统计学第5章ppt课件.ppt

统计学 statistics 第五章平均指标与变异指标 第一节平均指标的基本理论 第二节算术平均数 第三节调和平均数 学习目标 通过本章的学习和习题演算 掌握平均指标的概念 特点和作用 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数与众数的计算方法和应用 了解平均指标的计算原则和分布特征 第四节几何平均数 第五节位置平均数第六节变异指标 第七节平均指标的应用 平均指标 用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定地点条件下达到的一般水平 一 作用 一 平均指标的作用和特点 第五章平均指标 第一节平均指标的基本理论 二 特点 1 总体同质性2 数量抽象性3 一般代表性 1 利用平均指标可以将同类现象的一般水平在不同的空间和时间上进行比较 2 利用平均指标可以分析现象之间的依存关系以及估计 推算其他有关指标 3 利用平均指标可以反映现象总体的客观规定性 二 平均指标的种类 第五章平均指标 第一节平均指标的基本理论 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数 第五章平均指标 第二节算数平均数 一 算数平均数的基本形式 例 直接承担者 注意区分算术平均数与强度相对数 算术平均数与强度相对数的区别算术平均数和强度相对指标虽然均是两个总量指标对比的结果 但二者的区别是明显的 首先 算术平均数对比的分子和分母是同一总体的标志总量和单位总量 而强度相对指标对比的分子分母是两个不同总体现象总量 其次 算术平均数分子中的每一个标志量都是由分母中的每一个单位来承担 分子的标志值个数和分母的单位数存在着对应关系 而强度相对指标对比的分子分母在数量上没有对应关系 另外 强度相对指标反映现象的程度 密度和普遍程度 平均指标反映现象总体某种数量特征的一般水平 第五章平均指标 第二节算数平均数 二 算数平均数的计算方法 一 简单算术平均数 适用于总体资料未经分组整理 尚为原始资料的情况 式中 为算术平均数 为总体单位总数 为第个单位的标志值 第五章平均指标 第二节算数平均数 二 算数平均数的计算方法 解 平均每人日销售额为 某售货小组5个人 某天的销售额分别为520元 600元 480元 750元 440元 求平均每人日销售额 例 第五章平均指标 第二节算数平均数 二 算数平均数的计算方法 二 加权算术平均数 适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况 式中 为算术平均数 为第组的次数 m为组数 为第组的标志值或组中值 第五章平均指标 第二节算数平均数 例 某企业某日工人的日产量资料如下 计算该企业该日全部工人的平均日产量 第五章平均指标 第二节算数平均数 解 分析 起到权衡轻重的作用 决定平均数的变动范围 第五章平均指标 第五章平均指标 第二节算数平均数 二 算数平均数的计算方法 二 加权算术平均数 第五章平均指标 第二节算数平均数 二 算数平均数的数学性质 变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零 即 如果对每个标志值加或减一个任意数A 则算术平均数也要增加或减少那个A值 第五章平均指标 第二节算数平均数 三 算数平均数的数学性质 3 如对每个标志值乘以或除以一个任意值A 则平均数也要乘以或除以那个A值 乘以A 简单算术平均数 除以A 简单算术平均数 4 变量值与其算术平均数的离差平方和为最小 即 第五章平均指标 第二节算数平均数 四 是非标志平均数 为研究是非标志总体的数量特征 令 指总体中全部单位只具有 是 或 否 有 或 无 两种表现形式的标志 又叫交替标志 是非标志 第五章平均指标 第二节算数平均数 四 算数平均数的特殊应用 具有某种标志表现的单位数所占的成数 不具有某种标志表现的单位数所占的成数 指是非标志总体中具有某种表现或不具有某种表现的单位数占全部总体单位总数的比重 成数 第五章平均指标 第二节算数平均数 四 算数平均数的特殊应用 三 是非标志平均数 均值 第五章平均指标 第二节算数平均数 四 算数平均数的特殊应用 三 是非标志平均数 例 某厂某月份生产了400件产品 其中合格品380件 不合格品20件 求产品质量分布的集中趋势与离中趋势 第五章平均指标 第三节调和平均数 例 设X 2 4 6 8 则其调和平均数可由定义计算如下 