海南省2015年中考数学科第23题解法赏析

1 海南省 2015 年中考数学试题第 23 题解法赏析 孙孝武 海南省教育研究培训院 邓之淮 海南省文昌中学 陈 文 海南华侨中学 海南省 2015 年中考数学试题整体难度比去年有所下降 第 23 题是以菱形为基本图形 通 过添加适当的辅助线 转化为综合考查三角形 四边形等图形的性质与图形变换等核心知识的 一道 压轴题 解题方法灵活多样 关注对数学思想方法与学生探究能力的考查 并有一定 的梯度和区分度 又是海南省 2015 年数学中考试题的一大亮点 一 试题解析一 试题解析 海南省 2015 年初中毕业生学业考试数学科试题第 23 题为 此题设置分三个小题四个问题 第 1 小题内容是全等三角形的证明 属基础题型 考 查学生最基本的几何推理能力 第 2 小题实质是求两条线段的比值问题 可以通过添加常 规辅助线构造相似三角形 利用相似三角形的性质 三角形中位线或解直角三角形等知识来求 解 主要考查学生对核心数学知识与数学基本技能的理解与掌握 第 3 小题设置两个问题 主要考查学生对核心数学知识与思想方法的深层次掌握和理解 其中证明 MON 是等腰三角 形 由于图形变化 给学生添加辅助线解决问题带来干扰 使得难度增加 直接写出 MON 的度数 则是突出了对学生的探究问题 转化与综合解决问题能力的考查 难度系数 更高 题目中的三个问题的难度呈 易 中 难 分布 能满足不同数学能力的学生解答 渗 透了 猜想 数学建模 化归和数形结合 等重要数学思想方法 不乏基础知识与基本方法却 又有较高的思维含量 作为 压轴题 之一 是有一定的区分度和选拔功能的 D C B A P O K 图 9 1 E N E D C B A P O K M 图 9 2 23 满分 13 分 如图 9 1 菱形 ABCD 中 点 P 是 CD 的中点 BCD 60 射线 AP 交 BC 的延长线于点 E 射线 BP 交 DE 于点 K 点 O 是线段 BK 的中点 1 求证 ADP ECP 2 若 BP n PK 试求出 n 的值 3 作 BM AE 于点 M 作 KN AE 于点 N 连结 MO NO 如图 9 2 所示 请证明 MON 是等腰三角形 并直接写出 MON 的度数 2 二 解法赏析二 解法赏析 第 1 小题是基础题型 是全等三角形的证明 属基本几何推理能力的考查 学生答题 得分率较高 第 2 3 小题都需要添加辅助线 有一定的难度和技巧 学生答题思维空 间广阔 解法灵活多样 大放异彩 下面就第 2 3 小题收集了学生的部分解法与大家 赏析 第 2 小题是中等难度的题目 其解法多种多样 其方法是围绕着点 P 是边 CD 的中点 中 O 是线段 BK 的中点构造平行线 利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质进行论 证 解法一 解法一 过点 C 作 CI BK 交 DE 于点 I 点 P 是 CD 的中点 CI 2PK 又由 1 知 ADP ECP AD CE BC 即点 C 是 BE 的中点 BK 2CI BK 4PK BP 3PK n 3 解法二 解法二 连接 OC 四边形 ABCD 是菱形 AD BC 又由 1 知 ADP ECP CE AD BC 即点 C 是 BE 中点 又点 O 是线段 BK 的中点 BO OK CO DE OCP KDP 点 P 是菱形 ABCD 边 CD 上的中点 CP DP 又 CPO DPK CPO DPK ASA PK PO OK 2 1 设 PK x 则 PO x BO OK 2x 则 BP 3x 即 BP 3PK 即 n 3 点评 点评 这两种方法是通过作平行线构造相似三角形 利用三角形的中位线及相似三角形的相似 D C B A P O K 图 9 1 E I D C B A P O K 图 9 1 E 3 比的性质来求解 是常规解法 大部分学生都选择了这种方法 还可以过点 P 