行列式的定义和性质及若干应用论文

行行列列式式及及其其在在初初等等数数学学中中的的应应用用 摘摘 要要 行列式是数学研究中的一类重要的工具之一 它的应用非常广泛 本文从以 下四个方面对行列式的应用进行了论述 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方 程组中的应用 举例说明了行列式在初等代数中的应用 如在因式分解中应用 证明不等式 以及恒等式 综述了行列式在解析几何中的若干应用 最后列举三阶行列式在高中数学的应用 关键词 行列式 矩阵 线性方程组 秩 因式分解 平面组 点组 引言 行列式是研究数学的重要工具之一 例如线性方程组 多元一次方程组的解 三维空 间中多个平面组或多个点组的相关位置 初等代数 解析几何 维空间的投影变换 线n 性微分方程组等 用行列式来计算是很便利的 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组 初等代数 解析几何及高中数学四个方面的应用 1 行列式的定义和性质 1 1 行列式的定义 行列式与矩阵不同 行列式是一个值 它是所有不同行不同列的数的积的和 那些数 的乘积符号由他们的逆序数之和有关 逆序数为偶数 符号为正 逆序数为奇数 符号为 负 例例 1 1 n n Dn 000 0001 0020 0100 计算行列式 解 不为零的项一般表示为 故 n D naaaa nnnn 1122 1 2 2 1 nD nn n 1 2 行列式的性质 行列式有如下基本性质 1 行列式的行列互换 行列式不变 2 互换行列式中的两 行或者两列 行列式反号 3 行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数 4 行列 式中某行或者某列乘以一个不为零的数 加到另外一行或者列上 行列式不变 5 行列式 的某两行或者某两列成比例 行列式为零 6 行列式的某一列或者某一行可以看成两列 或两行的和时 行列式可拆另两个行列式的和 例例 2 2 一个阶行列式 的元素满足则称反对称行n ijn aD 2 1 njiaa jiij 列式 证明 奇阶数行列式为零 证明 证明 由知 即 故行列式可表示为 jiij aa iiii aa niaii 2 1 0 0 0 0 0 321 32313 22312 11312 nnn n n n n aaa aaa aaa aaa D 由行列式的性质 AA 0 0 0 0 1 0 0 0 0 321 32313 22312 11312 321 32313 22312 11312 nnn n n n n nnn n n n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa D n n D1 为奇数时 得当n nn DD 因而得0 n D 2 行列式的若干应用 2 12 1 行列式在线性方程组中的一个应用 设含有个变元的个一次线性方程组为n1 n 1 0 0 0 122 111 1 2222121 1212211 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 设方程组 1 的系数矩阵的秩是 不失一般性 假定不等于零的阶行列A1 n1 n 式是 nnnn n n aaa aaa aaa A 13 12 1 22322 11312 1 行列式中的元素 就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素 并按照它们的 1 AA 原有位置排列 我们把看作是未知数 是已知数 解方程组 1 得 n xxx 32 1 x 2 1 1 A x d x i i 3 2 ni 式中是行列式的第列元素换以所成的行列式 也就是 i d 1 d1 i 1 12111 n aaa nninninnn nii nii i aaaaaa aaaaaa aaaaaa d 11 11 11 13 12 1 21 2211 22322 11 1111 11312 把中第列移到第一列 得 i d1 i nnininnn nii nii i i aaaaa aaaaa aaaaa d 11 11 12 11 1 21 21 22221 11 11 11211 2 1 上式右边的行列式用表示 行列式是矩阵中去掉第 列剩余下的元素所组成 故 i A i AAi i i i Ad 2 1 代入 2 