再求算术平均数 求各标志值的倒数 再求倒数 是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数 又叫倒数平均数 第五章平均指标 第三节调和平均数 一 简单调和平均数 适用于总体资料未经分组整理 尚为原始资料的情况 式中 为调和平均数 为变量值的个数 为第个变量值 第五章平均指标 第三节调和平均数 二 加权调和平均数 适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况 式中 为第组的变量值 为第组的标志总量 调和平均数的应用 第五章平均指标 第三节调和平均数 例 某企业某日工人的日产量资料如下 计算该企业该日全部工人的平均日产量 调和平均数的应用 第五章平均指标 第三节调和平均数 即该企业该日全部工人的平均日产量为12 1375件 解 第五章平均指标 第三节调和平均数 三 由相对数计算平均数 由于比值 平均数或相对数 不能直接相加 求解比值的平均数时 需将其还原为构成比值的分子 分母原值总计进行对比 设相对数 则有 第五章平均指标 第三节调和平均数 三 由相对数计算平均数 例A 某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下 计算该公司该季度的平均计划完成程度 第五章平均指标 第三节调和平均数 三 由相对数计算平均数 例A 某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下 计算该公司该季度的平均计划完成程度 第五章平均指标 第三节调和平均数 三 由相对数计算平均数 例B 某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下 按计划完成程度分组 计算该公司该季度的平均计划完成程度 应采用平均数的基本公式计算 第五章平均指标 第四节几何平均数 是N项变量值连乘积的开N次方根 第五章平均指标 第四节几何平均数 一 简单几何平均数 适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况 式中 为几何平均数 为变量值的个数 为第个变量值 第五章平均指标 第四节几何平均数 一 简单几何平均数 例 某流水生产线有前后衔接的五道工序 某日各工序产品的合格率分别为95 92 90 85 80 求整个流水生产线产品的平均合格率 分析 设最初投产100A个单位 则第一道工序的合格品为100A 0 95 第二道工序的合格品为 100A 0 95 0 92 第五道工序的合格品为 100A 0 95 0 92 0 90 0 85 0 80 第五章平均指标 第四节几何平均数 一 简单几何平均数 因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品 故该流水线总的合格品应为100A 0 95 0 92 0 90 0 85 0 80 则该流水线产品总的合格率为 即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积 符合几何平均数的适用条件 故需采用几何平均法计算 第五章平均指标 第四节几何平均数 一 简单几何平均数 因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品 故该流水线总的合格品应为100A 0 95 0 92 0 90 0 85 0 80 则该流水线产品总的合格率为 即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积 符合几何平均数的适用条件 故需采用几何平均法计算 解 若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线 而是五个独立作业的车间 且各车间的合格率同前 又假定各车间的产量相等均为100件 求该企业的平均合格率 思考 思考 因各车间彼此独立作业 所以有第一车间的合格品为 100 0 95 第二车间的合格品为 100 0 92 第五车间的合格品为 100 0 80 则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和 即总合格品 100 0 95 100 0 80 分析 思考 不再符合几何平均数的适用条件 需按照求解相对数的平均数的方法计算 又因为 应采用加权算术平均数公式计算 