2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题及参考答案

257b3cf33367a1b3a0ede8d9754ce8e9 pdf 第 1 页 2007 年全国初中数学竞赛 浙江赛区 复赛试题 2007 年 4 月 1 月 下午 1 00 3 00 班级 学号 姓名 得分 一 选择题 共 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 1 若 x3 x2 x 1 0 则 x 27 x 26 x 1 1 x x26 x27的值是 A 1 B 0 C 1 D 2 2 定义 定点 A 与 O 上的任意一点之间的距离的 最小值称为点 A 与 O 之间的距离 现有一矩形 ABCD 如图 AB 14cm BC 12cm K 与矩形 的边 AB BC CD 分别相切于点 E F G 则点 A 与 K 的距离为 A 4cm B 8cm C 10cm D 12cm 3 某班选举班干部 全班有 50 名同学都有选举权和被选举权 他们的编号分别为 1 2 50 老师规定 同意某同学当选的记 1 不同意 含弃权 的记 0 如果令 ai j 其中 1 第i号同学同意第j号同学当选 2 第i号同学不同意第j号同学当选 i 1 2 50 j 1 2 50 则同时同意第 1 号和第 50 号同学当选的人数可表 示为 A a1 1 a1 2 a1 50 a50 1 a50 2 a50 50 B a1 1 a2 1 a50 1 a1 50 a2 50 a50 50 C a1 1a1 50 a2 1a2 50 a50 1a50 50 D a1 1a50 1 a1 2a50 2 a1 50a50 50 4 若 t 则一次函数 y tx t2的图象必定经过的象限是 a b c b c a c a b A 第一 二象限 B 第一 二 三象限 C 第二 三 四象限 D 第三 四象限 5 满足两条直角边长均为整数 且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 无穷多个 6 如图 以 Rt ABC 的斜边 BC 为一边在 ABC 的同 侧作正方形 BCEF 设正方形的中心为 O 连结 AO 如果 AB 4 AO 6 那么 AC 的长等于 2 A 12 B 16 C 4 D 8 32 二 填空题 共 6 小题 每小题 6 分 共满分 36 分 7 函数 y x 1 x 2 x 3 当 x 时 y 有最小值 最小值等于 AB CD E F G K A B C O F E A BC D 257b3cf33367a1b3a0ede8d9754ce8e9 pdf 第 2 页 8 以立方体的 8 个顶点中的任意 3 个顶点为顶点的三角形中 正三角形的个数为 9 如图 ABC 中 A 的平分线交 BC 于 D 若 AB 6cm AC 4cm A 60 则 AD 的长为 cm 10 设 x1 x2 x3 x2007为实数 且满足 x1x2x3 x2007 x1 x2x3 x2007 x1x2 x3 x2007 x1x2x3 x2006 x2007 1 则 x2000的 值是 11 正六边形轨道 ABCDEF 的周长为 7 2 米 甲 乙两只机器鼠分别从 A C 两点同时出 发 均按 A B C D E F A 方向沿轨道奔跑 甲的速度为 9 2 厘米 秒 乙 的速度为 8 厘米 秒 那么出发后经过 秒钟时 甲 乙两只机器鼠第一次 出现在同一条边上 12 正整数 M 的个位上的数字与数 20132015的个位上的数字相同 把 M 的个位上的数字移 到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数 N 若 N 是 M 的 4 倍 T 是 M 的最小 值 则 T 的各位数字之和等于 三 解答题 共 4 小题 满分 54 分 13 本题满分 12 分 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象 G 和 x 轴有且只有一个交点 A 与 y 轴的交点为 B 0 4 且 ac b 1 求该二次函数的解析表达式 2 将一次函数 y 3x 的图象作适当平移 使它经过点 A 记所得的图象为 L 图 象 L 与 G 的另一个交点为 C 求 ABC 的面积 257b3cf33367a1b3a0ede8d9754ce8e9 pdf 第 3 页 14 本题满分 12 分 如图 AB CD AD CE F G 分别是 AC 和 FD 的中点 过 G 的直线依次交 AB AD CD CE 于点 M N P Q 求证 MN PQ 2PN 15 本题满分 14 分 2007 个质点均匀分布在半径为 R 的圆周上 依次记为 P1 P2 P3 P2007 小明用红色按如下规则去涂这些点 设某次涂第 i 个质点 则下次就涂第 i 个质点后面的第 i 个质点 按此规则 小明能否将所有的质点均涂成 红色 若能 请给出一种涂点方案 若不能 请说明理由 AB CD E F G P Q M N 257b3cf33367a1b3a0ede8d9754ce8e9 pdf 第 4 页 16 本题满分 16 分 从连续自然数 1 2 3 2008 中任意取 n 个不同的数 1 求证 当 n 1007 时 无论怎样选取这 n 个数 总存在其中的 4 个数的和等于 4017 2 当 n 1006 n 是正整数 时 上述结论成立否 请说明理由 257b3cf33367a1b3a0ede8d9754ce8e9 pdf 第 5 页 2007 年全国初中数学竞赛 浙江赛区 复赛试题参考答案国初中数学竞赛 浙江赛区 复赛试题参考答案 一 选择题 共 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 1 答案 答案 C 解 解 由 得 32 10 xxx 1x 所以 1 2627 xxxx 1 12726 xx 2 答案 答案 A 解 解 连结 AK EK 设 AK 与 O 的交点为 H 则 AH 即为所求 因为 AK 10 所以 AH 4 22 AEEK 3 答案 答案 C 解 解 由题意得 C 正确 4 答案 答案 A 解 解 由已知可得 tcbacba 2 当时 直线过第一 二 三象限 0abc 1 