式 得 或 1 1 2 1 A x A x i i i 1 1 1 1 A x A x i i i 结论 2 方程组 1 中的与成比例 式中 n xxx 21 n n AAAA 1 321 1 i A 是从矩阵中去掉第 列剩余下的元素做成的行列式 2 1 ni Ai 3 3 行列式在初等代数中的几个应用 3 13 1 用行列式分解因式 利用行列式分解因式的关键 是把所给的多项式写成行列式的形式 并注意行列式的 排列规则 下面列举几个例子来说明 例例 3 1 13 1 1 分解因式 323232323232 baccbaacbbcaabccab 解解 222222 abc bcb ca cacaba b 原式 abc bc cbab acab ba 111 111 caa abc bcacab bcb 11 10 10 bcabca abc abcabc abbcca acbacbcba abc abbc baacbc ca abc b ac bac ab ca abc ab ca bc 例例 3 1 23 1 2 分解因式 4 2 dbcabcabcd 解解 原式 2 2 cdababbc bccdcdab 2 2 2 cdababcdbc bccdabcdbc 1 2 2 1 cdab abcdbc bccd 2 2 abcdbc 3 23 2 用行列式证明不等式和恒等式 我们知道 把行列式的某一行 列 的元素乘以同一数后加到另一行 列 的对应元 素上 行列式不变 如果行列式中有一行 列 的元素全部是零 那么这个行列式等于零 利用行列式的这些性质 我们可以构造行列式来证明等式和不等式 例例 3 2 13 2 1 已知 求证 0 cbaabccba3 333 证明 证明 令 则abccbaD3 333 0 000 321 acb bac acb bac cbacbacba acb bac cba D rrr 命题得证 例例 3 2 23 2 2 已知 求证 1 1 1 aycxcybxbyax 222 cbacabcab 证明 证明 令 则 222 cbacabcabD 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 213 cb ac ba cybxcb aycxac byaxba cb ac ba D ycxcc 命题得证 例例 3 2 33 2 3 已知 求证 0 cbaaccbbacabcab 333333 证明 证明 令 则 333333 cabcabaccbbaD 21 31 22222222 2222 111100 cc cc abbccaabbcabcaab bcabcaab Dcbacacbc acbc b ca bc bca cb ac ac bc ac abc ac 而 则 命题得证 0 cba0 D 4 4 行列式在解析几何中的几个应用 4 14 1 用行列式表示公式 4 1 14 1 1 用行列式表示三角形面积 以平面内三点为顶点的的面积 S 是 332211 yxRyxQyxPPQR 3 1 1 1 2 1 33 22 11 yx yx yx 的绝对值 证明证明 将平面三点扩充到三维空间 其坐标分别为 332211 yxRyxQyxP 其中为任意常数 由此可得 112233 x y kxy kxy kk 2121 0 PQxx yy 3131 0 PRxx yy 则 2121 3131 0 0 xxyy PQPR xxyy 面积为PQR 1 sin 2 SPQ PRPQ PR 1 2 PQPR 2 2121 3131 1 2 xxyy xxyy 2121 3131 1 2 xxyy xxyy 11 2121 3131 1 1 0 2 0 xy xxyy xxyy 11 22 33 1 1 1 2 1 xy xy xy 4 1 24 1 2 用行列式表示直线方程 直线方程通过两点和的直线的方程为 11 yxP 22 yxQPQ 4 0 1 1 1 22 11 yx yx yx 证明证明 由两点式 我们得直线的方程为PQ 21 2 21 2 yy yy xx xx 将上式展开并化简 得 0 21122121 yxyxyxyxxyxy 此式可进一步变形为 0 1 1 1 1 22 11 2 1 2 1 yx yx x x y y y x 此式为行列式 4 按第三行展开所得结果 原式得证 4 1 34 1 3 应用举例 例例 若直线 过平面上两个不同的已知点 