1.2.2集合的运算

1 2 2 集合的运算集合的运算 整整体体设设计计 教学分析 课本从学生熟悉的集合出发 结合实例 引入集合间的运算 同时 结合相关内容介绍补集和全集等概念 在安 排这部分内容时 课本继续注重体现逻辑思考的方法 如归纳等 值得注意的问题 在全集和补集的教学中 应注意利用 Venn 图的直观作用 帮助学生理解补集的概念 并能够 用 Venn 图进行求补集的运算 三维目标 1 理解两个集合的并集与交集 全集的含义 掌握求两个简单集合的交集与并集的方法 会求给定子集的补集 感受集合作为一种语言 在表示数学内容时的简洁和准确 进一步提高归纳的能力 2 通过观察和类比 借助 Venn 图理解集合的基本运算 体会直观图示对理解抽象概念的作用 培养数形结合的 思想 重点难点 教学重点 交集与并集 全集与补集的概念 教学难点 理解交集与并集的概念 以及符号之间的区别与联系 课时安排 2 课时 教教学学过过程程 第第 1 课时课时 导入新课 思路 1 我们知道 实数有加法运算 两个实数可以相加 例如 5 3 8 类比实数的加法运算 集合是否也可以 相加 呢 教师直接点出课题 思路 2 请同学们考察下列各个集合 你能说出集合 C 与集合 A B 之间的关系吗 1 A 1 3 5 B 2 4 6 C 1 2 3 4 5 6 2 A x x 是有理数 B x x 是无理数 C x x 是实数 引导学生通过观察 归纳 思考和交流 得出结论 教师强调集合也有运算 这就是我们本节课所要学习的内 容 思路 3 1 如下图甲和乙所示 观察两个图的阴影部分 它们分别同集合 A 集合 B 有什么关系 观察集合 A 与 B 与集合 C 1 2 3 4 之间的关系 2 已知集合 A 1 2 3 B 2 3 4 写出由集合 A B 中的所有元素组成的集合 C 已知集合 A x x 1 B x x 0 在数轴上表示出集合 A 与 B 并写出由集合 A 与 B 中的所有元素组成 的集合 C 学生思考交流并回答 教师直接指出这就是本节课学习的课题 集合的运算 推进新课 Error Error 通过上述问题中集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系 类比实数的加法运算 你发现了什么 用文字语言来叙述上述问题中 集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系 用数学符号来叙述上述问题中 集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系 试用 Venn 图表示 A B C 请给出集合的并集定义 求集合的并集是集合间的一种运算 那么 集合间还有其他运算吗 请同学们考察下面的问题 集合 A 与 B 与集合 C 之间有什么关系 A 2 4 6 8 10 B 3 5 8 12 C 8 A x x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级女同学 B x x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级 男同学 C x x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级同学 类比集合的并集 请给出集合的交集定义 并分别用三种不同的语言形式来表达 活动 活动 先让学生思考或讨论问题 然后再回答 经教师提示 点拨 并对回答正确的学生及时表扬 对回答不准 确的学生提示引导考虑问题的思路 主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画 用 Venn 图来 显示 讨论结果 集合之间也可以相加 也可以进行运算 但是为了不和实数的运算相混淆 规定这种运算不叫集合 的加法 而是叫做求集合的并集 集合 C 叫集合 A 与 B 的并集 记为 A B C 读作 A 并 B 所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成了集合 C C x x A 或 x B 如下图所示 一般地 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 称为集合 A 与 B 的并集 其含义用符号表示 为 A B x x A 或 x B 