直线系和圆系公式及其应用

直线系和圆系相关公式推导和例题直线系和圆系相关公式推导和例题 如何推导出过两直线交点的直线系方程如何推导出过两直线交点的直线系方程 假设直线 1 与 2 的交点为 x1 x2 则直线 1 可化为 x x1 B1 y y1 A1 直线 2 可化为 x x1 B2 y y1 A2 那么 B1 x x1 A1 y y1 1 B2 x x1 A2 y y1 2 2 式左右两边各乘以 N 得 NB2 x x1 NA2 y y1 3 2 式 3 式 左右两边 得 B1 x x1 NB2 x x1 A1 y y1 NA2 y y1 整理得 B1 NB2 x x1 A1 NA2 y y1 整理得 A1x B1y C1 N A2X B2Y C2 0 有谁能推导过直线有谁能推导过直线 Ax By C 0Ax By C 0 与圆与圆 x x y y Dx Ey F Dx Ey F 的交点的圆系方程的交点的圆系方程 x x y y Dx Ey F m ax by c 0 Dx Ey F m ax by c 0 设 P x0 y0 是直线 Ax By C 0 与圆 x y Dx Ey F 0 的的任意一个交点 则 Ax0 By0 C 0 与圆 x0 y0 Dx0 Ey0 F 0 从而 x0 y0 Dx0 Ey0 F m Ax0 By0 C 0 即 p 是方程 C x0 y0 Dx0 Ey0 F m Ax0 By0 C 0 表示的曲线 C 上的点 由于任意一个交点在曲线 C 上 所以 所有交点都在曲线 C 上 即曲线 C 经过直线 Ax By C 0 与圆 x y Dx Ey F 0 的所有交点 或经过直线 Ax By C 0 与圆 x y Dx Ey F 0 的交点的圆系方程为 x y Dx Ey F m ax by c 0 解 点 P x1 y1 圆心为 O a b 则 x1 a y1 b r 直线 OP 的斜率为 k OP y1 b x1 a 切线的斜率为 k 1 k OP x1 a y1 b 切线方程为 y y1 x1 a y1 b x x1 y y1 y1 b x1 a x x1 0 y b b y1 y1 b x a a x1 x1 a 0 y b y1 b y1 b x a x1 a x1 a 0 y b y1 b x a x1 a x1 a y1 b 即 y b y1 b x a x1 a r 故证 过圆 x a y b r 上点 P x0 y0 的切线方程为 x0 a x a yo b y b r 过圆 x y Dx Ey F 0 上一点 P x0 y0 的切线方程为 x0 x y0y D X X0 2 E Y0 Y F 0 过圆外一点 P x0 y0 圆的切线切线长为 x0 a y0 y r 或 x0 y0 Dx0 Ey0 F 问题补充 问题补充 过圆 x y Dx Ey F 0 上一点 P x0 y0 的切线方程为 x0 x y0y D X X0 2 E Y0 Y 2 F 0 过两相交圆得交点的直线方程公式证明过两相交圆得交点的直线方程公式证明 过两圆交点的圆系方程过两圆交点的圆系方程 已知圆 A x y D1x E1y F1 0 与圆 B x y D2x E2y F2 0 方程 x y D1x E1y F1 x y D2x E2y F2 0 当 1 时 方程 表示过圆 A 与圆 B 的交点的圆系的方程 当 0 时 表 示圆 A 但不能表示圆 B 当 1 时 若圆 A 与圆 B 相交 方程 表示圆 A 与圆 B 的公共弦所在的直线方程 当圆 A 与圆 B