求直线方程 l 11 x yA 22 xy 解解 设直线 的方程为 不全为 0 因为点在直线l0 cbyax 2211 yxyx A 上 则必须满足上述方程 从而有l 0 0 0 22 11 cbyax cbyax cbyax 这是一个以为未知量的齐次线性方程组 且不全为 0 说明该齐次线性方程cba cba 组有非零解 其系数行列式等于 0 即 0 1 1 1 22 11 yx yx yx 则所求直线 的方程为l 0 1 1 1 22 11 yx yx yx 同理 若空间上有三个不同的已知点 平面 333222111 zyxCzyxzyx A 过 则平面的方程为SC AS 0 1 1 1 1 333 222 111 zyx zyx zyx zyx 同理 若平面有三个不同的已知点 圆过 332211 yxCyxyx AOC A 则圆的方程为O 0 1 1 1 1 33 2 3 2 3 22 2 2 2 2 11 2 1 2 1 22 yxyx yxyx yxyx yxyx 4 24 2 行列式在平面几何中的一些应用 4 2 14 2 1 三线共点 平面内三条互不平行的直线 相交于一点的充要条件是 0 0 0 3333 2222 1111 cybxaL cybxaL cybxaL 0 333 222 111 cba cba cba 4 2 24 2 2 三点共线 平面内三点在一直线的充要条件是 332211 yxRyxQyxP0 1 1 1 33 22 11 yx yx yx 4 2 34 2 3 应用举例 例例 平面上给出三条不重合的直线 若 则这三条直线不能组成三角形 0 0 0 3333 2222 1111 cybxaL cybxaL cybxaL 0 333 222 111 cba cba cba 证明证明 设与的交点为 因为 1 L 2 L 11 yxP 111 222 333 0 abc abc abc 将第 1 列乘上 第 2 列乘上 全加到第 3 列上去 可得 1 x 1 y 111 1111 2221212 3331313 0 aba xb yc aba xb yc aba xb yc 因为在与上 所以 且P 1 L 2 L 1 1111 0a xb yc 11 2121231313 22 0 ab a xb yca xb yc ab 11 22 3331313 0 00 ab ab aba xb yc 若与平行 若也在上 11 11 1 2222 0 abab L abab 2 LPcybxa 0 313133 L 交于一点 无论何种情形 都有不组成三角形 321 LLL 321 LLL 这说明由 得到三条直线或两两平行或三线交于一点 也就是三条直0 333 222 111 cba cba cba 线不能组成三角形 4 34 3 行列式在三维空间中的应用 4 3 14 3 1 平面组 设由个平面方程构成的方程组为 n 5 0 0 0 2222 1111 nnnn dzcybxa dzcybxa dzcybxa 若方程组 5 中的各代以 并用乘以 5 式两端 得 zyx t z t y t x 0 tt 6 0 0 0 2222 1111 tdzcybxa tdzcybxa tdzcybxa nnnn 叫做点的齐次坐标 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两 tzyx zyx 矩阵 及 nnn cba cba cba A 222 111 nnnn dcba dcba dcba B 2222 1111 的秩及有关系 现在分别叙述如下 Ar Br 当 则方程组中各系数全是 0 0 BrAr 当 则方程组 5 不合理 方程组 6 有解 当 1 0 BrAr 0 t0 t 将趋近于无穷大 假设 趋近于 0 在这种情况下 我们说这个平面在无穷 t x t y t z tn 远重合 当 则在矩阵及中所有二阶行列式全是 0 所以我们有 1 BrAr AB 2 1 nji d d c c b b a a j i j i j i j i 以上等式表示个平面相合成一个平面 n 0 1111 dzcybxa 当 方程的系数中至少有两组数如及 2 1 BrAr iiii dcba 满足以下关系式 jjjj dcba j i j i j i j i d d c c b b a a 上式表示平面 0 0 jjjj iiii dzcybxa dzcybxa 平行但不相合 也就是平面组中个平面相合或平行 