集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算 这种运算叫求集合的交集 记作 A B 读作 A 交 B A B C A B C 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 称为 A 与 B 的交集 其含义用符号表示为 A B x x A 且 x B 用 Venn 图表示 如下图所示 Error 思路思路 1 例例 1 1 设 A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 求 A B A B 活动 活动 让学生回顾集合的表示法和交集 并集的含义 由于本例题难度较小 让学生自己解决 重点是总结集合 运算的方法 根据集合并集 交集的含义 借助于 Venn 图写出 观察这两个集合中的元素 或用 Venn 图来表示 如下图所示 解 A B 4 5 6 8 3 5 7 8 3 4 5 6 7 8 A B 4 5 6 8 3 5 7 8 5 8 点评 本题主要考查集合的并集和交集 用列举法表示的集合 运算时常利用 Venn 图或直接观察得到结果 本 题易错解为 A B 3 4 5 5 6 7 8 8 其原因是忽视了集合元素的互异性 解决集合问题要遵守集合元素的三条性质 变式训练 1 集合 M 1 2 3 N 1 5 6 7 则 M N M N 答案 答案 1 1 2 3 5 6 7 2 集合 P 1 2 3 m M m2 3 P M 1 2 3 m 则 m 解析 解析 由题意得 m2 1 或 2 或 m 解得 m 1 1 0 因 m 1 不合题意 故舍 22 去 答案 答案 1 0 22 3 求下列每对集合的交集 1 A x x2 2x 3 0 B x x2 4x 3 0 2 C 1 3 5 7 D 2 4 6 8 解 1 A B 1 3 1 3 3 2 C D 4 已知 Q x x 是有理数 Z x x 是整数 求 Q Z 解 Q Z x x 是有理数 x x 是整数 x x 是有理数 Q 例例 2 2 设 A x 1 x 2 B x 1 x 3 求 A B A B 活动 活动 学生回顾集合的表示法和并集 交集的含义 利用数轴 将 A B 分别表示出来 则阴影部分即为所 求 用数轴表示描述法表示的数集 解 将 A x 1 x 2 及 B x 1 x 3 在数轴上表示出来 如下图所示的阴影部分即为所求 由图得 A B x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 A B x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 2 点评 本类题主要考查集合的并集和交集 用描述法表示的数集 运算时常利用数轴来计算结果 变式训练 1 设 A x 2x 4 2 B x 2x 4 0 求 A B A B 答案 答案 A B R A B x 2 x 3 2 设 A x 2x 4 2 B x 2x 4 0 求 A B A B 答案 答案 A B 3 2 A B 3 设 A x x 是奇数 B x x 是偶数 求 A Z B Z A B 解 A Z x x 是奇数 x x 是整数 x x 是奇数 A B Z x x 是偶数 x x 是整数 x x 是偶数 B A B x x 是奇数 x x 是偶数 4 已知 A x y 4x y 6 B x y 3x 2y 7 求 A B 分析 集合 A 和 B 的元素是有序实数对 x y A B 的交集即为方程组Error 的解集 解 A B x y 4x y 6 x y 3x 2y 7 x y Error 1 2 5 已知 A x x 是等腰三角形 B x x 是直角三角形 求 A B 解 A B x x 是等腰三角形 x x 是直角三角形 x x 是等腰直角三角形 思路思路 2 例例 1 1 A x x 5 B x x 0 C x x 10 则 A B B C A B C 分别是什么 活动 活动 学生先思考集合中元素特征 明确集合中的元素 将集合中元素利用数形结合在数轴上找到 那么运算结 果的寻求就容易进行 这三个集合都是用描述法表示的数集 求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所 有元素 解 因 A x x 5 B x