点到直线的距离教学设计（福建师大附中许丽丽）

1 点到直线的距离点到直线的距离 教学设计教学设计 高中数学必修 2 第三章第 3 节第三课时 福建师大附中 许丽丽 一 一 教学内容解析教学内容解析 点到直线的距离 这节课的内容是从初中平面几何的定性作图向高中解析几何定量计算的过渡 点 到直线的距离公式是解析几何后续学习的一个基础工具 属于概念性知识 本节课蕴含分类与整合 转化 与化归 数形结合 函数与方程等丰富的数学思想 它既是两点间距离公式的延续 又为导出两平行线 间距离公式作了铺垫 具有承上启下的重要作用 本节课的教学重点是点到直线距离的探索与应用 难点 是点到直线距离公式的推导 二 教学目标设置二 教学目标设置 知识与技能知识与技能 1 探索并掌握点到直线的距离公式 2 学会点到直线距离公式的应用 过程与方法过程与方法 通过经历公式多种推导方案的设计及比较 领会特殊到一般 转化与化归 分类与整合 数形结合 函数与方程等数学思想 情感 态度 价值观情感 态度 价值观 在探索问题的过程中 感受数学的严谨与统一 感受数学的形式美与简洁美 三 学生学情分析三 学生学情分析 面授学生的数学基础知识扎实 思维活跃 有较强的创新能力 学生已经学习了两点间的距离公式 且具备了相关的几何知识 如 交点 垂直 三角函数等 学生对坐标法解决几何问题有初步的认识 四 教学策略分析四 教学策略分析 本节课采用以引导发现为主的教学方法 以归纳启发式作为教学模式 结合多媒体辅助教学 通过合 作交流 类比联想 归纳化归 总结提升 让学生在学习中学会怎样发现问题 分析问题 解决问题 五 五 教学过程教学过程 一 温故知新 引出课题 一 温故知新 引出课题 复习平面直角坐标中两点间的距离公式 同时 引出课题 点到直线的距离 设计意图 平面图形最基本的要素是点和线 在研究了两点间距离公式后 很自然地会去研究点线间的 距离 当然还可以更深入地去探究两平行线间的距离 这三个距离公式是一脉相承的 因此 这样引入自 然 贴切 符合学生的认知规律 二 特例引入 巧作铺垫 二 特例引入 巧作铺垫 2 引例 在平面直角坐标系中 求点到直线的距离 1 2 P 50l xy 问题 1 点到直线的距离指的是 问题 2 为什么选择垂足与点 P 的距离作为点线距离 选直线上其它点与 P 点距离可以吗 问题 3 点到直线的距离还可以怎么定义 设计意图 复习点到直线距离的垂线段定义法 同时引出广义定义法 即点到直线上所有点距离的最 小值 为后续目标函数的推导方法的展开埋下伏笔 自主探究 请同学计算引例中的距离 并考虑用多种方法进行解答 设计意图 从具体的例子出发求距离 相对来说 计算量更小 学生有更充裕的时间去发现解法的多 样性 为后续求抽象的点线距离做好准备 预计会出现以下几种解法 1 垂线段法 如图 1 过 P 作 PQ l 于 Q Step1 求出直线 PQ 的方程 10 xy Step2 联立直线 PQ l 的方程 求出交点 Q 的坐标 2 3 Step3 求出距离 2PQ 评注 很好 该思路自然 简单 清晰 2 解直角三角形法 如图 2 在图 1 的基础上 过 P 作 PR x 轴交直线 l 于点 R Step1 求出点 P 到直线 l 的水平距离 2PR Step2 在中 Rt PQR 45PRQ 故 sin2PQPRPRQ 评注 这种方案将点到直线的距离问题转化为解直角三角形问题 在斜边及 角度已知的情况下 显然运用三角函数的知识可以轻松求解 3 等面积法 如图 3 在图 2 的基础上 过 P 作 PS y 轴交直线 l 于点 S Step1 求出的三条边长 Rt SPR 易得 2 2 2 2PRPSRS Step2 利用等面积法求出斜边上的高 2 2 2 2 PRPS PQ RS 评注 直角三角形构造巧妙 避开研究三角形的内角 计算简洁 快速得出结果 问题 4 还有别的做法吗 如果从刚才点到直线的本原定义来看的话 我们可以先将点到直线上任意 一点的距离表示出来 再求这个距离的最小值即可 那么 要求最小值 我们可以从什么地方切入呢 设计意图 引出目标函数法 4 目标函数法 Step1 求出点 P 到直线 l 上任一点 M x y 的距离的平方 222 1 2 PMxy Step2 消元 转化为一元二次函数 222 28102 2 2 PMxxxxR 图 2 l O P y x Q R 图 3 l O P y x Q R S 图 1 l O P y x Q 3 图 4 y x P Q l M N Step3 求目标函数的最小值 当且当时 取到最小值 此时 2x 2 2PM 评注 该方法运用函数思想 将几何问题代数化 是典型的解析几何解法 三 公式推导 殊途同归 三 公式推导 殊途同归 问题一般化 在平面直角坐标系中 求点到直线的距离 00 P xy 0l AxByC 问题 5 以上这些方法应该都可以用来解决该问题 但同学们会选择哪种 或者哪些方法来做呢 为 什么 设计意图 进行方案比较 优选 在比较中 再次领会各种方案的思想方法 比较它们的优缺点 选 择合适的方案执行 在比较之后 师生合作 详细演示等面积法的推导过程 构造直角三角形 使得所求垂线段为斜边上的高 用等面积法求出高 Step1 过 P 作 x y 轴的垂线 分别交直线 l 于 M N 构造直角三角形 MPN 则 PQ 为斜边上的高 如图 4 Step2 求出直角三角形三条边长 易得 00 AxByC PM B 00 AxByC PN A 2222 00 AxByC MNPMPNAB A B Step3 利用等面积法求出 PQ 00 2222 AxByCPMPN PQ PMPNAB 问题 6 在上述推导过程有没有不够严谨的地方 设计意图 由学生自我排查 发现必须都不等于 0 的条件以及与还可能相等等问题 培养学 A B 生思维的严谨性 四 公式记忆 学以致用 四 公式记忆 学以致用 教师引导学生验证 A 0 或 B 0 的特殊情况也符合一般的距离公式 最后得到点到直线的距离公式可统 一为 00 22 AxByC d AB 问题 7 这个公式如何记忆 问题 8 这个公式的对点 线的位置有没有要求 设计意图 强化公式记忆 明确公式的适用范围 例 1 求点到下列直线的距离 1 2 P 1 2 3 4 3 1 4 yx 1 512 xy 32x 5210 xy 例 2 已知点 求的面积 预设 1 3 3 1 1 0 ABC ABC 五 归纳总结 思维提升 五 归纳总结 思维提升 1 学习了点到直线距离的定义 2 学习了点到直线距离公式的四种不同推导方法 其实点到直线距离公式的推导方法还有很多种 如 向量法 参数法