至少有两个平面不相合 n 则矩阵及中所有三阶行列式全是 0 至少有一个二阶 2 2 BrAr AB 行列式不是 0 假设 0 22 11 ba ba 我们必可求得适合下式 iii nml 4 3 0 0 0 0 21 21 21 21 ni dndmdl cncmcl bnbmbl anamal iiii iiii iiii iiii 式中 否则行列式 0 i n 22 11 ba ba 将等于 0 所以 1 22221111 dzcybxamdzcybxal n tdzcybxa ii i iiii 以上等式表示平面 4 3 0nidzcybxa iiii 经过直线 0 0 2222 1111 dzcybxa dzcybxa 就是个平面全经过一条直线 n 当 并假定 3 2 BrAr 0 22 11 ba ba 方程组的系数至少有一组适合以下关系 iiii dcba 是中的一数 0 0 222 111 222 111 iiiiii cba cba cba cba cba cba i n 4 3 以上第一个等式表示组中第 平面 i 0 iiii dzcybxa 与直线 0 0 2222 1111 dzcybxa dzcybxa 平行 又因第二个不等式表示第 平面不经过上述直线 所以个平面有平行的交线 例如 in 由方程组 0 0 0 2222 1111 tdzcybxa tdzcybxa tdzcybxa iiii 解得 333 222 111 333 222 111 333 222 111 333 222 111 cba cba cba t bad bad bad z adc adc adc y dcb dcb dcb x 因为行列式 0 33 222 111 cba cba cba 而其它三个行列式不全是零故 就是三个平面的交点在无穷远 三个平面中每两个平 0 t 面的交线是平行的 当 并假定 3 3 BrAr 0 333 222 111 cba cba cba 在这种情况下 平面 0 0 0 3333 2222 1111 tdzcybxa tdzcybxa tdzcybxa 相交于一点 又因 0 3333 2222 1111 iiii dcba dcba dcba dcba ni 5 4 故平面 0 iiii dzcybxa 经过前面三个平面的交点 就是个平面有一个交点 不在无穷远 n 当 则矩阵中至少有一个四阶行列式不等于零 假设 4 3 BrAr B 是中的一数 0 3333 2222 1111 iiii dcba dcba dcba dcba i n 5 4 以上不等式表示平面 0 iiii dzcybxa 不经过前三个平面的交点 4 3 2 点组 设有个点 它们的齐次坐标各是 n nnnn tzyx tzyx tzyx 2222 1111 此点组的相关位置与坐标做成的矩阵 nnnn tzyx tzyx tzyx X 2222 1111 的秩有关系 分别叙述如下 r 当 则个点的坐标全是 0 0 0 0 不能确定点的位置 0 rn 当 假定 很容易推得 因为中所有的二阶行列式等于 0 1 r 0 1 x X 4 3 2 1111 ni t t z z y y x x iiii 上式表示个点全重合 n 当 并假设 2 r 0 22 11 yx yx 因中所有三阶行列式全等于 0 我们可以求得适合以下方程 X iii nml 4 3 0 0 0 0 21 21 21 21 ni tntmtl znzmzl ynymyl xnxmxl iiii iiii iiii iiii 式中不等于 0 否则行列式 i n 21 21 yy xx 将等于 0 故可求得 1 1 1 1 21 21 21 21 tmt l n t zmzl n z ymyl n y xmxl n x ii i i ii i i ii i i ii i i 假设点及的连线为 1111 tzyx 2222 tzyx 0 0 2222 1111 tDzCyBxA tDzCyBxA 把的等值代入上式 易验证点在这连线上 故该点与第一及第 iiii tzyx iiii tzyx 二两点共在一直线上 因 可以是 所以个点全在一直线上 i n 4 3 2 n 当 并假定 3 r 0 333 222 111 zyx zyx zyx 中所有的四阶行列式全是 0 我们可以求得适合下式 X iiii knml 0 0 0 0 321 321 321 321 iiiii