概率论与数理统计C复习提纲

第一部分第一部分 基本概念和基本定理基本概念和基本定理 内容提要内容提要 红色字体部分为复习重点 随机试验 样本空间 样本点 随机事件 基本事件 复合事件 必然事件 不可能事件 事件的关系和运算 包括相容性 独立性 基本 概念 随机 事件 事件的 概率 频率 波动性 稳定性 概率 统计定义 三条基本性质及推论 实际推断原理 概率的直接计算 古典概型 几何概型 基本 定理 加法 定理 乘法 定理 公式 2 1 2 1 2 1 条件概率 乘法定理 全概率公式和贝叶斯公式 释疑解惑释疑解惑 问题问题 1 与是否相等 ABAB 答 不一定相等 由对偶律可知 而 ABABAB ABAB 问题问题 2 事件的相容性与独立性在逻辑上是否存在因果关系 答 如下表所示 事件的相容性与独立性在逻辑上不存在因果关系 特例结论 和 其中A 0 1P A 独立且相容 和 其中A 0 1P A 独立但不相容 和 其中AA0 1P A 不独立不相容 和 其中AB0 1P A P B 若独立 则相容 A B A B 等价地 若不相容 则不独立 A B A B 问题问题 3 设 同时成立 P ABP A P B P ACP A P C P BCP B P C 能否推出成立 P ABCP A P B P C 答 不能 例如第 2 章课件中的伯恩斯坦反例 由此可以看出 两两独立 和 相互独立 并不等价 问题问题 4 下列式子中的等号何时成立 P ABP AP BP AB P AP BP A P B A P AP BP A P B P AP B 答 第一个等号总成立 当时 第二个等号成立 当独立时 第三个等号 0P A A B 成立 当不相容时 第四个等号成立 A B 问题问题 5 不可能事件与零概率事件是否相等 必然事件与概率为 1 的事件是否相等 答 不可能事件是零概率事件 但反之不然 必然事件是概率为 1 的事件 但反之亦不然 第二部分第二部分 随机变量及其分布随机变量及其分布 内容提要内容提要 红色字体部分为复习重点 联合分布 三种刻画 分布函数的四条基本性质 边缘分布 三种刻画 条件分布 三种刻画 分布函数 定义及三条基本性质 一维 随机 变量 一般 刻画 离散型 分布律 两条基本性质 连续型 密度函数 两条基本性质 二维 随机 变量 三种 概率 分布 随机变量的函数的分布 和的分布 公式 5 36 5 39 5 40 商的分布 公式 5 41 5 41 最大 小 值的分布 P 151 特殊 刻画 随机变量 的分类 离散型 非离散型 连续型 其它 数学 刻画 随机变量的函数的分布 解题思路 P 97 例 5 6 相互 关系 相互 关系 随机变量的独立性 判定方法 P 130 定义 1 及公式 5 18 5 21 释疑解惑释疑解惑 问题问题 1 离散型随机变量与连续型随机变量的联系与区别 答 离散型随机变量连续型随机变量 分布函数 k k xx F xPxPx 分布函数不连续 存在跳跃间断点 x F xPxf t dt 分布函数一定是连续函数 分布律 与 密度函数 0 1 2 i pi 1 1 i i p 从而一定成立 01 i p 0f x 1f x 但不一定成立 0 1f x 连续型随机变量还具有一个特殊性质 即任一基本事件发生的概0 0CPC 率为零 从而可以推出下列结论 不可能事件是零概率的事件 但反之不然 必然事件是概率为 1 的事件 但反之亦不 然 b a P abP abP abP abf x dx 问题问题 2 连续型随机变量的密度函数是否一定是连续函数 答 不一定 均匀分布的密度函数并不连续 问题问题 3 分布曲线 曲面 是分布函数的图像吗 答 不是 分布曲线 曲面 是密度函数的图像 问题问题 4 密度函数是否由分布函数唯一确定 何时成立 d F xf x dx 答 不是 因为修改密度函数在个别点处的函数值对其积分的值 概率 没有影响 对的连续点 有 f x d F xf x dx 问题问题 5 联合分布 边缘分布 条件分布之间的联系与区别 答 从分布函数的定义来看 分布函数几何意义 联合分布 F x yPxy 边缘分布 F xPxF x 条件分布 对使得的点 这个条件不能少 0fy y Pxy Fx yPxy Py 从分布律的定义来看 分布律几何意义 联合分布 ijij Pxyp 边缘分布 1 iiji j Pxpp 条件分布 当时 0 i p ij ji i p Pyx p 边缘分布律体现为同一行概率求和 条件分布律体现为在同一行概率中所占的比重 ij p 注意 条件分布中 的条件不能少 0 i p 从密度函数的定义来看 密度函数几何意义 联合分布 f x y 边缘分布 fxf x y dy 条件分布 对使得的点 0fy y f x fx y y yf 注意 条件分布中 的条件不能少 0fy 三种概率分布之间的相互转化关系是 问题问题 6 给定二维随机变量 何时可以由和的边缘分布完全确定联合分布 答 当和相互独立时 可以由边缘分布完全确定联合分布 问题问题 7 已知二维随机变量的边缘分布是正态分布 能否由此确定联合分布是二维 正态分布 答 不能 反例请参考 P 146 例 19 第三部分第三部分 