二次函数的性质

二次函数的性质 教案 二次函数的性质 教案 财神中学财神中学 林梦丹林梦丹 教学目标教学目标 1 1 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质 2 2 了解二次函数与二次方程的相互关系了解二次函数与二次方程的相互关系 3 3 探索二次函数的变化规律探索二次函数的变化规律 掌握函数的最大值掌握函数的最大值 或最小值或最小值 及函数的及函数的 增减性的概念增减性的概念 会求二次函数的最值会求二次函数的最值 并能根据性质判断函数在某一并能根据性质判断函数在某一 范围内的增减性范围内的增减性 教学重点教学重点 二次函数的最大值二次函数的最大值 最小值及增减性的理解和求法最小值及增减性的理解和求法 教学难点教学难点 二次函数的性质的应用二次函数的性质的应用 教学过程教学过程 一一 复习引入复习引入 二次函数二次函数 y ax2y ax2 bx bx c c a a 0 0 的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线 它的它的 开口由什么决定呢开口由什么决定呢 补充补充 当当 a a 的绝对值相等时的绝对值相等时 其形状完全相同其形状完全相同 当当 a a 的绝对值越的绝对值越 大大 则开口越小则开口越小 反之成立反之成立 二二 新课教学新课教学 1 1 探索填空探索填空 根据下边已画好抛物线根据下边已画好抛物线 y y 2x2 2x2 的顶点坐标是的顶点坐标是 对称轴是对称轴是 在在 侧 即侧 即 x 0 x 0 时时 y y 随着随着 x x 的增大而增大 在的增大而增大 在 侧 即侧 即 x 0 x 0 时时 y y 随着随着 x x 的增大而减小的增大而减小 当当 x x 时 函数时 函数 y y 最大值是最大值是 当当 x 0 x 0 时时 y 0 y0 y 0 3 3 归纳归纳 二次函数二次函数 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 的图象和性质的图象和性质 1 1 顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴 2 2 位置与开口方向位置与开口方向 3 3 增减性与最值增减性与最值 当当 a a 0 0 时 在对称轴的左侧 时 在对称轴的左侧 y y 随着随着 x x 的增大而减小 在对称的增大而减小 在对称 轴的右侧 轴的右侧 y y 随着随着 x x 的增大而增大 当的增大而增大 当 时 函数时 函数 y y 有最有最 小值小值 当 当 a a 0 0 时 在对称轴的左侧 时 在对称轴的左侧 y y 随着随着 x x 的增大而增的增大而增 大 在对称轴的右侧 大 在对称轴的右侧 y y 随着随着 x x 的增大而减小 当的增大而减小 当 时 函数时 函数 y y 有最大值有最大值 4 4 探索二次函数与一元二次方程探索二次函数与一元二次方程 二次函数二次函数 y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2 的图象如图所示的图象如图所示 图 图 略 略 1 1 每个图象与每个图象与 x x 轴有几个交点 轴有几个交点 2 2 一元二次方程一元二次方程 x2 2x 0 x2 2x 1 0 x2 2x 0 x2 2x 1 0 有几个根有几个根 验证一下一元验证一下一元 二次方程二次方程 x2 2x 2 0 x2 2x 2 0 有根吗有根吗 3 3 二次函数二次函数 y ax2 bx cy ax2 bx c 的图象和的图象和 x x 轴交点的坐标与一元二次轴交点的坐标与一元二次 方程方程 ax2 bx c 0ax2 bx c 0 的根有什么关系的根有什么关系 归纳归纳 3 3 二次函数二次函数 y ax2 bx cy ax2 bx c 的图象和的图象和 x x 轴交点有三种情况轴交点有三种情况 有两个交点有两个交点 有一个交点有一个交点 没有交点没有交点 当二次函数当二次函数 y ax2 bx cy ax2 bx c 的图象和的图象和 x x 轴有交点时轴有交点时 交点的横交点的横 坐标就是当坐标就是当 y 0y 0 时自变量时自变量 x x 的值的值 即一元二次方程即一元二次方程 ax2 bx c 0ax2 bx c 0 的根的根 当当 b2 4ac 0b2 4ac 0 时 抛物线与时 抛物线与 x x 轴有两个交点 交点的横坐标是一元轴有两个交点 交点的横坐标是一元 二次方程二次方程 0 ax2 bx c0 ax2 bx c 的两个根的两个根 x1x1 与与 x2x2 当 当 b2 4ac 0b2 4ac 0 时 抛物线时 抛物线 与与 x x 轴有且只有一个公共点 当轴有且只有一个公共点 当 b2 4ac 0b2 4ac 0 时 抛物线与时 抛物线与 x x 轴没有轴没有 交点 交点 举例举例 求二次函数图象求二次函数图象 y x2 3x 2y x2 3x 2 与与 x x 轴的交点轴的交点 A A B B 的坐标 的坐标 结论结论 1 1 方程 方程 x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 的解就是抛物线的解就是抛物线 y x2 3x 2y x2 3x 2 与与 x x 轴的两个轴的两个 交点的横坐标 因此 抛物线与一元二次方程是有密切联系的 交点的横坐标 因此 抛物线与一元二次方程是有密切联系的 即 若一元二次方程即 若一元二次方程 ax2 bx c 0ax2 bx c 0 的两个根是的两个根是 x1x1 x2x2 则抛物线 则抛物线 y ax2 bx cy ax2 bx c 与轴的两个交点坐标分别是与轴的两个交点坐标分别是 A A x1x1 0 0 B B x2 0 x2 0 5 5 例题教学例题教学 例例 1 1 已知函数已知函数 写出函数图像的顶点 图像与坐标轴的交点 以及图像与写出函数图像的顶点 图像与坐标轴的交点 以及图像与 y y 轴的交轴的交 点关于图象对称轴的对称点 然后画出函数图像的草图 点关于图象对称轴的对称点 然后画出函数图像的草图 2 2 自变量自变量 x x 在什么范围内时 在什么范围内时 y y 随着随着 x x 的增大而增大 何时的增大而增大 何时 y y 随随 着着 x x 的增大而减少 并求出函数的最大值或最小值 的增大而减少 并求出函数的最大值或最小值 归纳归纳 二次函数五点法的画法二次函数五点法的画法 例 例 已知函数已知函数 y y x2x2 2x 2x 3 3 写出函数图象的顶点 图象与坐标轴的交点 以及图象与 写出函数图象的顶点 图象与坐标轴的交点 以及图象与 y y 轴的交点关于图象对称轴的对称点 然后画出函数图象的草图 轴的交点关于图象对称轴的对称点 然后画出函数图象的草图 2 2 求图象与坐标轴交点构成的三角形求图象与坐标轴交点构成的三角形 的面积 的面积 3 3 根据第 题的图象草图 说 根据第 题的图象草图 说 出出 x x 取哪些值时 取哪些值时 y 0 y 0 y 0 y0 y 0 三三 巩固练习巩固练习 请完成课本练习 请完成课本练习 p42 p42 1 21 2 四四 尝试提高尝试提高 1 1 二次函数 二次函数 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 的图象如图所示 则则 a a b b c c 的符号为的符号为 2 2 已知二次函数的图像如图所示 下列结论 已知二次函数的图像如图所示 下列结论 a b c 0 a b c 0 a b c 0 a b c 0 abc abc 0 0 b 2a b 2a 其中正确的结论的个数是 其中正确的结论的个数是 A A 1 1 个个 B B 2 2 个个 C C 3 3