公平席位的分配(韩文斌)

公平席位分配模型 班级 09 数学 2 班 姓名 韩文斌 学号 摘要 通过建立人数比例模型 最大剩余法模型及 Q 值法模型解决了公平席位 的分配问题 比较三种模型分配的结果方案 我发现了 Q 值法模型是解决公平 席位分配问题较公平的方法 关键词 公平分配 绝对不公平程度 Q 值法模型 正 文 1 问题的提出 某学校有 3 个系共 100 名学生 其中甲系 100 名 乙系 60 名 丙系 40 名 1 1 若学生代表会议设 20 个席位 公平而又简单的席位分配办法是什么 1 2 现在丙系有 6 名学生转入甲乙两系 其中 3 人转入甲系 3 人转入乙系 现在该如何分配呢 1 3 因为有 20 个席位的代表会议在表决提案时可能出现 10 10 的结局 会议决 定下一届增加 1 席 在问题二中人数发生改变后的情况下 这 1 席又该分给哪 个 系呢 2 合理假设与变量说明 假设 3 个系的总人数不再发生变动 各个系的人数除了问题二中人数的改 动之外 不再发生任何改变 3 模型建立 符号符号说明 P 3 个系的总人数 i P 系的人数 1 2 3ii N 3 个系的总席数 i N 系的席数 1 2 3ii i R 的余数 i i P N ij 系与系的绝对不公平程度ij ijij NN 系与系的相对不公平程度ij 3 1 人数比例模型 公平标准 1 2 3 通过计算总席位与总人数 各系席位数与 i i PP NN i 各系总人数的比例相等 来确定各系的席位数的分配方案 3 2 最大剩余法模型 记 的余数 越大说明 系分一个席位代表人数就越多 1 2 3 i i i P Ri N i Ri 为了公平降低 则剩余席位优先分给最大的 系 i R i R i 3 3 Q 值法模型 1 当总席位增加 1 席时 计算令 增加 1 席位应该分配给 值最 2 1 i i ii p Q n n Q 大的一方 3 3 1 不公平指标 为简单起见考虑 两系分配席位的情况 设两方人数分别为 占AB 1 P 2 P 有席位分别为 则比值 为两方每个席位所代表的人数 显然仅当 1 n 2 n 1 1 p n 2 2 p n 分配时才算完全公平的 但是因为人数和席位都是整数 所以通常 12 12 pp nn 分配不公平 并且对比值较大的一方不公平 12 12 pp nn 不妨设 不公平程度可用衡量 如设 12 12 pp nn 12 12 pp nn 1 120p 2 100p 则 它衡量不公平的绝对程度 常常无法区分 12 10nn 12 12 12 102 pp nn 不公平程度明显不同的情况 如当双方人数增至 不 1 1020p 2 1000p 1 n 2 n 变时 则 即不公平的绝对程度不变 但是常识告诉我们 12 12 102 1002 pp nn 后面这种情况的不公平程度比起前面来已经大为改善了 为了改进上述的绝对 标准 自然想到用相对标准 仍设 定义 12 12 pp nn 1 12 12 12 2 2 A pp nn r n n p n 1 即为 A 方的相对不公平度 若 定义 21 21 pp nn 2 21 21 12 1 1 B pp nn r n n p n 2 即为对 B 方的相对不公平度 3 3 2 分配原则 假设 A B 两方已经占有席位 利用相对不公平度 讨论当总 1 1n 2 n A r B r 席位增加 1 席时 应该分配给 A 还是 B 不失一般性可设 大于号成立时对 A 不公平 若增设 1 席分配给 A 12 12 pp nn 就变为 分配给 B 就有 原不等式可能出现以下 3 种情况 只需 1 n 1 1n 2 1n 讨论不等号的情况 一旦等号出现 按等式状况分配即可 1 说明即使 A 增加 1 席仍对 A 不公平 则这一席显然该分给 12 12 1 pp nn A 说明即使 A 增加 1 席仍对 A 不公平 则这一席显然该分给 A 2 说明 A 增加 1 席对 B 不公平 由 2 可得出对 B 的相对不公 12 12 1 pp nn 平度为 3 21 21 212 1 1 1 1 1 pp nn r nn p n 3 3 3 说明 B 增加 1 席将对 A 不公平 参 1 可得出对 A 的相对 12 12 1 pp nn 不公平度为 4 12 12 112 2 2 1 1 1 pp nn r n n p n 在使相对不公平度尽量小的分配原则下 如果 112212 1 1 r n nr nn 5 1221 1221 21 21 11 11 pppp nnnn pp nn 则增加的 1 席应该分给 A 反之分给 B 由 3 4 两式 5 式等价于 6 22 12 1122 1 1 pp n nn n 同时不难证明上述第 1 种情况 也会导致 6 式 于是我们的结论是 当 6 式成立时增加 1 席位应分给 A 反之分给 B 这种方法可推广到有 m 方分配席位的情况 设第 i 方人数为 已占有个席 i p i n 位 i 1 2 3 当总席位增加 1 席时 计算令 增加 1 席位应该 2 1 i i ii p Q n n 分配给值最大的一方 Q 4 模型的求解 问题 1 1 模型一的求解 结果为 20 4060100 10 20 200 3 1 321 i i n nnn 且 123 10 6 4nnn 模型二的求解 结果为 20 4060100 10 20 200 3 1 321 i i n nnn 且 123 10 6 4nnn 模型三的求解 当总席位增加 1 席时 计算令 增加 1 席位应该 2 1 i i ii p Q n n 分配给 值最大的一方 结果为 Q 123 11 6 3nnn 问题 1 2 模型一的求解 结果为 4 3 10 34 3 6 10 63 3 10 10 103 321 nnn 123 10 3 6 3 3 4nnn 模型二的求解 比较的余数 4 3 10 34 3 6 10 63 3 10 10 103 321 nnn i R 发现应该把多出的一席分给 3 系 结果为 123 10 6 4nnn 模型三的求解 当总席位增加 1 席时 计算令 增加 1 席位应该 2 1 i i ii p Q n n 分配给 值最大的一方 结果为 Q 123 11 6 3nnn 问题 1 3 模型一的求解 21 3463103 21 200 3 1 321 i i n nnn 且 结果为 123 10 815 6 615 3 570nnn 模型二的求解 得到的结果为21 3463103 21 200 3 1 321 i i n nnn 且 然后比较的余数大小 123 10 815 6 615 3 570nnn i R 结果为 123 11 7 3nnn 模型三的求解 当总席位增加 1 席时 计算令 增加 1 席位应该 2 1 i i ii p Q n n 分配给 值最大的一方 结果为 Q 123 11 6 4nnn 5 模型的检验 对于模型三中的第一种情况 即增加的 1 席分配给 A 方 变为 1 n 1 1n 12 12 1 pp nn 2 112 1112 1 pp p n nn n 又因为 11212 11212 11 ppppp nnnnn 结合上述两式 得到 即 22 12 1122 1 1 pp n nn n 12 QQ 按照相对不公平度尽量小的原则 增加的一席应该分配给 A 方 即对第一种情 况 仍然包含在中 这说明模型三是正确的 2 1 i i ii p Q n n 6 应用与推广 值分配法可以用于一系列的席位分配 Q 7 优缺点分析 当总席位 21 时 模型三的求解结果为 模型三的 n 123 11 6 4nnn 求解结果为 3 系保住了按照比例 惯例模型将会失掉的 1 123 11 7 3nnn 席 但是当总席位 20 时 模型三的求解结果为 模型 n 123 11 6 3nnn 三的求解结果为 所以很难说 值分配法对 3 系