湖北省2015届高三第一次八校联考__理科数学试题及答案

八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 1 页 共 11 页 湖北省湖北省 八校八校 2015 届高三第一次联考 数学试题 理科 命题学校 襄阳五中 出题人 何宇飞 王丹 审题人 丁全华 考试时间 2014 年 12 月 11 日下午 15 00 17 00 试卷满分 150 分 考试用时 120 分 钟 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知复数R 若为纯虚数 则 aaiz 2 1 iz21 2 2 1 z z 1 z A B 23 C 2D 5 2 如图给出的是计算的值的程序框图 其中 2014 1 6 1 4 1 2 1 判断框内应填入的是 A B 2013 i2015 i C D 2017 i2019 i 3 设 则二项式 6 1 a x x 展开式中含 2 2 2cos 4 axdx 2 x项的系数是 A B 193192 C D 76 4 棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体 其中一个 几何体的三视图如图所示 那么该几何体的体积是 A B 4 3 14 C D 3 3 10 5 且 是 的5 a5 b0 ba A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分条件也非必要条件 6 已知实数等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 则下列结论中一定成立的 A 若 则 B 若 则0 3 a0 2013 a0 4 a0 2014 a 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中 学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一附中 八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 2 页 共 11 页 C 若 则D 若 则0 3 a0 2013 S0 4 a0 2014 S 7 用表示非空集合 A 中的元素个数 定义 若 AC BCACACBC BCACBCAC BA 2 1 A 且 由 a 的所有可能值构成的集合为 S 那么 C S 等于 32 2 axxxB 1 BA A 1 B 2 C 3 D 4 8 已知 x y R 且 则的最小值是 z522 zyx 222 3 1 5 zyx A 20 B 25 C 36 D 47 9 已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ 点 R 在直线 PQ 上 且满足 R 在抛物线 2 1 OQOPOR 准 线上的射影为 S 设 是 PQS 中的两个锐角 则下列四个式子 1tantan 2sinsin 1coscos 2 tan tan 中一定正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 10 设定义在 D 上的函数在点处的切线方程为 当时 若 xhy 00 xhxP xgyl 0 xx 在 D 内恒成立 则称 P 为函数的 类对称点 则的0 0 xx xgxh xhy xxxxfln46 2 类对称点 的横坐标是 A 1 B C e D 23 二 填空题 本大题共 6 小题 考生共需作答 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 请将答案填在答题卡 对 应题号的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 一 必考题 11 14 题 11 随机向边长为 5 5 6 的三角形中投一点 P 则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率是 12 已知直线过点 若可行域的外接圆直径为 20 则 0 nnmyxl 5 35 A 0 03 y yx nmyx n 13 已知函数 将 f x 的图像与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周 则所 31 32 1 0 2 2 xxx xx xf 得旋转体的体积为 14 以 0 m 间的整数N 为分子 以 m 为分母组成分数集合 A1 其所有元素和为 a1 以 mm 1 0 2 m 间的整数N 为分子 以为分母组成不属于集合 A1的分数集合 A2 其所有元素和为 mm 1 2 m a2 依次类推以间的整数N 为分子 以为分母组成不属于 0 n m mm 1 n m A1 A2 的分数集合 An 其所有元素和为 an 则 1 n A n aaa 21 八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 3 页 共 11 页 二 选考题 从两个小题中选择一个小题作答 两题都作答的按 15 题记分 15 选修 4 1 几何证明选讲 如图 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一 点 过 C 的直线交直线 AB 于 E 交过 A 点的切线于 D BC OD 若 AD AB 2 则 EB 16 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系内 已知曲线 C1的方程为 以极点为原点 极轴方向为正半轴方向 利用相同单位长度建04 sin2 cos2 2 x 立平面直角坐标系 曲线 C2的参数方程为 为参数 设点 P 为曲线 C2上的动点 ty tx 3185 415 t 过点 P 作曲线 C1的两条切线 则这两条切线所成角余弦的最小值是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 源 17 本小题满分 12 分 已知 ABC 的三内角 A B C 所对边的长依次为 a b c 若 4 3 cos A 8 1 cos C 求 cba 若 求 ABC 的面积 46 BCAC 18 本小题满分 12 分 