新课标数学必修4知识点总结

数学必修数学必修 4 知识小结知识小结 武汉市第十五中学高一数学组 12 1 第一章第一章 三角函数三角函数 一 任意角与弧度制一 任意角与弧度制 1 角的定义 一条射线绕着顶点旋转到另一个位置所成的图形 逆时针方向旋转为正角 顺时针 方向旋转为负角 不作任何旋转形成零角 2 角的象限 角的顶点与原点重合 角的始边与 x 轴的非负半轴重合 则角的终边落在哪一个象 限 这个角就称为哪一象限的角 第一象限的角 第二象限的角 2 2 2 kkkZ 2 2 2 kkkZ 第三象限的角 第四象限的角 3 2 2 2 kkkZ 3 2 22 2 kkkZ 3 所有与角终边相同的角的集合 2 SkkZ 4 弧度制 如果半径为的圆的圆心角所对的弧长为 那么角的弧度数的绝对值是rl l r 弧度与角度的互化 180 18011 180 radradrad 5 弧长公式 扇形的面积公式 其中分别为扇形的圆心角lr A 2 11 22 Srlr 一一 一 r l 弧度 半径 弧长 强化训练 强化训练 1 已知角是第二象限角 试确定角 的终边所在的位置 2 2 2 1 若角与角的终边关于 x 轴对称 则与的关系是 2 若角与角的终边关于原点对称 则与的关系是 3 如图所示 试分别表示终边落在阴影区域的角 4 若角是第四象限角 则是第 象限角 5 在扇形中 已知半径为 8 弧长为 12 则圆心角是 弧度 扇形面积是 6 已知一扇形的周长为 40cm 当它的半径和圆心角各取多少时 才能使扇形的面积最大 最大面 积为多少 数学必修数学必修 4 知识小结知识小结 武汉市第十五中学高一数学组 12 2 二 任意角的三角函数二 任意角的三角函数 1 三角函数的第一定义 设是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 P x y 则 siny cosx tan y x 2 三角函数的第二定义 设是一个任意角 在角的终边上任取一点 令 P x yOPr 则 sin y r cos x r tan y x 3 三角函数线 有向线段 MP OM AT 分别为角的正弦线 余弦线 正切线 合称三角函数线 4 同角三角函数关系 平方关系 22 sincos1 商数关系 sin tan cos2 kkZ 5 与 与的大小关系sinacos sinacos 角的终边在阴影部分内 则 sincos 角的终边在阴影部分外 则 sincos 角的终边在阴影部分内 则 sincos 角的终边在阴影部分外 则 sincos 强化训练强化训练 1 已知角的终边上有一点 分别求的值 3 4Paasin cos tan 2 已知 试判断角所在的象限cos0 tan0 3 在内 使成立的的取值范围是 0 2 sincos 4 化简 1 2sin5cos5 5 已知 且角为钝角 求的值 1 sin 3 cos tan 6 已知 求的值tan2 sin cos 5 4 3 2 1 1 2 6 4 22468 OM P A T 5 4 3 2 1 1 2 6 4 22468 OM P A T 数学必修数学必修 4 知识小结知识小结 武汉市第十五中学高一数学组 12 3 7 已知 求下列各式的值tan2 1 2 sin2cos 3cos4sin 22 sin3cossin2cos 8 已知 求 1 2 3 7 sincos 0 54 sincos sincos tan 三 三角函数的诱导公式三 三角函数的诱导公式 sin2sin cos2cos tan2tankkk 一一一一 sinsin coscos tantan 一一一一一一一一一 sinsin coscos tantan 一一一一 sinsin coscos tantan 一一一一 sincos cossin 22 一一一一 sincos cossin 22 一一一一一一一 诱导公式的规律 奇变偶不变 符号看象限 意思是 的三角函数值可化为角的三角函数值 当 k 为奇数时 函数名改变 当 2 k kZ k 为偶数时 函数名不变 角的函数值前面加上视为锐角时 原函数值在所在 2 k kZ 象限内的符号 强化训练 强化训练 1 求下列各三角函数的值 1 2 3 sin 945 31 tan 6 353 3sin1200coscos585 tan 34 2 1 已知 求的值 1 sin 32 5 sin 3 2 已知 求的值cos 6 m 4 sin 3 数学必修数学必修 4 知识小结知识小结 武汉市第十五中学高一数学组 12 4 3 已知 求的值 1tan 32 2 1tan 22 cossincos2sin 四 三角函数的图像和性质四 三角函数的图像和性质 1 正弦函数 的性质sinyx 定义域为 R 值域为 2 最小正周期为 1 1 2 3 单调性 单调增区间 单调减区间2 2 22 kkkZ 3 2 2 22 kkkZ 4 奇偶性 奇函数 5 对称性 对称轴 直线 对称中心 点 2 xkkZ 0 kkZ 2 余弦函数 的性质cosyx 定义域为 R 值域为 2 最小正周期为 1 1 2 3 单调性 单调增区间 单调减区间 2 2 kkkZ 2 2 kkkZ 4 奇偶性 偶函数 5 对称性 对称轴 直线 对称中心 点 xkkZ 0 2 kkZ 3 正切函数 的性质tan 2 yx xkkZ 定义域为 值域为 2 最小正周期为 2 x xR xkkZ R 3 单调性 单调增区间 22 kkkZ 4 奇偶性 奇函数 5 对称性 对称中心 点 0 2 k kZ 4 三角函数的图像变换 三种基本变换 