iiiii iiiii iiiii tktntmtl zkznzmzl ykynymyl xkxnxmxl 式中不等于 0 否则行列式 i k 0 333 222 111 zyx zyx zyx 从以上方程组求得 1 1 321 321 ynymyl k y xnxmxl k x iii i i iii i i 1 1 321 321 tntmt l k t znzmzl k z iii i i iii i i 设点及所确定的平面是 22221111 tzyxtzyx 3333 tzyx 0 DtCzByAx 把的等值代入上式 甚易验明点在这个平面上 故该点与前三个点 iiii tzyx iiii tzyx 共在一平面上 又因为 可以是 所以个点共在一个平面上 i n 6 5 4 n 当 中至少有一个四阶行列式如 4 rX 0 3333 2222 1111 iiii tzyx tzyx tzyx tzyx 是中任一个数 以上不等式表示点不在前三个点所确定 i n 7 6 5 4 iiii tzyx 的平面上 因为假设点在平面 iiii tzyx 0 DtCzByAx 上 则以下关系成立 0 0 0 0 3333 2222 1111 iiii DtCzByAx DtCzByAx DtCzByAx DtCzByAx 也就是行列式 0 3333 2222 1111 iiii tzyx tzyx tzyx tzyx 这与假设矛盾 5 5 三阶 三阶行列式在高中几何中的应用 n 1 e 2 e n v l B A C 1 A 1 B D y x z 5 15 1 三阶行列式的定义 符号 111213 212223112233122331 313233 133221132231122133113223 aaa aaaa a aa a a aaa a a aa a aa a aa a a 叫做三阶行列式 等号右边是运算结果 下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用 5 2 利用三阶行列式求法向量利用三阶行列式求法向量 5 2 1 定义 设平面内不共线的两个的向量的坐标为 1111 exyz 则行列式 2222 exyz 111 222 ijk xyz xyz 叫平面的一个法向量 记为 n 例 直棱柱中 111 ABCABC 1 1 2 ABACAA 为棱的中点 求平面的一个法向量 90BAC D 1 B BADC 如图 建立空间直角坐标 系 则Axyz 1 C 000 A 1 0 02 A 010 B 1 0 12 B 100 C 取面内两个不共线向量 1 1 02 C 011 D ADC 011 AD 100 AC 则平面的一个法向量为 ADC 011 011 100 ijk jk 5 2 2 应用举例 C 1 C A 1 A B 1 B D y x z A B C D x y 21 3 l m 1 证明线面平行 平面 的一个非零法向量是 n 平面外一条直线 的一 l 个非零方向向量是 则平面v l 的充要条件是 0n v n 2 求二面角 面 面 面的一个非l 零法向量是 面的一n 个非零法向量是 则二面角的大小为 或m l arccosmn arccosmn 例 1 正三棱柱的侧棱长为 底面边长为 是的中点 111 ABCABC 32DAC I 证明证明 平面 1 AB 1 DBC 求二面角的余弦值 1 DBCC 解 依题意 建立如图所示的空间直角坐标系 则 Cxyz 000 C 1 0 03 C 020 B 1 0 23 B 310 A 则 1 3 13 A 31 0 22 D 33 0 22 DB a 1 v 1 v 2 v 2 v n b 1 31 3 22 DC 平面的一个法向量为 1 DBC 即 333 333 33 0 222442 31 3 22 ijk nikkj 3 33 3 22 n 1 3 13 AB 1 3 33 3 13 3 22 93 30 22 AB n 所以平面 1 ABn 1 AB 1 DBC 面的一个法向量为 1 DBC 3 33 3 22 n 面的一个法向量为 1 BC C 0032 3 020 ijk mi 2 3 00 m 则 因此二面角的余弦值 93 cos 4 2 3 2 3 m n mn mn 1 DBCC 为 3 4 3 求异面直线的公共法向量 与是异面直线 向量是直线的方向向量 是直ab 1111 vxyz a 2222 vxyz 