即 第五章平均指标 第四节几何平均数 二 加权几何平均数 适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况 式中 为几何平均数 为变量值的个数 为第个变量值 第五章平均指标 第四节几何平均数 二 加权几何平均数 例 某金融机构以复利计息 近12年来的年利率有4年为3 2年为5 2年为8 3年为10 1年为15 求平均年利率 设本金为V 则至各年末的本利和应为 第1年末的本利和为 第2年末的本利和为 第12年末的本利和为 分析 第五章平均指标 第四节几何平均数 二 加权几何平均数 则该笔本金12年总的本利率为 即12年总本利率等于各年本利率的连乘积 符合几何平均数的适用条件 故计算平均年本利率应采用几何平均法 解 分析 第1年末的应得利息为 第2年末的应得利息为 第12年末的应得利息为 第五章平均指标 则该笔本金12年应得的利息总和为 V 0 03 4 0 05 2 0 15 1 这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件 需按照求解比值的平均数的方法计算 因为 假定本金为V 第五章平均指标 所以 应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率 即 解 比较 按复利计息时的平均年利率为6 85 第五章平均指标 第五章平均指标 是否为比率或速度 各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度 是否为其他比值 否 是 几何平均法 算术平均法 求解比值的平均数的方法 指标 三 数值平均数计算公式的选用顺序 第五章平均指标 第五节位置平均数 一 众数 指总体中出现次数最多的变量值 用表示 它不受极端数值的影响 用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平 第五节位置平均数 众数的确定 1 单项数列确定众数的方法 出现次数最多的标志值就是众数 例A 已知某企业某日工人的日产量资料如下 计算该企业该日全部工人日产量的众数 第五章平均指标 第五章平均指标 第五节位置平均数 第五章平均指标 2 组距数列确定众数的方法 由最多次数来确定众数所在组 按公式计算众数 第五章平均指标 例B 某车间50名工人月产量的资料如下 计算该车间工人月产量的众数 第五章平均指标 第五节位置平均数 2 组距数列确定众数的方法 第五章平均指标 第五节位置平均数 413名学生出生时间分布直方图 众数的原理及应用 无众数 第五章平均指标 第五节位置平均数 众数的原理及应用 双众数 当数据分布呈现出双众数或多众数时 可以断定这些数据来源于不同的总体 第五章平均指标 第五节位置平均数 二 中位数 将总体各单位标志值按大小顺序排列后 指处于数列中间位置的标志值 用表示 不受极端数值的影响 在总体标志值差异很大时 具有较强的代表性 中位数的作用 第五章平均指标 第五节位置平均数 中位数的确定 1 由未分组资料确定中位数 1 对某个标志值按大小顺序资料加以排列 2 然后用下列公式确定中位数的位置 第五章平均指标 第五节位置平均数 中位数的确定 1 由未分组资料确定中位数 中位数的位次为 即第3个单位的标志值就是中位数 第五章平均指标 第五节位置平均数 中位数的确定 1 由未分组资料确定中位数 中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数 即 中位数位置 第五章平均指标 第五节位置平均数 中位数的确定 2 由单项数列确定中位数 计算各组的累计次数 根据中位数位置确定中位数 第五章平均指标 第五节位置平均数 中位数的确定 2 由单项数列确定中位数 例C 某企业某日工人的日产量资料如下 计算该企业该日全部工人日产量的中位数 第五章平均指标 第五节位置平均数 中位数的确定 3 由组距数列确定中位数 确定中位数的值 从数列的累积频数栏确定第个单位所在的组 即中位数组 式中 L 表示中位数所在组的下限 中为数所在组的次数 中位数所在组以前各组的累积次数 d 中位数所在组的组距 第五章平均指标 第五节位置平均数 中位数的确定 3 由组距数列确定中位数 例D 某车间50名工人月产量的资料如下 计算该车间工人月产量的中位数 第五章平均指标 第五节位置平均数 3 由组距数列确定中位数 中位数的确定 第五章平均指标 第六节平均指标的应用 一 各种平均指标的比较 