1 周期变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的 sinsin0yyx 1 2 相位变换 向左或向右平移个单位 加左减右 sinsin yyx 0 0 3 振幅变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 sinsin0yyAx A 数学必修数学必修 4 知识小结知识小结 武汉市第十五中学高一数学组 12 5 三个参数不同 所以要经过三个基本变换 每一个siny sin 0 0yAxA 基本变换改变一个参数 变换的步骤一般是先进行相位变换 再进行周期变换 最后进行振幅变换 5 已知三角函数图像求三角函数 已知三角函数图像求三角函数 解析式解析式sin yAx 0 0A 由最大 最小 值求出 由周期求出 由特殊点的坐标代入求出 注意 取零点时要A 注意是第一零点还是第二零点 相邻的两个最高点或最低点的间距为一个周期 相邻的两个最值点的间距为半个周期 相邻的 两个对称中心的间距为半个周期 最高点和与之相邻的对称中心的间距为四分之一个周期 强化训练 强化训练 1 函数的周期 振幅 初相分别是 42 1 sin 2 xy 2 函数的图象的一条对称轴方程是 2 2cos xy A B C D 2 x 4 x 8 x x 3 要得到函数 y sin 2x 的图象 只要将函数 y sin2x 的图象 3 A 向左平行移动个单位 B 向左平行移动个单位 3 6 C 向右平行移动个单位 D 向右平行移动个单位 3 6 4 若函数的定义域为 则值域是 xxysin2cos2 5 66 x A B C D 2 2 2 1 7 4 4 7 2 4 5 函数的单调递增区间是 32 cos x y 6 函数的定义域为 2 4lg 1 2sinyxx 7 如图是函数的图象的sin 0 0 2 yAxA 一部分 则函数的解析式是 8 函数由 y sinx xR 的图象怎样变换得到的 1 2sin 26 yx 4 4 6 2 o y x 数学必修数学必修 4 知识小结知识小结 武汉市第十五中学高一数学组 12 6 第二章第二章 平面向量平面向量 一 向量的基本概念一 向量的基本概念 1 向量的定义 既有大小又有方向的量 叫做向量 2 向量的表示 1 字母表示 a AB 2 几何表示 可以用有向线段表示向量 但有向线段不是向量 3 向量的基本概念 1 模 向量的大小 也就是向量的长度 也称为模 记作a 2 零向量 长度为 0 的向量 3 单位向量 长度为 1 的向量 4 共线向量 方向相同或相反的非零向量为共线向量 也称平行向量 记作 ab 5 相等向量 长度相等且方向相同的向量称为相等向量 6 相反向量 长度相等且方向相反的向量称为相反向量 强化训练强化训练 1 下列说法正确的是 A 长度相等的向量就是相等向量 B 共线向量就是在一条直线上的向量 C 零向量的长度是 0 D 方向相同或相反的向量是平行向量 2 如图 三角形 ABC 的三边均不相等 E F D 分别为 AC AB BC 的中点 1 写出与共线的向量 2 写出所有与模相等的向量EF EF 二 平面的线性运算二 平面的线性运算 1 向量的加法向量的加法 1 加法法则 1 平行四边形法则 共起点 2 三角形法则 首尾相连 ABACAD ABBCAC 2 相关结论 AB C AB C D F C D E B A 数学必修数学必修 4 知识小结知识小结 武汉市第十五中学高一数学组 12 7 1 2 3 ababab abba abcabc 2 向量的减法 向量的减法 减法法则 三角形法则 共起点 ABACCB 3 数乘运算 数乘运算 1 定义 规定实数与向量的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记做 a a 长度与方向规定如下 1 aa 2 当时 的方向与的方向相同 当时 的方向与的方向相反0 a a 0 a a 2 相关结论 1 2 3 aa aaa abab 4 00 3 向量共线定理 为非零向量 则 为唯一确定的实数 a abba 4 三点共线问题 若 A B C 三点共线 ABACBC 或AB 推论 若 则 A B C 三点共线OAmOBnOC 1mn 强化训练 强化训练 1 在平行四边形 ABCD 中则下列运算正确的是 dODcOCbOBaOA 0 0 0 0 dcbaDdcbaCdcbaBdcbaA 2 化简下列各式 结果为零向量的个数为 个 1 2 3 4 ABBCCA ABACBDCD OAODAD NQQPMNMP 3 如图 已知平行四边形 ABCD 的边 BC CD 的中点分别为 E F 且 试用表示 AEa AFb a b BC CD 4 设 P 是三角形 ABC 所在平面内的一点 则 2BCBABP 0 0 0 0A PAPBB PBPCC PCPAD PAPBPC AB C B C D E F A 数学必修数学必修 4 知识小结知识小结 武汉市第十五中学高一数学组 12 8 5 在三角形 ABC 中 已知 D 是 AB 边上的一点 若 则2ADDB 1 3 CDCACB 6 已知两非零向量 设 判断 A B C 的位置关系 a b OAab 2OBab 3OCab 三 平面向量基本定理及坐标表示三 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理 平面向量基本定理 1 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意 