有一种密码 明文是由三个字符组成 密码是由明文对应的五个数字组成 编 码规则如下表 明文由表中每一排取一个字符组成 且第一排取的字符放在第一位 第二排取的 字 符放在第二位 第三排取的字符放在第三位 对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一 组 组成 明文字符ABCD 第一排 密码字符11121314 明文字符EFGH 第二排 密码字符21222324 明文字符MNPQ 第三排 密码字符1234 设随机变量表示密码中所含不同数字的个数 求 2 P 求随机变量的分布列和它的数学期望 八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 4 页 共 11 页 19 本小题满分 12 分 如图 1 平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称 60A 90C 2 CD 把 ABD 沿 BD 折起 如图 2 使二面角为直二面角 如图 2 CBDA 求 AD 与平面 ABC 所成的角的余弦值 求二面角的大小的正弦值 DACB 20 本小题满分 12 分 已知等比数列 an 的公比 前 n 项和为 Sn S3 7 且 1 q3 1 a 2 3a 4 3 a 成等差数列 数列 bn 的前 n 项和为 Tn 其中N 2 13 6 nn bnT n 求数列 an 的通项公式 求数列 bn 的通项公式 设 求集合 C 中所有元素之和 1021 aaaA 4021 abbB BAC 21 本小题满分 13 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆的离心率为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 2 过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦 AB 与 CD 当直线 AB 斜率为 0 时 F23 CDAB 求椭圆的方程 求由 A B C D 四点构成的四边形的面积的取值范围 22 本小题满分 14 分 已知 设函数 0 t13 2 1 3 23 txx t xxf 若在 0 2 上无极值 求 t 的值 xf 若存在 使得是在 0 2 上的最大值 求 t 的取值范围 2 0 0 x 0 xf xf 图 2 B C D A D C B A 图 1 x y A B F 第 21 题 D C O 八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 5 页 共 11 页 若为自然对数的底数 对任意恒成立时m 的最大值为1 求 t 的emxexf x 2 0 x 取 值范围 八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 6 页 共 11 页 2015 届高三第一次联考理科数学参考答案 一 选择题一 选择题 12345678910 DBABDCACCB 二 填空题二 填空题 11 12 13 14 15 16 24 1 310 20 3 2 38 7 解析如下 1 由于为纯虚数 则 则 故选择 D 5 422 5 212 21 2 2 1 iaaiai i ai z z 1 a 1 z5 2 由程序知道 都应该满足条件 不满足条件 故应该选择 B 2014 6 4 2 i2016 i 3 由于 2222 2222 2coscossincossin2 4 axdxxx dxxdxx 则 6 1 a x x 含 2 x项的系数为 故选择A 192 1 25 1 6 C 4 几何体如图 体积为 故选择 B42 2 1 3 5 且推不出 例如时5 a5 b0 ba2 2 ba0 ba 推不出且 例如 故 且 是 的0 ba5 a5 b6 5 ba5 a5 b0 ba 既不充分又不必要条件 故选择 D 6 设 因为所以 A B 不成立 对于 C 当时 因为与同号 1 1 n n qaa0 2010 q0 3 a0 1 aq 1 2013 1q 所以 选项 C 正确 对于 D 取数列 1 1 1 1 不满足条件 D 错 故选 C0 2013 S 7 由于的根可能是 2 个 3 个 4 个 而 A B 1 故只有 3 个根 axx 32 2 axx 32 2 故 故选 A 4 a1C S 8 由于 324 3 21 2 5 221 315 2222222 zyxzyx 则 当且仅当即时取等号 故选 C 222 315 zyx 2 3 2 1 1 5 zyx 1 3 3 z y x 9 由于 PQS 是直角三角形 则 故 都对 2 当 PQ 垂直对称轴时 故选 C tan 0tan 2 10 由于 则在点 P 处切线的斜率 4 26fxx x 切 k6 4 2 0 00 x xxf 八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 7 页 共 11 页 所以切线方程为 2 00000 0 4 2664lnyg xxxxxxx x 2 000 0 4 264ln4xxxx x 22 00000 0 4 64ln2664lnxf xg xxxxxxxxxx x 则 0 0 x 2 2 2 1 2 6 4 2 6 4 2 0 0 0 0 0 0 x xxx xxx xx x x x xx 当时 在上单调递减 所以当时 从而有 0 2x x 0 0 2 x x 0 0 2 xx x 0 0 xx 时 0 0 2 xx x 0 0 xx x 当时 在上单调递减 所以当时 从而有 0 2x x 0 0 2 x x 0 0 2 xx x 0 0 xx 时 0 0 2 xx x 0 0 x xx 所以在上不存在 类对称点 当时 所以在 0 2 2 0 2x 2 2 2xx x x 上是增函数 故 0 0 0 x xx 所以是一个类对称点的横坐标 可以利用二阶导函数为 0 求出 则2x 2 4 20fx x 2 x 故选择 B 11 分别以三角形的三个顶点为圆心 1 为半径作圆 则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三 角形三个顶点距离不小于 1 的部分 即 24 1 46 2 1 1 2 1 1 2 P 12 