位置平均数与算术平均数的关系 位置平均数与算术平均数的关系 X f X f X f 对称分布 正偏态分布 右 负偏态分布 左 在偏斜不大时 1 2 1 2 第五章平均指标 第六节平均指标的应用 二 运用平均指标应注意的问题 1 平均指标只能运用于同质总体 2 用组平均数补充说明总平均数 3 用分配数列补充说明平均数 4 将平均指标与离散指标结合起来分析 第五章平均指标 第六节平均指标的应用 二 运用平均指标应注意的问题 某企业工资情况表 第五章平均指标 第六节平均指标的应用 二 运用平均指标应注意的问题 某工业部门50个企业年度产值计划完成情况 一 离中趋势的涵义 变异指标 第七节变异指标 变异指标值越大 平均指标的代表性越小 反之 平均指标的代表性越大 二 变异指标的作用 变异指标 衡量和比较平均数代表性的大小 是进行质量控制的基础 是衡量风险程度的尺度 例如 某车间有两个生产小组 各有7名工人 各人日产量如下 甲组 20 40 60 70 80 100 120乙组 67 68 69 70 71 72 73 变异指标 变异指标 变异指标 二 变异指标的种类 以标志值之间相互比较说明变异情况 以平均数为比较标准来说明标志的变异情况 以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标 平均差 标准差 平均差系数 标准差系数 方差 峰度 偏度 全距 分位差 变异指标 指所研究的数据中 最大值与最小值之差 又称极差 1 全距 三 变异指标的计算 变异指标 1 全距 变异指标 1 全距 例B 某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下 变异指标 一 全距 缺点 仅取决于两个极端值的水平 不能反映其间的变量分布情况 受个别极端值的影响过于显著 不符合稳健性和耐抗性的要求 全距的特点 优点 计算方法简单 易懂 变异指标 2 分位差 从变量数列中 剔除了一部分极端值后计算的类似于极差的指标 四分位差 十六分位差 十分位差 八分位差 三十二分位差 百分位差 上四分位数 下四分位数 变异指标 3 平均差 简单平均差 适用于未分组资料 是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数 用表示 计算公式 变异指标 3 平均差 例A 某售货小组5个人 某天的销售额分别为440元 480元 520元 600元 750元 求该售货小组销售额的平均差 解 即该售货小组5个人销售额的平均差为93 6元 变异指标 3 平均差 加权平均差 适用于分组资料 变异指标 3 平均差 例B 计算下表中某公司职工月工资的平均差 变异指标 3 平均差 解 即该公司职工月工资的平均差为138 95元 变异指标 3 平均差 优点 不易受极端数值的影响 能综合反映全部单位标志值的实际差异程度 缺点 用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题 不便于作数学处理和参与统计分析运算 平均差的特点 变异指标 3 平均差 平均差系数 4 标准差和标准差系数 变异指标 简单标准差 适用于未分组资料 是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根 用来表示 标准差的平方又叫作方差 用来表示 标准差 计算公式 4 标准差和标准差系数 变异指标 例A 某售货小组5个人 某天的销售额分别为440元 480元 520元 600元 750元 求该售货小组销售额的标准差 解 4标准差和标准差系数 变异指标 标准差 加权标准差 适用于分组资料 4标准差和标准差系数 变异指标 例B 计算下表中某公司职工月工资的标准差 4标准差和标准差系数 变异指标 解 比较 其工资的平均差为138 95元 即该公司职工月工资的标准差为167 9元 4标准差和标准差系数 变异指标 由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差 证明 当a b c 0时 有 标准差的特点 不易受极端数值的影响 能综合反映全部单位标志值的实际差异程度 用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题 可方便地用于数学处理和统计分析运算 4标准差和标准差系数 变异指标 标准差的简捷计算 变异指标 可比 4标准差和标准差系数 变异指标 身高的差异水平 cm 