高一数学必修3知识点总结及典型例题解析

天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 概率部分概率部分 1 事件事件 随机事件 确定性事件 必然事件和不可能事件 2 随机事件的概率随机事件的概率 统计定义统计定义 一般的 如果随机事件 在次实验中发了 An 次 当实验的次数很大时 我们称事件 A 发生的概率为 mn n m AP 说明 一个随机事件发生于具有随机性 但又存在统计的规律性 在进 行大量的重复事件时某个事件是否发生 具有频率的稳定性 而频率的稳定性 又是必然的 因此偶然性和必然性对立统一 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值 它 具有一定的稳定性 总在某个常数附近摆动 且随着试验次数的不断增多 这 个摆动的幅度越来越小 而这个接近的某个常数 我们称之为概事件发生的概 率 概率是有巨大的数据统计后得出的结果 讲的是一种大的整体的 趋势 而频率是具体的统计的结果 概率是频率的稳定值 频率是概率的近似值 3 概率必须满足三个基本要求 概率必须满足三个基本要求 对任意的一个随机事件 有 A 10 AP 0 1 PP则有可能事件分别表示必然事件和不和用 如果事件 BPAPBAPBA 则有互斥和 4 古典概率 古典概率 所有基本事件有限个 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为 古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 则每一个基本事件发 n 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 生的概率都是 如果某个事件包含了其中的个等可能的基本事件 则事 n 1 Am 件发生的概率为 A n m AP 5 几何概型 几何概型 一般地 一个几何区域中随机地取一点 记事件 改点落在其内部的 D 一个区域内 为事件 则事件发生的概率为 dAA 这里要求的侧度不为 0 其中侧度的意义由确 的侧度 的侧度 D d AP DD 定 一般地 线段的侧度为该线段的长度 平面多变形的侧度为该图形的面积 立体图像的侧度为其体积 几何概型的基本特点 基本事件等可性 基本事件无限多 说明 为了便于研究互斥事件 我们所研究的区域都是指的开区域 即不 含边界 在区域内随机地取点 指的是该点落在区域内任何一处都是等可 DD 能的 落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比 而与其形状无关 6 互斥事件 互斥事件 不能同时发生的两个事件称为互斥事件 7 对立事件 对立事件 两个互斥事件中必有一个发生 则称两个事件为对立事件 事件的对立 A 事件记为 独立事件的概率 A BPAPA ABP B 则为相互独立的事件事件若 若 n21n2121 A AA AAAP PPPAAA n 则为两两独立的事件 说明 若可能都不发 B B 中最多有一个发生则为互斥事件AA 生 但不可能同时发生 从集合的关来看两个事件互斥 即指两个事件的集合 的交集是空集 对立事件是指的两个事件 而且必须有一个发生 而互斥事件 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 可能指的很多事件 但最多只有一个发生 可能都不发生对立事件一定是互斥 事件 从集合论来看 表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集 但两个 对立事件的并集是全集 而两个互斥事件的并集不一定是全集 两个对立事件的概率之和一定是 1 而两个互斥事件的概率之和小 于或者等于 1 若事件是互斥事件 则有 BA BPAPBAP 一般地 如果 两两互斥 则有 n AAA 21 nn APAPAPAAAP 2121 APAP 1 在本教材中 指的是 中至少发生一个 n AAA 21n AAA 21 例 1 在大小相同的 6 个球中 2 个是红球 4 个是白球 若从中任意选取 3 个 求至少有 1 个是红球的概率 解法 1 互斥事件 设事件 为 选取 3 个球至少有 1 个是红球 A 则其互斥事件为 意义为 选取 3 个球都是白球 A 5 4 5 1 1AP 1 AP 5 1 4 2 5 3 6 4 123 456 123 234 AP 3 6 3 4 C C 解法 2 古典概型 由题意知 所有的基本事件有种 20 123 456 3 6 C 情况 设事件 为 选取 3 个球至少有 1 个是红球 而事件所含有的基 AA 本事件数有 所以 16 2 34 2412 2 4 C 5 4 20 16 AP 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 解法 3 独立事件概率 设事件 为 选取 3 个球至少有 1 个是红球 A 则事件的情况如下 A 红 白 白 5 1 4 3 5 4 6 2 1 红 2 白 白 白 红 5 1 4 2 5 3 6 4 白 红 白 5 1 4 3 5 2 6 4 红 红 白 15 1 4 4 5 1 6 2 2 红 1 白 红 白 红 15 1 4 1 5 4 6 2 白 红 红 15 1 4 1 5 2 6 4 所以 5 4 15 1 3 5 1 3 AP 例 2 盒中有 6 只灯泡 其中 2 只次品 4 只正品 有放回的从中任抽 2 次 每 次抽取 1 只 试求下列事件的概率 1 第 1 次抽到的是次品 2 抽到的 2 次中 正品 次品各一次 解 设事件为 第 1 次抽到的是次品 事件为 抽到的 2 次中 正 AB 品 次品各一次 则 或者 3 1 6 2 AP 9 4 66 4224 BP 9 4 6 2 6 4 6 4 6 2 BP 例 3 甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题 3 道填空题 每人抽一道题 抽 到后不放回 求 1 