1 e 2 e 向量 有且只有一对实数 使 a 12 aee 2 基底 不共线的两个向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 1 e 2 e 两个向量成为基底的唯一限制是不共线 任意两个不共线的向量都可以作为平面的基底 3 向量共线定理的推论 若 则 交叉相乘 积相等 1 112 aee 2 122 bee 1221 ab 4 向量的夹角 作 则叫做向量与的夹角 OAa OBb AOB a b 显然 当时 同向 当时 反向 当时 称 0 180 0 a b 180 a b 90 a 垂直 记作 b ab 2 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的正交分解及坐标表示 1 正交分解 把一个向量分解成两个相互垂直的两个向量 叫做平面向量的正交分解 2 坐标表示 取分别与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量 作为基底 对于平面内的一个向i j 量 则 我们将有序数对叫做向量的坐标 记作 a axiy j x ya a x y 3 向量的坐标运算 向量的坐标运算 若 则a 11 x yb 22 xy 1212 abxxyy 1212 abxxyy 11 axy 4 向量平行的坐标表示 向量平行的坐标表示 若 则a 11 x yb 22 xy 1221 0abx yx y 数学必修数学必修 4 知识小结知识小结 武汉市第十五中学高一数学组 12 9 强化训练强化训练 1 设为两个不共线的向量 与共线 则 21 e e 12 aee 若 12 23 bee 2 在三角形 ABC 中 设 点在线段上 且 则把用a ABACb DBC3 BDDC AD 表示为 a b 3 ABCD 的 3 个顶点为 A a b B b a C 0 0 则它的第 4 个顶点 D 的坐标是 4 已知 ABC 的三个顶点 A B C 及所在平面内一点 P 满足 则点 PABPCPBPA 与 ABC 的关系是 A P 在 ABC 内部 B P 在 ABC 外部 C P 在直线 AB 上 D P 在 ABC 的 AC 边的一个三等分点上 5 两点P 4 9 Q 2 3 y 轴与直线PQ交于 M 且则为 MQPM 6 如图 直线经过 ABC 的重心 G 分别与 AB AC 交于两点 PQ P Q 设 则APmAB AQnAC 11 mn 7 如图 ABC 中 D 是 BC 的中点 E 是 AD 的中点 试用 表示 AB AC CE 8 若向量 当与平行时 则 1 2 a 1 bx 2ab 2ab x 9 如图 平行四边形 ABCD 中 点 E F 分别是 BC DC 的 中点 G 为 BF DE 的交点 若 试以 ABa ADb 表示 a b DE BF CG 四 平面向量的数量积四 平面向量的数量积 1 数量积的定义 数量积的定义 两个非零向量 我们把数量叫做向量与的数量积 记作a b cosa b a b 其中是向量 的夹角 特别地 我们把叫做在方向上的投影 a b A a b cosa a b 2 数量积的几何意义 数量积的几何意义 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积 a b Aa a b a cosb 3 运算律 运算律 1 2 3 a b Ab a A a b A a b A ab A ab c Aa cb c AA 4 相关结论 相关结论 1 2 3 4 00a A0aba b A 2 2 aa a ba b AA Q P G C B A E D CB A G F E D C B A 数学必修数学必修 4 知识小结知识小结 武汉市第十五中学高一数学组 12 10 5 6 2 22 2abaabb 22 ababab 5 数量积的坐标表示 数量积的坐标表示 若 则a 11 x yb 22 xy 1212 a bx xy y A 6 坐标运算的相关结论 坐标运算的相关结论 1 若 则a x y 22 axy 2 若 则a 11 x yb 22 xy 1212 0abx xy y 3 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy A 7 向量与三角形的 向量与三角形的 四心四心 已知点 P 是三角形所在平面内的一点 1 若 则点 P 是三角形 ABC 的重心 0PAPBPC 2 若 则点 P 是三角形 ABC 的垂心 PA PBPB PCPC PA AAA 3 若 则点 P 是三角形 ABC 的外心 222 PAPBPC 4 令若 则点 P 是三角形 ABC 的内心 ABc BCa CAb 0aPAbPBcPC 强化训练强化训练 1 若等边三角形 ABC 的边长是 平面内一点 M 满足 则2 3 12 63 CMCBCA MA MB A 2 若 的夹角与 则 bababa 721 的余弦值为 3 则向量在向量方向上的投影为 4 3 1 2 ba a b 4 若向量 当 与垂直时 求 1 2 a 1 bx 2ab 2ab x 5 已知 求及的夹角的余弦 2 8ab 8 16ab a b Aab 与 6 已知 a4 b 3 2a 3b 2ab 61 1 求的值 2 求的夹角 3 求的值 a b Aab 与 ab 7 设 是两个不共线的单位向量 那么实数 x 为何值时的值ab120ab 且与夹角为 axb 数学必修数学必修 4 知识小结知识小结