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 内容提要内容提要 复习重点 期望 方差 协方差 相关系数的性质 1 期望和方差的定义 性质 随机变量 离散型 分布律 ii Pxp 1 2 i 连续型 密度函数 f x 期望E 1 ii i Ex p 要求级数绝对收敛 Ex f x dx 要求积分绝对收敛 函数的期望 Eg 1 ii i Egg x p 要求级数绝对收敛 Egg x f x dx 要求积分绝对收敛 方差D 2 1 22 1 ii i ii i DxEp x pE 2 22 DxEf x dx x f x dxE 期望的性质方差的性质 E CC 0D C E CCE 2 D CC D EEE 2 DDvDCo EEECov 切比雪夫不等式 22 2 DEEEE 当且仅当 其中0D 1PC EC 不相关不相关 独立独立 相关相关 2 协方差和相关系数的定义 性质 协方差 CovEEE EEE 相关系数 Cov r DD 对称性 CovCov 特别地 CovD 对称性 rr 线性性质 Cov abab Cov 1212 CovCovCov ab ab rr ab 若和独立 则 但反 0Cov 之不然 2 CovD D 随机变量不相关的四种等价定义 0Cov 0r EEE DDD 等号成立当且仅当和之间 1r 有严格的线性关系 释疑解惑释疑解惑 问题问题 1 是否所有随机变量都存在数学期望 答 不是 反例请参考 P 74 例 22 及 P 98 例 7 因为方差本质上是随机变量的函数的期望 所以并非所有随机变量都存在方差 问题问题 2 随机变量的不相关性与独立性是否等价 答 不相关 是指两个随机变量之间不存在线性函 数的关系 独立 是指两个随机变量不存在任何关 系 如图所示 独立的随机变量一定不相关 但不相 关的随机变量可能并不独立 特例 若 则 22 1212 Nr 和独立和不相关 0r 若 显然和独立 22 1212 0 N 进一步 记 于是 2 11 N 2 22 N 22 1212 N 更一般地 若 和独立 记 则 2 1 2 iii Nin i j 1 n ii i ab 其中 2 N 1 n ii i ab 222 1 n ii i a 问题问题 3 设 根据正态分布的法则可得 而根 2 N 3 30 9973P 据切比雪夫不等式可得 如何看待这两个结果 8 3 9 P 答 只要知道随机变量的期望和方差 不必知道分布 利用切比雪夫不等式就可以估计出 的下界 若利用的具体分布可以得到更加精确的结果 P 第四部分第四部分 常见的概率分布常见的概率分布 内容提要内容提要 复习重点 常见的概率分布 离散型 连续型 1 常见的离散型随机变量 分布名称 记号 概率分布性质 二项分布 B n p kkn k n PkC p q 其中 0 1 kn 0p q 1pq 两点分布是二项分布的特殊情形 其分布 列为 10 pq Enp Dnpq P 63 定理 2 P 66 定理 3 泊松定理 泊松分布 P k Pke k 其中 0 1 2 k 0 P 66 定理 3 泊松定理 ED 超几何分布 kn k MN M n N C C Pk C 其中 0 1 kn nM 不考 nM E N 不考 2 1 nM Nn NM D NN 几何分布 1 k Pkpq 其中 1 2 k 0p q 1pq 不考 1 E p 2 q D p 无记忆性 负二项分布 1 1 rrk r k PkCp q 其中 1 kr r 0p q 1pq 不考 r E p 2 rq D p 2 常见的连续型随机变量 分布名称 记号 概率分布性质 均匀分布 U a b 1 0 axb f xba xaxb 或 0 1 xa xa F xaxb ba xb 2 ab E 2 1 12 Dba 正态分布 2 N 2 2 2 1 2 x f xe 其中0 E 2 D 标准化变换 查表 按比例取值 3 法则 指数分布 E a 0 0 0 ax aex f x x 1 0 0 0 ax ex F x x 其中0a 1 E a 2 1 D a 无记忆性 3 关于抽样问题 假设 N 件产品中有 M 件次品 从中抽取 n 件 n M 求从中查出的次品件数的概率分 布 抽取方式概率分布 放回抽样二项分布 其中 B n p pMN 不放回抽样超几何分布 P 69 例 17 说明 当抽取次数 n 远小于产品的总量 N 时 二项分布可以作为超几何分布的近似 当抽取次数 n 很大 次品率 p 很小时 泊松分布可以作为二项分布的近似 其中 np 根据棣莫弗 拉普拉斯定理 当 n 很大时 正态分布也可以作为二项分布的近似 4 关于伯努利试验序列 前提 独立重复进行一个成功概率 p P A 的伯努利试验 试验序列停止的规则关注点概率分布 独立重复进行确定的 1 次事件 A 出现的次数两点分布 1 Bp 独立重复进行确定的 n 次事件 A 出现的次数二项分布 B n p 直到事件 A 第 1 次出现试验进行的次数几何分布 直到事件 A 第 r 次出现试验进行的次数负二项分布 又称巴斯卡分布 说明 两点分布是二项分布的特殊情形 几何分布是负二项分布的特殊情形 5 二维正