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率 2 求至少 1 人 抽到选择题的概率 解 设事件为 甲抽到选择题而乙抽到填空题 事件为 至少 1 人抽 AB 到选择题 则B 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 为 两人都抽到填空题 1 10 3 56 33 10 3 5 3 6 3 2 6 1 3 1 3 P PP APAP或者 2 则 5 1 5 1 5 2 6 3 2 6 2 3 P P BPBP或者 5 4 5 1 11 BPBP 算法初步算法初步 1 1 算法与程序框图算法与程序框图 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 1 算法的概念 算法的概念 1 算法概念 在数学上 现代意义上的 算法 通常是指可以用计算机 来解决的某一类问题是程序或步骤 这些程序或步骤必须是明确和有效的 而 且能够在有限步之内完成 2 算法的特点 有限性 一个算法的步骤序列是有限的 必须在有限操作之后停止 不 能是无限的 确定性 算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的 结果 而不应当是模棱两可 顺序性与正确性 算法从初始步骤开始 分为若干明确的步骤 每一个 步骤只能有一个确定的后继步骤 前一步是后一步的前提 只有执行完前一步 才能进行下一步 并且每一步都准确无误 才能完成问题 不唯一性 求解某一个问题的解法不一定是唯一的 对于一个问题可以 有不同的算法 普遍性 很多具体的问题 都可以设计合理的算法去解决 如心算 计 算器计算都要经过有限 事先设计好的步骤加以解决 2 程序框图 程序框图 1 程序框图基本概念 程序构图的概念 程序框图又称流程图 是一种用规定的图形 指向线 及文字说明来准确 直观地表示算法的图形 一个程序框图包括以下几部分 表示相应操作的程序框 带箭头的流程线 程序框外必要文字说明 构成程序框的图形符号及其作用 程序框名称功能 起止框 表示一个算法的起始和结束 是任何流程图 不可少的 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 输入 输出框 表示一个算法输入和输出的信息 可用在算 法中任何需要输入 输出的位置 处理框 赋值 计算 算法中处理数据需要的算式 公式等分别写在不同的用以处理数据的处理 框内 判断框 判断某一条件是否成立 成立时在出口处标 明 是 或 Y 不成立时标明 否 或 N 1 2 基本算法语句基本算法语句 1 输入 输出语句和赋值语句 输入 输出语句和赋值语句 1 输入语句 输入语句的一般格式 INPUT 提示内容 变量 输入语句的作用是实现算法的输入信息功能 提示内容 提示用户 输入什么样的信息 变量是指程序在运行时其值是可以变化的量 输入语句 要求输入的值只能是具体的常数 不能是函数 变量或表达式 提示内容与 变量之间用分号 隔开 若输入多个变量 变量与变量之间用逗号 隔 开 2 输出语句 输出语句的一般格式 PRINT 提示内容 变量 输出语句的作用是实现算法的输出结果功能 提示内容 提示用户 输入什么样的信息 表达式是指程序要输出的数据 输出语句可以输出常量 变量或表达式的值以及字符 3 赋值语句 赋值语句的一般格式 变量 表达式 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量 赋值语句中的 称作赋值号 与数学中的等号的意义是不同的 赋值号的左右两边不能 对换 它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量 赋值语句左边 只能是变量名字 而不是表达式 右边表达式可以是一个数据 常量或算式 对于一个变量可以多次赋值 注意 赋值号左边只能是变量名字 而不能是表达式 如 2 X 是错误 的 赋值号左右不能对换 如 A B B A 的含义运行结果是不同的 不能利用赋值语句进行代数式的演算 如化简 因式分解 解方程等 赋值 号 与数学中的等号意义不同 5 条件语句 条件语句的一般格式有两种 IF 条件 THEN 语句体 END IF 注意 条件 表示判断的条件 语句 表示满足条件时执行的操作内 容 条件不满足时 结束程序 END IF 表示条件语句的结束 计算机在执行 时首先对 IF 后的条件进行判断 如果条件符合就执行 THEN 后边的语句 若条 件不符合则直接结束该条件语句 转而执行其它语句 IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF 否 是 满足条件 语 句 1 语 句 2 满足条件 语句 是 否 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 分析 在 IF THEN ELSE 语句中 条件 表示判断的条件 语句 1 表示满足条件时执行的操作内容 语句 2 表示不满足条件时执行的操作内 容 END IF 表示条件语句的结束 计算机在执行时 首先对 IF 后的条件进行 判断 如果条件符合 则执行 THEN 后面的语句 1 若条件不符合 则执行 ELSE 后面的语句 2 6 循环语句 循环结构是由循环语句来实现的 对应于程序框图中的两种循环结构 一 般程序设计语言中也有当型 WHILE 型 和直到型 UNTIL 型 两种语句结 构 即 WHILE 语句和 UNTIL 语句 1 WHILE 语句 WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是 当计算机遇到 WHILE 语句时 先判断条件的真假 如果条件符合 就 执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体 然后再检查上述条件 如果条件仍符合 再次执行循环体 这个过程反复进行 直到某一次条件不符合为止 这时 计 算机将不执行循环体 直接跳到 WEND 语句后 