x 0 C x x 10 在数轴上表示 如下图所示 所以 A B x 0 x 5 B C x x 0 A B C 点评 本题主要考查集合的交集和并集 求集合的并集和交集时 明确集合中的元素 依据并集和交集的含 义 借助于直观 数轴或 Venn 图 写出结果 变式训练 1 设 A x x 2n n N B x x 2n n N 求 A B A B 解 对任意 m A 则有 m 2n 2 2n 1 n N 因 n N 故 n 1 N 有 2n 1 N 那么 m B 即对任意 m A 有 m B 所以 AB 而 10 B 但 10 A 即 A B 那么 A B A A B B 2 求满足 1 2 B 1 2 3 的集合 B 的个数 解 满足 1 2 B 1 2 3 的集合 B 一定含有元素 3 B 3 还可含 1 或 2 其中一个 有 1 3 2 3 还可含 1 和 2 即 1 2 3 那么共有 4 个满足条件的集合 B 3 设 A 4 2 a 1 a2 B 9 a 5 1 a 已知 A B 9 求 a 解 因 A B 9 则 9 A a 1 9 或 a2 9 a 10 或 a 3 当 a 10 时 a 5 5 1 a 9 当 a 3 时 a 1 2 不合题意 当 a 3 时 a 1 4 不合题意 故 a 10 此时 A 4 2 9 100 B 9 5 9 满足 A B 9 4 设集合 A x 2x 1 3 B x 3 x 2 则 A B 等于 A x 3 x 1 B x 1 x 2 C x x 3 D x x 1 解析 解析 集合 A x 2x 1 3 x x 1 观察或由数轴得 A B x 3 x 1 答案 答案 A 例例 2 2 设集合 A x x2 4x 0 B x x2 2 a 1 x a2 1 0 a R 若 A B B 求 a 的值 活动 活动 明确集合 A B 中的元素 教师和学生共同探讨满足 A B B 的集合 A B 的关系 集合 A 是方程 x2 4x 0 的解集 可以发现 BA 通过分类讨论集合 B 是否为空集来求 a 的值 利用集合的表示法来认识集合 A B 均是方程的解集 通过画 Venn 图发现集合 A B 的关系 从数轴上分析求得 a 的值 解 由题意得 A 4 0 A B B BA B 或 B 当 B 时 即关于 x 的方程 x2 2 a 1 x a2 1 0 无实数解 则 4 a 1 2 4 a2 1 0 解得 a 1 当 B 时 若集合 B 仅含有一个元素 则 4 a 1 2 4 a2 1 0 解得 a 1 此时 B x x2 0 0 A 即 a 1 符合题意 若集合 B 含有两个元素 则这两个元素是 4 0 即关于 x 的方程 x2 2 a 1 x a2 1 0 的解是 4 0 则有Error 解得 a 1 则 a 1 符合题意 综上所得 a 1 或 a 1 点评 本题主要考查集合的运算 分类讨论的思想 以及集合间关系的应用 已知两个集合的运算结果 求集合 中参数的值时 由集合的运算结果确定它们的关系 通过深刻理解集合表示法的转换 把相关问题化归为其他常见的 方程 不等式等数学问题 这称为数学的化归思想 是数学中的常用方法 学会应用化归和分类讨论的数学思想方法 解决有关问题 变式训练 1 已知非空集合 A x 2a 1 x 3a 5 B x 3 x 22 求能使 A A B 成立的所有 a 值的集合 解 由题意知 A A B 即 AB A 非空 得Error 解得 6 a 9 即所有 a 值的集合是 a 6 a 9 2 已知集合 A x 2 x 5 集合 B x m 1 x 2m 1 且 A B A 试求实数 m 的 取值范围 分析 由 A B A 得 BA 则有 B 或 B 因此对集合 B 分类讨论 解 A B A BA 又 A x 2 x 5 B 或 B 当 B 时 有 m 1 2m 1 m 2 当 B 时 观察下图 由数轴可得Error 解得 2 m 3 综上所述 实数 m 的取值范围是 m 2 或 2 m 3 即 m 3 Error 1 设 a 3 5 6 8 B 4 5 7 8 1 求 A B A B 2 用适当的符号 填空 A B A B A B A B A A B B A B A B 解 1 因 A B 的公共元素为 5 8 则 A B 3 5 6 8 4 5 7 8 5 8 又 A B 两集合的元素为 3 4 5 6 7 8 故 A B 3 4 5 6 