作 PI CE或 PI DE 等 解法三 解法三 连接 AC 由 1 知 AD CE 四边形 ABCD 是菱形 AD BC AD BC 四边形 ACED 是平行四边形 AC DE 由 AD CE AD BC 可得 BC CE 又点 O 是 BK 的中点 AC 过点 O BO OK 又平行四边形 ACED 是中心对称图形 PK PO BO 2PK BP 3PK 即 n 3 点评 点评 这也是改卷中发现学生用得比较多的方法 通过连接 AC 构造平行四边形 巧妙利用 平行四边形的中心对称性解决问题 不足之处是大部分学生在连接 AC 后即默认经过点 C 没 有说明 A O C 三点共线 这是一个难点 解法四 解法四 由 1 知 ADP ECP AD CE 四边形 ABCD 是菱形 BCD 60 CD BC CE CDE CED 30 连接 BD 则 BCD 是等边三角形 又点 P 是 CD 的中点 BPC DPK 90 设 PC x 则 PD x 则 BP x tan60 x3 PK x tan30 x 3 3 D C B A P O K 图 9 1 E D C B A P O K 图 9 1 E 4 则 3 n 3 3 3 3 PK BP 点评 点评 这种方法是通过连接 BD 构造特殊的等边三角形 BCD 和直角三角形 BDP DPK 进 而利用解直角三角形的知识来求线段 BP PK 的长 关键在于设其中条边作为中间量 如 PC x 第 2 小题是属中等难度的题目 是学生常见的 学生的解答也非常精彩 除了这四种 方法 还有几种方法可解此题 第 3 小题 证明 MON 是等腰三角形 并直接写出 MON 的度数 这道题难度是比较大的 鉴于整体难度的考虑 MON 的度只要学生直接 写出 证法一 证法一 过点 O 作 OG AE 于点 G 又 BM AE KN AE BM OG KN 点 O 是线段 BK 的中点 点 G 是线段 MN 的中点 OM ON 即 MON 是等腰三角形 点评 点评 这是标准答案给出的解法 通过作 OG AE 构造平行线 利用平行线分线段成比例定 理和等腰三角形三线合一等知识来求解 是本题最简洁的证法 但由于平行线分线段成比例定 理是课标刚列入要求掌握的的知识 学生基本上没有用这种方法来解答 其解答的方法有 全 等三角形的性质定理 中垂线性质定理 直角三角形中线定理 等 证法二 证法二 延长 NO 交 BM 于点 G 又 BM AE KN AE BM KN GBO NKO BGO KNO 点 O 是线段 BK 的中点 BO KO BOG KON AAS GO NO 又由 BM AE 得 GMN 是直角三角形 MO GO NO OM ON 即 MON 是等腰三角形 N E D C B A P O K M 图 9 2 G N E D C B A P O K M 图 9 2 G N E D C B A P O K M 图 9 2 G 5 证法三 延长 MO KN 交于点 G BM AE KN AE BM KN 即 BM KG MBO GKO BMO KGO 点 O 是线段 BK 的中点 BO KO BOM KOG AAS MO GO 又由 KN AE 得 GMN 是直角三角形 MO GO NO OM ON 即 MON 是等腰三角形 点评 点评 证法二 证法三与证法一的思路完全不同 主要是通过线段中点构造全等三角形 得 到 OM 或 ON 分别是直角三角形斜边上的中线 然后利用 直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 来求解 证法四 证法四 过点 O 作 HG BM 于点 G 交 KN 延长线于点 H 又 BM AE KN AE BM KN 即 BM KH GBO HKO BGO KHO 点 O 是线段 BK 的中点 BO KO BOG KOH AAS GO HO 又 HG BM 于点 G 交 KN 延长线于点 H MGO NHO 