作图可知 则 1002535 2 n n310 13 将 xf的图像与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周 所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组 合体 其中球的半径为 2 棱锥的底面半径为 2 高为 1 所以所得旋转体的体积为 23 11420 212 3233 14 由题意 1 a 1 m 2 m 2 a 1 m 2 m a1 八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 8 页 共 11 页 a3 a2 a1 an an 1 a2 a1 所以 1 2 mn 1 12n aaa 15 连接则则则 则是半圆的切OCCODBCOCBODOA CODAOD CDOC CDO 线 设 由 BC OD 得 则 则 则xEB BO EB CD EC xEC2 22 2 xxx 3 2 x 16 曲线的一般方程为 即 圆心为 半径为 1 1 C0442 22 yxyx 121 22 yx 2 1 曲线的一般方程为 2 C01543 yx 点到直线的距离是 2 1 4 5 1583 d 则这两条切线所成角余弦的最小值是 8 7 4 1 21 2 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 源源 17 I 依题设 sinA sinC 2 1 cos A 2 3 4 1 7 4 2 1 cos C 2 1 8 1 3 7 8 故 cosB cos A C cos A C cosAcosC sinAsinC 3 32 21 32 9 16 则 sinB 2 1 cos B 2 9 16 1 5 7 16 所以4 5 6 6 分 CBAcbasin sin sin II 由 I 知 4 5 6 CBAcbasin sin sin 不妨设 a 4k b 5k c 6k k 0 故知 b 5k a 4k AC BC 依题设知 2 2 2 cosC 46 46k2 46 又 k 0k 1 AC BC AC BC 故 ABC 的三条边长依次为 a 4 b 5 c 6 ABC 的面积是 12 分 4 715 8 73 54 2 1 18 I 密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字 注意到密码的第 1 2 列分别总是 1 2 即只能取表格第 1 2 列中的数字作为密码 4 分 3 3 21 2 48 P II 由题意可知 的取值为 2 3 4 三种情形 若 注意表格的第一排总含有数字 1 第二排总含有数字 2 则密码中只可能取数字3 1 2 3 或 1 2 4 212 33 3 2 221 19 3 324 AC P 若 或用求得 8 分 1222 3232 3 9 4 4 432 A AA A P 则 3 2 1 PP 的分布列为 234 p 8 1 32 19 32 9 八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 9 页 共 11 页 12 分 32 101 32 9 4 32 19 3 8 1 2 E 19 如图 2 所示 以的中点为原点 所在的直线为轴 所在的直线为轴 所在BDOOCxODyOA 的 直线为轴建立空间直角坐标系 则z 0 0 0O 0 2 0D 0 2 0 B 0 0 2C 6 0 0A 设面的法向量为ABC zyxn 取有 0 0 BCn ABn 1 z n 1 3 3 6 2 0 AD 7 21 cos nAD 与面所成角的余弦值是 6 分AD ABC 7 72 同理求得面的法向量为 则ACD 1 3 3 1 n 7 1 cos 1 nn 则二面角的正弦值为 12 分DACB 7 34 20 7 3 S7 321 aaa 成等差数列 2 分3 1 a 2 3a4 3 a 231 643aaa 得 即 2 2 a2 1 qa 又由 得 5 2 11 qaa 消去得 解得或 舍去 1 a0252 2 qq2 q 2 1 q 4 分 1 2 n n a 当N 时 当时 n2 13 6 nn bnT2 n2 23 6 11 nn bnT 当时 即 6 分2 n 1 23 13 6 nnn bnbnb 53 23 1 n n b b n n 1 4 1 2 b b 4 7 2 3 b b 7 10 3 4 b b 53 23 1 n n b b n n 即 53 23 7 10 4 7 1 4 13 4 2 3 1 2 n n b b b b b b b b n n 23 1 n b bn 1 1 b 2 23 nnbn 故N 8 分 nnbn 23 10 分102312 21 21 10 10 10 S238080 2 4140 3 40 T A 与 B 的公共元素有 1 4 16 64 其和为 85 集合 C 中所有元素之和 12 分3318851023238085 1040 TS 八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题 第 10 页 共 11 页 21 由题意知 则 2 2 c e a cbca 2 2322222 2 cc a b aCDAB 所以 所以椭圆的方程为 4 分1c 2 2 1 2 x y 当两条弦中一条斜率为 0 时 另一条弦的斜率不存在 由题意知 5 分2222 2 1 2 1 CDABS四四四 当两弦斜率均存在且不为 0 时 设 11 A x y 22 B xy 且设直线的方程为 AB 1 yk x 则直线的方程为 CD 1 1 yx k 将直线的方程代入椭圆方程中 并整理得 AB 2222 12 4220kxk xk 所以 8 分 2 2 22 12 22 2 21 2 21 1 1 1212 k k ABkxxk kk 同理 9 分 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 k k CD k k 所以 24 22 2 2 2 2 522 1 4 2 1 22 21 1 22 2 1 2 1 kk k k k k k CDABS 四四四 2 22 1 4 2 2 11 2121 k k kk kk 当且仅当时取等号 11