7 8 2 A B A B A B A B A A B B A B A B 2 设 A x x 5 B x x 0 求 A B 解 因 x 5 及 x 0 的公共部分为 0 x 5 故 A B x x 5 x x 0 x 0 x 5 3 设 A x x 是锐角三角形 B x x 是钝角三角形 求 A B 解 因三角形按角分类时 锐角三角形和钝角三角形彼此孤立 故 A B 两集合没有公共部分 所以 A B x x 是锐角三角形 x x 是钝角三角形 4 设 A x x 2 B x x 3 求 A B 解 在数轴上将 A B 分别表示出来 得 A B x x 2 5 设 A x x 是平行四边形 B x x 是矩形 求 A B 解 因矩形是平行四边形 故由 A 及 B 的元素组成的集合为 A B A B x x 是平行四边形 6 已知 M 1 N 1 2 设 A x y x M y N B x y x N y M 求 A B A B 分析 M N 中元素是数 A B 中元素是平面内点集 关键是找其元素 解 M 1 N 1 2 则 A 1 1 1 2 B 1 1 2 1 故 A B 1 1 A B 1 1 1 2 2 1 7 若 A B C 为三个集合 A B B C 则一定有 A AC B CA C A C D A 解析 解析 思路一 B C B B C C A B B C A B B A B C ABC AC 思路二 取满足条件的 A 1 B 1 2 C 1 2 3 排除 B D 令 A 1 2 B 1 2 C 1 2 则此时也满足条件 A B B C 而此时 A C 排除 C 答案 答案 A Error 观察 1 集合 A 1 2 B 1 2 3 4 时 A B A B 这两个运算结果与集合 A B 的关系 2 当 A 时 A B A B 这两个运算结果与集合 A B 的关系 3 当 A B 1 2 时 A B A B 这两个运算结果与集合 A B 的关系 由 1 2 3 你发现了什么结论 活动 活动 依据集合的交集和并集的含义写出运算结果 并观察与集合 A B 的关系 用 Venn 图来发现运算结果与 集合 A B 的关系 1 2 3 中的集合 A B 均满足 AB 用 Venn 图表示 如下图所示 就可以发现 A B A B 与集合 A B 的关系 解 A B AABA B B 可用类似方法 可以得到集合的运算性质 归纳如下 A B B A A A B B A B A A A A A ABA B B A B B A A B A A B B A A A A ABA B A Error 本节主要学习了 1 集合的交集和并集 2 通常借助于数轴或 Venn 图来求交集和并集 Error 1 课外思考 对于集合的基本运算 你能得出哪些运算规律 2 请你举出现实生活中的一个实例 并说明其并集 交集和补集的现实含义 3 书面作业 课本习题 1 2A 3 4 5 设设计计感感想想 由于本节课内容比较容易接受 也是历年高考的必考内容之一 所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内 容 设计中通过借助于数轴或 Venn 图写出集合运算的结果 这是突破本节教学难点的有效方法 第第 2 课时课时 导入新课 问题 分别在整数范围和实数范围内解方程 x 3 x 0 其结果会相同吗 3 若集合 A x 0 x 2 x Z B x 0 x 2 x R 则集合 A B 相等吗 学生回答后 教师指明 在不同的范围内集合中的元素会有所不同 这个 范围 问题就是本节学习的内容 引出 课题 推进新课 Error Error 用列举法表示下列集合 A x Z x 2 x x 0 1 32 B x Q x 2 x x 0 1 32 C x R x 2 x x 0 1 32 问题 中三个集合相等吗 为什么 由此看 解方程时要注意什么 问题 集合 Z Q R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素 这样的集合称为全集 请给出全集的定义 已知全集 U 1 2 3 A 1 写出全集中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 B 请给出补集的定义 用 Venn 图表示UA 活动 活动 组织学生充分讨论 交流 使学生明确集合中的元素 提示学生注意集合中元素的范围 