接着执行 WEND 之后的语句 因此 当型循环有时也称为 前测试型 循环 2 UNTIL 语句 UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是 WHILE 条件 循环体 WEND 满足条件 循环 体 否 是 满足条件 循环体 是 否 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 直到型循环又称为 后测试型 循环 从 UNTIL 型循环结构分析 计算 机执行该语句时 先执行一次循环体 然后进行条件的判断 如果条件不满足 继续返回执行循环体 然后再进行条件的判断 这个过程反复进行 直到某一 次条件满足时 不再执行循环体 跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句 是 先执行循环体后进行条件判断的循环语句 分析 当型循环与直到型循环的区别 当型循环先判断后执行 直到型循环先执行后判断 在 WHILE 语句中 是当条件满足时执行循环体 在 UNTIL 语句中 是当 条件不满足时执行循环 统计统计 2 1 随机抽样 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 1 简单随机抽样 1 总体和样本 在统计学中 把研究对象的全体叫做总体 把每个研究对象叫做个体 把总体中个体的总数叫做总体容量 为了研究总体的有关性质 一般从总体中随机抽取一部分 研究 我们称它为样本 其中个体的个数称为样本容量 2 简单随机抽样 也叫纯随机抽样 就是从总体中不加任何分组 划类 排队等 完全随机地抽取调查单位 特点是 每个样本单位被抽中的可能性相 同 概率相等 样本的每个单位完全独立 彼此间无一定的关联性和排斥性 简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础 通常只是在总体单位之间差异程度 较小和数目较少时 才采用这种方法 3 简单随机抽样常用的方法 抽签法 随机数表法 计算机模拟法 使用统计软件直接抽取 在简单随机抽样的样本容量设计中 主要考虑 总体变异情况 允许 误差范围 概率保证程度 2 系统抽样 1 系统抽样 等距抽样或机械抽样 把总体的单位进行排序 再计算出抽样距离 然后按照这一固定的抽样距 离抽取样本 第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取 K 抽样距离 N 总体规模 n 样本规模 前提条件 总体中个体的排列对于研究的变量来说 应是随机的 即不存 在某种与研究变量相关的规则分布 可以在调查允许的条件下 从不同的样本 开始抽样 对比几次样本的特点 如果有明显差别 说明样本在总体中的分布 承某种循环性规律 且这种循环和抽样距离重合 2 系统抽样 即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一 因为它对 抽样框的要求较低 实施也比较简单 更为重要的是 如果有某种与调查指标 相关的辅助变量可供使用 总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话 使用系 统抽样可以大大提高估计精度 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 3 分层抽样 1 分层抽样 类型抽样 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志 性别 年龄等 划分成若干 类型或层次 然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法 抽取一个子样本 最后 将这些子样本合起来构成总体的样本 两种方法 先以分层变量将总体划分为若干层 再按照各层在总体中的比例从各层 中抽取 先以分层变量将总体划分为若干层 再将各层中的元素按分层的顺序整 齐排列 最后用系统抽样的方法抽取样本 2 分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体 再 抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体 所有的样本进而代表总体 分层标准 以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准 以保证各层内部同质性强 各层之间异质性强 突出总体内在 结构的变量作为分层变量 以那些有明显分层区分的变量作为分层变量 3 分层的比例问题 抽样比 样本容量各层样本容量 个体容量各层个体容量 按比例分层抽样 根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位 数目的比重来抽取子样本的方法 不按比例分层抽样 有的层次在总体中的比重太小 其样本量就会非 常少 此时采用该方法 主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行 相互比较 如果要用样本资料推断总体时 则需要先对各层的数据资料进行加 权处理 调整样本中各层的比例 使数据恢复到总体中各层实际的比例结构 4 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 样本均值 n xxx x n 21 天行健天行健 君子以自强不息君子以自强不息 2 样本标准差 n xxxxxx ss n 22 2 2 12 3 众数 在样本数据中 频率分布最大值所对应的样本数据 可以是多 个 4 中位数 在样本数据中 累计频率为 1 5 时所对应的样本数据值 只 有一个 注意 如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数 标准 差不变 如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k 标准差变为原 来的 k 倍 一组数据中的最大值