方法把题目解决了 但这个方法却只能解决类似虽然用这种方法把题目解决了 但这个方法却只能解决类似 至少至少 有一个人有一个人 至少有一次至少有一次 等等的问题 适用性未免狭隘 所以我等等的问题 适用性未免狭隘 所以我 心里一直想寻找一种更为简便 适用性更广的方法 后来经过查询心里一直想寻找一种更为简便 适用性更广的方法 后来经过查询 相关资料 发现这类问题竟然大有来头 早在相关资料 发现这类问题竟然大有来头 早在 300 多年前就有人研多年前就有人研 究过了 这类问题被称为究过了 这类问题被称为 装错信封问题装错信封问题 2 背景资料 背景资料 装错信封问题装错信封问题 被著名数学家欧拉称为被著名数学家欧拉称为 组合数论的一个妙题组合数论的一个妙题 它 它 是由当时的数学家约翰是由当时的数学家约翰 伯努利的儿子丹尼尔伯努利的儿子丹尼尔 伯努利提出来的 伯努利提出来的 大意如下 大意如下 1 个人写了个人写了 n n 封不同的信 又写了封不同的信 又写了 n n 个不同的信封 如个不同的信封 如 果他将这果他将这 n n 封信都装错了信封 问都装错信封的方法共有多少种 封信都装错了信封 问都装错信封的方法共有多少种 并由此衍生出了相关的匹配问题 并由此衍生出了相关的匹配问题 3 3 同一本质的两种解法 同一本质的两种解法 在查阅资料时 发现了一种直接给出的 看似比上文的方法更加简在查阅资料时 发现了一种直接给出的 看似比上文的方法更加简 便的解法 便的解法 P 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 即即 P 1 1 1 但是 实际上与前文的解法本质上是相同的 只是列写上稍有区别 但是 实际上与前文的解法本质上是相同的 只是列写上稍有区别 理由如下 理由如下 第一种解法中的第一种解法中的 P 继续化简可得继续化简可得 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 11 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 即为第二种方法即为第二种方法 1 1 1 所以说这两种方法是同一种解法的不同列写方式而已 所以说这两种方法是同一种解法的不同列写方式而已 4 4 推广 推广 1 1 这这 n n 个人中无一人坐到了电影票所注明位置上的概率为个人中无一人坐到了电影票所注明位置上的概率为 P 2 1 证明 证明 因为此事件的对立事件恰为因为此事件的对立事件恰为 至少有一个人手里的电影票的座位号至少有一个人手里的电影票的座位号 码恰与他实际所坐位置的座位号码相同码恰与他实际所坐位置的座位号码相同 所以根据对立事件原理 所以根据对立事件原理 P 得证得证 1 1 1 1 1 2 1 2 刚好有刚好有 r r 个人坐到了电影票所注明位置上的概率 个人坐到了电影票所注明位置上的概率 0 为为 P 1 2 1 证明 证明 某指定的某指定的 r r 个人坐到了电影票所注明位置上的概率为个人坐到了电影票所注明位置上的概率为 1 1 由 由 1 1 式可得 其余 式可得 其余 n rn r 个人无一人坐到了电影票所注明位置上的个人无一人坐到了电影票所注明位置上的 概率为概率为 2 2 1 又因为这又因为这 r r 个人是从个人是从 n n 个人中任意选取的 所以其共有个人中任意选取的 所以其共有种取法种取法 所以有所以有 P 得证得证 1 2 1 2 1 1 2 1 显然 当显然 当 r 0 时 就等于 时 就等于 1 式 式 可以发现 推论 可以发现 推论 2 2 中引入了 中引入了 r r 后 使得推论 后 使得推论 2 2 比起原先解法 比起原先解法 以及推论 以及推论 1 1 更具有适用性 更具有适用性 5 5 总结 总结 将自己感兴趣的问题与数百年前的将自己感兴趣的问题与数百年前的 装错信封问题装错信封问题 结合起来思考 结合起来思考 并加以推广 也能得到很有意义并更具适用性的结论 并加以推广 也能得到很有意义并更具适用性的结论 概率论别有洞天 数学之美永无止境 概率论别有洞天 数学之美永无止境 参考文献 参考文献 1 1 李萍 叶鹰李萍 叶鹰 应用概率统计应用概率统计 北京北京 科学出版社科学出版社 20132013 2