讨论结果 A 2 B 2 C 2 1 3 1 32 不相等 因为三个集合中的元素不相同 解方程时 要注意方程的根在什么范围内 同一个方程 在不同的范围其解会有所不同 在研究集合与集合之间的关系时 如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集 那么称这个给定的集合为全 集 通常用 U 表示 B 2 3 对于一个集合 A 全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集 集合 A 相对于全集 U 的补集记为UA 即UA x x U 且 x A 如下图所示 阴影表示补集 Error 思路思路 1 例例 1 1 设 U x x 是小于 9 的正整数 A 1 2 3 B 3 4 5 6 求UA UB 活动 活动 让学生明确全集 U 中的元素 回顾补集的定义 用列举法表示全集 U 依据补集的定义写出UA UB 解 根据题意 可知 U 1 2 3 4 5 6 7 8 所以UA 4 5 6 7 8 UB 1 2 7 8 点评 本题主要考查补集的概念和求法 用列举法表示的集合 依据补集的含义 直接观察写出集合运算的结 果 常见结论 U A B UA UB U A B UA UB 变式训练 1 已知 U 1 2 3 4 5 6 A 1 3 5 求UA A UA A UA 解 UA 2 4 6 A UA A UA U 2 已知 U x x 是实数 Q x x 是有理数 求UQ 解 UQ x x 是无理数 3 已知 U R A x x 5 求UA 解 UA x x 5 例例 2 2 设全集 U x x 是三角形 A x x 是锐角三角形 B x x 是钝角三角形 求 A B U A B 活动 活动 学生思考三角形的分类和集合的交集 并集和补集的含义 结合交集 并集和补集的含义写出结果 A B 是由集合 A B 中公共元素组成的集合 U A B 是全集中除去集合 A B 中剩下的元素组成的集合 解 根据三角形的分类可知 A B A B x x 是锐角三角形或钝角三角形 U A B x x 是直角三角形 变式训练 1 已知集合 A x 3 x 8 求RA 解 RA x x 3 或 x 8 2 设 S x x 是至少有一组对边平行的四边形 A x x 是平行四边形 B x x 是菱形 C x x 是矩形 求 B C AB SA 解 B C x 正方形 AB x x 是邻边不相等的平行四边形 SA x x 是梯形 3 已知全集 I R 集合 A x x2 ax 12b 0 B x x2 ax b 0 满足 IA B 2 IB A 4 求实数 a b 的值 答案 答案 a b 8 7 12 7 4 设全集 U R A x x 2 B 3 4 5 6 则 UA B 等于 3 A 4 B 4 5 6 C 2 3 4 D 1 2 3 4 解析 解析 U R A x x 2 UA x x 2 而 4 5 6 都大于 33 2 UA B 4 5 6 3 答案 答案 B 思路思路 2 例例 1 1 已知全集 U R A x 2 x 4 B x 3 x 3 求 1 UA UB 2 UA UB U A B 由此你发现了什么结论 3 UA UB U A B 由此你发现了什么结论 活动 活动 学生回想补集的含义 教师指导学生利用数轴来解决 依据补集的含义 借助于数轴求得 在数轴上表示 集合 A B 解 如下图所示 1 由图得UA x x 2 或 x 4 UB x x 3 或 x 3 2 由图得 UA UB x x 2 或 x 4 x x 3 或 x 3 x x 2 或 x 3 A B x 2 x 4 x 3 x 3 x 2 x 3 U A B U x 2 x 3 x x 2 或 x 3 得出结论U A B UA UB 3 由图得 UA UB x x 2 或 x 4 x x 3 或 x 3 x x 3 或 x 4 A B x 2 x 4 x 3 x 3 x 3 x 4 U A B U x 3 x 4 x x 3 或 x 4 得出结论U A B UA UB 变式训练 1 已知集合 U 1 2 3 4 5 6 7 A 2 4 5 7 B 3 4 5 则 UA UB 等于 A 1 6 B 4 5 C 1 2 3 4 5 7 D 1 2 3 6 7 答案 答案 D 2 设集合 I x x 3 x Z A 1 2 B 2 1 2 则 