线的方向向量 则异面直线与的一个公共法向量是 bab x z y DC AB 1 A 1 B 1 C 1 D n a b A BN 0 A M 111 222 ijk nxyz xyz 法向量求两异面直线距离的基本思想 在空间中取两条异面直线和 且他们的一个法ab 向量为 因为直线 记垂足为 记垂足为 则线段的长就是n an Mbn NMN 异面直线和的距离 ab 如图 记法向量与的夹角为 则n BA 即 0 cos MN NA 0 cos MNNA 00 cos nn MNeNAeNA 故 0 n NAn AB MN nn 其中 分别为两异面直线上的任意点 并且此两点必须分居在两直线上 AB 例 2 已知正方体的棱长为 1111 ABCDABC D 1 求异面直线与的距离 1 DAAC 解 建立如图所示的空间直 角坐标系 Dxyz 则 000 D 100 A 1 1 01 A 010 C 1 101 DA 110 AC 于是异面直线与的一个法向量为 1 DAAC 101 111 110 ijk njki 分别在异面直线与各取一点 1 DAACAD 异面直线与的距离为 1 DAAC y x z C G E F AB 111 100 3 3 3 n AD d n 5 2 3 利用三阶行列式求平面方程利用三阶行列式求平面方程 定理定理 过三点 111 A xyz 222 B xyz 的平面的方程为 333 C xyz 111 212121 313131 0 xxyyzz xxyyzz xxyyzz 定理定理 若平面的方程为 0AxByCzD 则平面外一点到平面的距离为 000 P xyz 000 222 AxByCzD d ABC 例 3 已知正方形的边长为 平面 分别是ABCD4CG ABCD2CG EF 的中点 求点到平面的距离 ABADBEFG 解 依题意 建立如图所示的空间直角坐标系 则 则平面Cxyz 040 B 240 E 420 F 002 G 的方程为 EFG 002 2040020 402002 xyz 即 8848 1632440 xyzzyx 亦即 360 xyz 所以到平面的距离为 040 B EFG 0406 2 11 1111 d 利用三阶行列式求四面体的体积 定理定理 记平行六面体的一个顶点引出的三边所对应的向量 1111 ABCDABC D A 111 ABxyz 则平行六面体的体积为 222 ADxyz 1333 AAxyz A 1 A B C D 1 B 1 C 1 D S A BC AB CD 1 A 1 C 1 B 1 D x y z E O 111 222 333 xyz Vxyz xyz 平行六面体 说明说明 定理中的三向量只 要是平行六面体的同一顶 点引出的都可以 如 BA 等都行 BC 1 BB 定理定理 记四面体的一个定点引出的三边所对应的向量坐标分别为 SABC S 则四面体的体积 111 SAxyz 222 SBxyz 333 SCxyz SABC 为 111 222 333 1 6 SABC xyz Vxyz xyz 说明说明 1 定理中的三向量只 要是四面体的同一顶点引出的都可以 如 等都行 BA BC 1 BB 2 事实上 111 222 333 11 22 xyz VVxyz xyz 三棱柱平行六面体 所以 11 36 VVV 三棱锥三棱柱平行六面体 例 4 已知正四棱柱 点是棱上的中点 截面与底面 1111 ABCDABC D E 1 DDEAC 所成的角为 求三棱锥的体积 ABCD 4 2AB 1 BEAC 解 记与交点BDAC 为 由正方形OABCD 性质知是中点且OAC 是棱BOAC E 1 DD 上的点 易知 则 所以 所以EAEC EOAC EOA 4 EOA 2DEDO 建立如图所示的空间直角坐标系 则 1 2 2DD Dxyz 002 E 200 A 其中向量 1 2 22 B 020 C 1 022 B A 1 202 BC 于是三棱锥的体积为 1 220 B E 1 BEAC 1 022 114 2 202 8 2 663 220 BEAC V 说明说明 若求四棱锥 只需把四棱锥分割成两个三棱锥 分别求出三棱锥体积求和 致谢 本文是在张红老师的指导和帮助下完成的 在此对张老师表示衷心的感谢 参考文献 1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等代数 第三版 M 北京 高等教育 出社 2003 2 高杨芝