体重的差异水平 kg 可比 4标准差和标准差系数 第六章变异指标 标准差系数 4标准差和标准差系数 变异指标 例 某年级一 二两班某门课的平均成绩分别为82分和76分 其成绩的标准差分别为15 6分和14 8分 比较两班平均成绩代表性的大小 解 二班成绩的标准差系数为 因为 所以一班平均成绩的代表性比二班大 4 标准差和标准差系数 第六章变异指标 是非标志总体 为研究是非标志总体的数量特征 令 第三节标准差和标准差系数 第六章变异指标 是非标志总体的指标 具有某种标志表现的单位数所占的成数 不具有某种标志表现的单位数所占的成数 4标准差和标准差系数 第六章变异指标 是非标志总体的指标 均值 标准差 第三节标准差和标准差系数 第六章变异指标 是非标志总体的指标 方差 标准差系数 4标准差和标准差系数 第六章变异指标 是非标志总体的指标 例 某厂某月份生产了400件产品 其中合格品380件 不合格品20件 求产品质量分布的集中趋势与离中趋势 解 常用的几种标志变异指标 概念计算特点 数列中最大值与最小值之差 1 极差 R R 最大值 最小值 优点 容易理解 计算方便缺点 不能反映全部数据分布状况 2 平均差 A D 各标志值与均值离差绝对值的算术平均 简单 加权 优点 反映全部数据分布状况缺点 取绝对值 数字上不尽合理 变异指标 概念计算特点 各标志值与均值离差平方的平均 方差的平方根 取正根 3 方差 2 和标准差 优点 反映全部数据分布状况 数字上合理 缺点 受计量单位和平均水平影响 不便于比较 4 标准差系数 V 标准差与均值之商 是无量纲的系数 简单 加权 优点 适宜不同数据集的比较缺点 对数据结构变化反应不灵敏 变异指标 本章小结 1 平均指标反映了总体分布的共性或一般水平 和标志变异指标一起分别从集中趋势和离中趋势两个方面来描述总体分布的特征 平均指标有动态上的平均指标和静态上的平均指标之分 静态上的平均数有算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数和众数 2 算术平均数通常用来反映总体分布的集中趋势 调和平均数往往只作为算术平均数的变形来使用 即在已知标志总量而未知总体单位总量的情况下计算调和平均数 而几何平均数较适用于计算平均比率和平均速度 3 中位数和众数是根据标志值的位置计算的 所以也叫位置平均数 把标志值从小到大排列起来处于中间位置上的数就是中位数 在一个变量数列中出现次数最多的哪个数就是众数 众数 中位数 算术平均数存在一定的数量关系 本章小结 4 平均指标描述的是总体的集中趋势 而标志变异指标描述的是总体的离中趋势 它们从两方面来反映总体的分布特征 其作用首先是衡量平均指标代表性大小的一种尺度 其次还可以反映社会经济活动过程的均衡性与协调性 5 全距 四分位差 平均差与标准差在反映标志变异程度方面各有优缺点 方差 和标准差 是应用最广的标志变异指标 标准差与标准差系数是反映标志差异程度的主要指标 它比前面介绍的其它指标都科学 标准差就是标志值与其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根 第五章平均指标与变异指标 本章小结 6 为了对比和分析不同平均水平总体的标志差异程度 就需要使用标准差系数 标准差系数是标准差与其算术平均数之比 它既消除了变量数列水平的影响 是反映标志差异程度方面目前最科学的统计指标之一 7 要掌握是非标志的平均数与标准差的计算 是非标志的最大值是0 25 复习思考题之一 平均指标 一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度 2 什么是平均指标 它的特点和作用如何 3 平均数与强度相对数有何区别 4 平均指标有几种 为何算术平均数是其中最基本的一种 5 如何理解加权算术平均数中权数的意义 6 什么是众数和中位数 如何运用 复习思考题 7 加权算术平均数和加权调和平均数之间的关系如何 什么情况下加权调和平均数等于简单调和平均数 试举例说明 8 中位数 众数与算术平均数的关系是怎样的 9 计算和应用平均指标应注意哪几个问题 第五章平均指标 复习思考题 第五章平均指标 10 某农场三种不同地段的粮食产量资料如下 试计算每个地段的单位面积产量和三个地段的平均单位面积产量 复习思考题 第五章平均指标 11 某厂50名工人 各级工人工资和工人数资料如下 试计算工人的平均月工资 复习思考题 第五章平均指标 12 已知某地区各工业企业产值计划完成情况及