2004年全国初中数学竞赛试题

2004 年全国初中数学竞赛试题 考试时间 120 分钟 满分 140 分 一 选择题 共 5 小题 每小题 8 分 满分 40 分 1 已知实数 a 不等于 b 且满足 a 1 2 3 3 a 1 3 b 1 3 b 1 2 则 b b a a a b 的值为 A 23 B 23 C 2 D 13 2 若直角三角形的两条直角边长为 a b 斜边长为 c 斜边上的高为 h 则 有 A ab h 2 B 1 a 1 b 1 h C 1 a 2 1 b 2 1 h 2 D a 2 b 2 2h 2 3 一条抛物线 y ax 2 bx c 顶点为 4 11 且与 x 轴的两个交点的横 坐标为一正一负 则 a b c 中为正数的 A 只有 a B 只有 b C 只有 c D 只有 a 和 b 4 ABC 中 DE 平行于 AB 平行于 FG 且 FG 到 DE AB 的距离比为 1 2 若 ABC 面积为 32 CDE 面积为 2 则 CFG 面积 S 为 A 6 B 8 C 10 D 12 5 如果 x 和 y 是非零实数 使得 x y 3 x y x 3 0 那么 x y 等于 A 3 B 13 C 1 13 2 D 4 13 二 填空题 共 5 小题 每小题 8 分 满分 40 分 6 如图所示 在 ABC 中 AB AC AD AE BAD 60 则 EDF 度 7 据有关资料统计 两个城市之间每天的电话通话次数 T 与这两个城市的人 口数 m n 单位 万人 以及两个城市间的距离 d 单位 km E 有 T kmn d 2 的关系 k 为常数 现测得 A B C 三个城市的人口及它们之 间距离如图所示 且已知 A B 两个城市间每天的电话通话次数为 t 那么 B C 两个城市间的每天的电话通话次数为 次 用 t 表示 8 已知实数 a b x y 满足 a b x y 2 ax by 5 则 a 2 b 2 xy ab x 2 y 2 9 梯形 ABCD 中 AD 平行于 BC BC AD D 90 度 BC CD 12 ABE 45 度 E 在 DC 上 若 AE 10 则 CE 的长为 10 实数 x y z 满足 x y z 5 xy yz zx 3 则 z 的最大是 三 解答题 共 4 题 每小题 15 分 满分 60 分 A 卷 广东 贵州等地 11 一列客车始终作匀速运动 它通过长为 450 米的桥时 从车头上桥到车 尾下桥共用 33 秒 它穿过长为 760 米的隧道时 整个车身都在隧道里的时间 为 22 秒 从客车的对面开来一列长度为 a 米 速度为每秒 v 米的货车 两车 交错 从车头相遇到车尾相离共用 t 秒 1 写了用 a v 表示的函数解析式 2 若货车的速度不低于每秒 12 米 且不到每秒 15 米 其长度为 324 米 求两车交错所用时间的取值范围 12 甲 乙两个粮库原来各存有整袋的粮食 如果从甲库调 90 袋到乙库 则 乙库存粮是甲库的 2 倍 如果从乙库调若干袋到甲库 则甲库存库是乙库的 6 倍 问甲库原来最少存粮多少袋 13 设点 E F G H 分别在面积为 1 的四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA 上 且 AE EB BF FC CG GD DH HA k k 是正数 求四边形 EFGH 的面积 14 在 9 9 的方格表中 有 29 个小格被染上了黑色 如果 m 表示至少包含 5 个黑色小方格的行的数目 n 表示至少包含 5 个黑色小方格的列的数目 试确 定 m n 的最大值 B 卷 福建等地 11 通过实验研究 专家们发现 初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲 课时间的变化而变化的 讲课开始时 学生的兴趣激增 中间有一段时间 学 生的兴趣保持平稳的状态 随后开始分散 学生注意力指标数 y 随时间 x 分 钟 变化的函数图像如图所示 y 越大表示学生注意力越集中 当 0 x 10 时 图像时抛物线的一部分 当 10 x 20 和 20 x 40 时 图像是线段 1 当 0 x 10 时 求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式 2 一道数学竞赛题 需要讲 24 分钟 问老师能否经过适当安排 使学生 在听这道题时 注意力的指标数都不低于 36 12 已知 a b 是实数 关于 x y 的方程组 y x 3 ax 2 bx y ax b 有整数 解 x y 求 a b 满足的关系式 13 D 是 ABC 边 AB 上的一点 使得 AB 3AD P 是 ABC 外接圆上一点 P 在弧 AC 上 使得 ADP ACB 求 PB PD 的值 14 已知 a 0 c 0 且根号 b 2 4ac b 2ac 求 b 2 4ac 的最小值 2004 年全国初中