用方程思想解证不等问题

运用方程思想解证不等问题运用方程思想解证不等问题 上海复旦二附中 崔之骍 方程是代数的重要内容 也是重要的数学方法 很多数学问题都可以 转化成方程问题来解决 但是方程思想的运用 并非仅限于列方程 或方 程组求解 有关方程的所有知识在各类问题中有着广泛的应用 其中一元 二次方程根的判别式有其独特的作用 由于它有大于零 等于零 小于零 的三种情况 分别决定了方程两实根的相异 相同或不存在 这就使我们 能运用这一知识来解决一些与不等相关的问题 如不等式 字母或式子的 取值范围 函数的值域 变量的最大值或最小值等 在运用这一知识解证 不等关系的问题时 应先建立一元二次方程 然后再运用根的判别式 以 下举例说明 一 求实数或代数式的取值范围一 求实数或代数式的取值范围 例例1 已知实数a b 满足a2b2 5a2 2ab 5a 1 0 求证b 4 1 证明证明 将条件等式整理成关于a的一元二次方程 b2 5 a2 2b 5 a 1 0 a为实数 2b 5 2 4 b2 5 20b 5 0 例2 已知x为实数 试证的值在与之间 1 1 2 2 x xx 2 1 2 3 x为实数 4k2 8k 3 2k 1 2k 3 0 例例3 已知a b c是实数 且abc 1 a b c 0 求证 a b c中必有 一个大于 2 3 证明证明 由abc 1 a b c 0 可知a b c中有一个为正数 两个为负数 不妨设a为正数 例例4 实数a b c满足 a2 bc 5a 2 0 b2 c2 bc 3a 3 0 求a的取值范围 解解 由条件等式 得bc a2 5a 2 由条件等式 得 b c 2 bc 3a 3 将 式代入 式 得 b c 2 a 1 2 b c a 1 实数根 3a2 18a 9 0 二 解证几何问题中的最大值 最小值或不等关系二 解证几何问题中的最大值 最小值或不等关系 例例5 如图1 边长为a的正方形MNQR内接于 ABC MN在BC上 R Q分别在AB AC上 AD为高 求证 BC AD 4a 证明证明 RQ BC ARQ ABC AD BC AD RQ 得 BC AD a BC AD 0 设BC AD m 则AD m BC BC m BC am 0 BC2 mBC am 0 BC的长为正实数 m2 4am m m 4a 0 m 0 m 4a 0 m 4a 即 BC AD 4a 例例6 半径为1的圆O内切于Rt ABC 则 S ABC不小于3 2 2 解解 如图2 设 C 90 三边的长分别为a b c a b c 2 a2 b2 c2 a b 2 2ab c2 a b为一元二次方程x2 c 2 x 2c 2 0的两实数根 c2 4c 4 0 例例7 一块扇形铁片的圆心角为60 半径为1 要利用此铁片截出面积 最大的矩形 扇形的对称轴垂直于矩形的一边 问最大面积为多少 解解 如图3 设矩形CDEF内接于扇形OAB C在OA上 D E在弧AB上 F在OB上 过O作OG DE交DC延长线于G 连结OD 则 C 90 OCG 30 DN GO 设CD x CO y 又设矩形CDEF的面积为S 则S xy 在Rt OGD中 OG2 DG2 OD2 从以上各例可以看出 运用一元二次方程的知识解决不等关系问题时 一般分成两步 第一步 建立一元二次方程 从相等关系入手 建立方 程的方法很多 可以将已知等式中的某一字母作为主元 把原式化成关于 该主元的一元二次方程 可以将条件给出的代数式设为某一字母 构成等 式 再变化成一元二次方程 可以由已知中所含的两数和 两数积 根据 一元二次方程根与系数的关