90 由 BM AE GMN 90 四边形 MNHG 是矩形 GM HN MOG NOH SAS MO NO 点评 点评 这又是一种新的解法 本题第 2 3 小题考查的知识点全面 解题方法灵活多样 N E D C B A P O K M 图 9 2 G H 6 思路可以完全不同 留给学生广阔的思维空间 这就是本题的魅力所在 第 3 小题 MON 120 由 2 知 BP 3PK 又点 O 是线段 BK 的中点 设 PK x 则 BO OK 2x BP 3x HG BM BM AE HG AE 即 OG PM 3 2 BP BO BM BG PM GO 即 GO PM BG BM MG BM 3 2 3 2 3 1 设 PC y 则 BC AB 2y 则 BP y 22 PCBC 3 由 AB CD BP CD 可得 ABP 是 Rt AP y 22 BPAB 7 又 BM AE BP2 PM AP PM y AP BP2 7 7 3 GO PM y 3 2 7 7 2 在 Rt BMP 中 BM y 22 PMBP 21 7 2 MG BM 3 1 21 21 2 tan MOG GO MG y y 7 7 2 21 21 2 3 3 MOG 30 OG PM OMN MOG 30 ONM 30 MON 120 N E D C B A P O K M 图 9 2 G 7 点评 点评 这个问题具有较强的探究性 由于解答过程比较复杂 不要求学生写出推理过程 这样 学生可以通过测量 猜想 探究 推理等多种方法来求解 这也是对学生平时学习数学的方法 的考查 符合新课程的理念 改卷时发现学生的得分率较高 2015 年中考第 23 题每一个小题都有许多种解法 考查的知识点多 蕴含着非富的数学思 想方法 解法入口宽 灵活多变 较好地考查了学生所掌握的数学思想方法 较好地考查了学 生的分析 解决问题的能力 而且几个小题呈易到难排列 对应不同数学能力的学生 有很好 的区分度 三 评卷情况反馈三 评卷情况反馈 本题平均得分 2 67 满分人数 253 人 得分为 4 分和 7 分的学生人数较多 高分段的人数 明显偏少 从评卷情况来看 学生答题的不足之处及主要的扣分点如下 1 学生全等三角形的证明推理过程不够严密 证明过程不完整 2 常规 常见的添加辅助线的方法掌握不好 未能作适当的辅助线解决问题 3 未能从较复杂的图形中抽象出基本图形 从而将复杂的问题转化为简单的问题来解答 4 受思维定势的影响 学生灵活综合运用数学知识解决问题的能力较弱 四 教学启示四 教学启示 由以上评卷反馈情况 给我们平时的教学以下启示 1 要夯实几何入门的基础教学 培养学生良好的学习习惯和思维习惯 全等三角形的证明是几何演绎推理最核心的 最基础的知识 但是在改卷中我们发现许多 学生只要一个或两个条件就试图证明两个三角形全等 也有一部分学生是想当然地直接写出三 个条件 书写也不规范 这些问题的出现就是学生在平时的学习中没有养成良好的学习习惯和 思维习惯 对所学的知识一知半解 思考问题不严密 因此 夯实几何推理的入门教学 培养 学生良好的学习和思维习惯尤为重要 2 注重数学思想的教学和学习方法的指导 锻炼学生的思维能力 作为每年中考的 压轴题 纵观第 23 题的设置 三个小题之间是步步深入 层层递进的 发现其内在联系 前为后用 对解答有着十分重要的作用 而且在面对复杂图形或问题的解决 时 往往需要从较复杂的几何图形中抽象出基本图形 从而将复杂的问题转化为简单的问题来 解答 同时 还要明确目标 通过添加辅助线等构造出所需要图形 以帮助求解 这对学生来 说最难的 中考数学特别突出对数学思想和方法的考查 因此 在平时的教学中一定要注重数 学思想的渗透 让学生从中体验 归纳解题中常见的数学思想和方法 如常用的化归 建模 分类和数形结合等 也要让学生学会解决数学问题的方法 如测量 猜想 探究和推理等 锻 炼学生思维的灵活性 提高学生综合解决问题的能力 3 初三毕业总复习