2 t 11 24 yx 当时 直线过第一 二 四象限 0abc 1t 1yx 综合上可得 直线必定经过的象限是第一 二象限 5 答案 答案 C 解 解 设直角三角形的两条直角边长为 则 a bab a b k 均为正整数 22 1 2 ababkab 化简 得 所以或 4 4 8kakb 41 48 ka kb 42 44 ka kb 解得或或 即有 3 组解 1 5 12 k a b 2 3 4 k a b 8 6 1 b a k 6 答案 答案 B 解 解 在 AC 上取一点 G 使 CG AB 4 连接 OG 则 OGC OAB 所以 OG OA 26 AOG 90 所以 AOG 是等腰直角三角形 AG 所以 AC 16 12 二 填空题 共 6 小题 每小题 6 分 满分 36 分 7 答案 答案 2 2 解 解 当 x 3 时 y 3x 6 当 3 x 2 时 y x A D B C 第 2 题 K E F G H A B C E F O G 第 6 题 257b3cf33367a1b3a0ede8d9754ce8e9 pdf 第 6 页 当 2 x 1 时 y x 4 当 x 1 时 y 3x 6 所以当 x 2 时 y 的值最小 最小值为 2 8 答案 答案 8 个 解 解 正三角形的各边必为立方体各面的对角线 共有 8 个正三角形 9 答案 答案 5 312 解 解 由 S ABC S ABD S ADC 得 60sin 2 1 ACAB 30sin 2 1 30sin 2 1 ACADADAB 解得 AD 5 312 10 答案 答案 1 或 2 53 解 解 由已知 1 1 321 xxx 2000321 2000 1 xxxx x 321 xxx 1999321 1999 1 xxxx x 解得 12320001231999 1515 22 x x xxx x xx 所以 或 1 2000 x 2000 35 2 x 11 答案 答案 23 8 104 解解 设甲跑完x 条边时 甲 乙两老鼠第一次出现在同一条边上 此时甲走了 120 x 厘米 乙走了厘米 于是 2 9 120 8 x 120120240 2 9 120 8 120 1 120240 2 9 1 120 8 x x x x 解得 因x是整数 所以x 8 即经过 秒时 3 2 8 3 2 7 x 2 9 8120 23 2400 23 8 104 甲 乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上 12 答案 答案 36 解 解 的个位数字是 7 2015 2013 所以可设 其中 k 是 m 位正整数 则 710 kMkN m 107 由条件 N 4M 得 即 k m 107 710 4 k 39 410 7 m k 当 m 5 时 k 取得最小值 17948 所以 T 179487 它的各位数字之和为 36 三 解答题 共 4 题 满分 54 分 13 12 分分 解 解 1 由 B 0 4 得 c 4 G 与 x 轴的交点 A 0 2 b a 257b3cf33367a1b3a0ede8d9754ce8e9 pdf 第 7 页 由条件 得 所以 即 A 0 acb b c a 2 b a 2 2 c 2 所以解得 4 4240 ba ab 1 4 a b 所求二次函数的解析式为 2 44yxx 2 设图象 L 的函数解析式为 y x b 因图象 L 过点 A 0 3 2 所以 即平移后所得一次函数的解析式为6b y 36x 令 36x 2 44xx 解得 1 2x 2 5x 将它们分别代入 y 36x 得 1 0y 2 9y 所以图象 L 与 G 的另一个交点为 C 9 5 如图 过 C 作 CD x 轴于 D 则 S ABC S梯形 BCDO S ACD S ABO 15 111 49 53 92 4 222 A B D C Ox y 第 13 题 257b3cf33367a1b3a0ede8d9754ce8e9 pdf 第 8 页 14 12 分分 证明 证明 延长 BA EC 设交点为 O 则 四边形 OADC 为平行四边形 F 是 AC 的中点 DF 的延长线必过 O 点 且 3 1 OG DG AB CD DN AN PN MN AD CE DN CQ PN PQ PN MN PN PQ DN AN DN CQ DN CQAN 又 OQ DN 3 1 OG DG OQ 3DN CQ OQ OC 3DN OC 3DN AD AN AD DN 于是 AN CQ 2DN 2 即 MN PQ 2PN PN MN PN PQ DN CQAN 15 14 分分 解 解 不能 理由 设继点涂成红色后被涂到的点是第j号 则 i P j 2 22007 22007 22007 ii ii 若 2007 则j 2007 即除点涂成红色外 其余均没有涂到 i 2007 P 若2007 则22007 且24014 即2 20072007 i i i i 表明点永远涂不到红色 2007 P 16 16 分分 解 解 1 设 是 1 2 3 2008 中任意取出的 1007 个数 123 xxx 1007 x 首先 将1 2 3 2008分成1004对 每对数的和为2009 BA C M N P E F Q D G O 257b3cf33367a1b3a0ede8d9754ce8e9 pdf 第 9 页 每对数记作 m 2009 m 其中m 1 2 3 1004 因为2008个数取出1007个数后还余1001个数 所以至少有一个数是1001个数之一 的数对至多为1001对 因此至少有3对数 不妨记为 112233 2009 2009 2009 mmmmmm 互不相等 均为 中的6个数 123 mmm 123 xxx 1007 x 其次 将这2008个数中的2006个数 除1004 2008 外 分成1003对 每对数的和为 2008 每对数记作 k 2008 k 其中k 1 2 1003 2006个数中至少有1005个数被取出 因此2006个数中除去取出的数以外最多有 1001个数 这1003对数中 至少有2对数是 中的4个数 不 123 xxx 1007 x 妨记其中的一对为 11 2008 kk 又在三对数 互不 112233 2009 2009 2009 mmmmmm 123 mmm 相等 中至