A IB 等于 A 1 B 1 2 C 2 D 0 1 2 答案 答案 D 例例 2 2 设全集 U x x 20 x N x 是质数 A UB 3 5 UA B 7 19 UA UB 2 17 求集 合 A B 活动 活动 学生回顾集合的运算的含义 明确全集中的元素 利用列举法表示全集 U 根据题中所给的条件 把集合 中的元素填入相应的 Venn 图中即可 求集合 A B 的关键是确定它们的元素 由于全集是 U 则集合 A B 中的元 素均属于全集 U 由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多 可借助于 Venn 图来解决 解 U 2 3 5 7 11 13 17 19 由题意借助于 Venn 图 如下图所示 A 3 5 11 13 B 7 11 13 19 点评 本题主要考查集合的运算 Venn 图以及推理能力 借助于 Venn 图分析集合的运算问题 使问题简捷地获 得解决 将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来 这正体现了数形结合思想的优越性 变式训练 1 设 I 为全集 M N P 都是它的子集 则下图中阴影部分表示的集合是 A M IN P B M N P C IM IN P D M N N P 解析 解析 思路一 阴影部分在集合 M 内部 排除 C 阴影部分不在集合 N 内 排除 B D 思路二 阴影部分在集合 M 内部 即是 M 的子集 又阴影部分在 P 内不在集合 N 内即在 IN P 内 所以阴影部分表示的集合是 M IN P 答案 答案 A 2 设 U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 UA B 3 7 UB A 2 8 UA UB 1 5 6 则 集合 A B 解析 解析 借助 Venn 图 如下图 把相关运算的结果表示出来 自然地就得出集合 A B 了 答案 答案 2 4 8 9 3 4 7 9 Error 1 设全集 U R A x 2x 1 0 试用文字语言表述UA 的意义 解 A x 2x 1 0 即不等式 2x 1 0 的解集 UA 中元素均不能使 2x 1 0 成立 即UA 中元素应当满足 2x 1 0 UA 即不等式 2x 1 0 的解集 2 如下图所示 U 是全集 M P S 是 U 的三个子集 则阴影部分表示的集合是 解析 解析 观察图可以看出 阴影部分满足两个条件 一是不在集合 S 内 二是在集合 M P 的公共部分内 因此阴 影部分表示的集合是集合 S 的补集与集合 M P 的交集的交集 即 US M P 答案 答案 US M P 3 设集合 A B 都是 U 1 2 3 4 的子集 已知 UA UB 2 UA B 1 则 A 等于 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 1 4 解析 解析 如下图所示 由于 UA UB 2 UA B 1 则有UA 1 2 A 3 4 答案 答案 C 4 设全集 U 1 2 3 4 5 6 7 8 集合 S 1 3 5 T 3 6 则U S T 等于 A B 2 4 7 8 C 1 3 5 6 D 2 4 6 8 解析 解析 直接观察 或画出 Venn 图 得 S T 1 3 5 6 则U S T 2 4 7 8 答案 答案 B 5 已知集合 I 1 2 3 4 A 1 B 2 4 则 A IB 等于 A 1 B 1 3 C 3 D 1 2 3 解析 解析 IB 1 3 A IB 1 1 3 1 3 答案 答案 B Error 问题 某班有学生 50 人 解甲 乙两道数学题 已知解对甲题者有 34 人 解对乙题者有 28 人 两题均解对者 有 20 人 问 1 至少解对其中一题者有多少人 2 两题均未解对者有多少人 分析 先利用集合表示解对甲 乙两道数学题各种类型 然后根据题意写出它们的运算 问题便得到解决 解 设全集为 U A 只解对甲题的学生 B 只解对乙题的学生 C 甲 乙两题都解对的学生 则 A C 解对甲题的学生 B C 解对乙题的学生 A B C 至少解对一题的学生 U A B C 两题均未解对的学生 由已知 A C 有 34 个人 C 有 20 个人 从而知 A 有 14 个人 B C 有 28 个人 C 有 20 个人 所以 B 有