第3章 概率 章末复习课 学案（人教A版必修3）

第 3 章 概率 章末复习课章末复习课 画一画知识网络 结构更完善 填要点 记疑点 1 频率与概率 频率是概率的近似值 是随机的 随着试验的不同而变化 概率是多数次的试验中频 率的稳定值 是一个常数 不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率 2 求较复杂概率的常用方法 1 将所求事件转化为彼此互斥的事件的和 2 先求其对立事件的概率 然后再应用公式 P A 1 P 求解 A 3 古典概型概率的计算 关键要分清基本事件的总数 n 与事件 A 包含的基本事件的个数 m 再利用公式 P A 求 有时需要用列举法把基本事件一一列举出来 在列举时必须按某一顺序做到不 m n 重不漏 4 几何概型事件概率的计算 关键是求得事件 A 所占区域和整个区域的几何度量 然后代入公式求解 题题型 提能力 题型一 随机事件的概率 例 1 对一批 U 盘进行抽检 结果如下表 抽出件数 a50100200300400500 次品件数 b345589 次品频率 b a 1 计算表中次品的频率 2 从这批 U 盘中任抽一个是次品的概率约是多少 3 为保证买到次品的顾客能够及时更换 要销售 2 000 个 U 盘 至少需进货多少个 U 盘 解 1 表中次品频率从左到右依次为 0 06 0 04 0 025 0 017 0 02 0 018 2 当抽取件数 a 越来越大时 出现次品的频率在 0 02 附近摆动 所以从这批 U 盘中任 抽一个是次品的概率约是 0 02 3 设需要进货 x 个 U 盘 为保证其中有 2 000 个正品 U 盘 则 x 1 0 02 2 000 因为 x 是正整数 所以 x 2 041 即至少需进货 2 041 个 U 盘 跟踪训练 1 某射击运动员为备战奥运会 在相同条件下讲行射击训练 结果如下 射击次数 n102050100200500 击中靶心次数 m8194492178455 击中靶心的频率0 80 950 880 920 890 91 1 该射击运动员射击一次 击中靶心的概率大约是多少 2 假设该射击运动员射击了 300 次 则击中靶心的次数大约是多少 3 假如该射击运动员射击了 300 次 前 270 次都击中靶心 那么后 30 次一定都击不 中靶心吗 4 假如该射击运动员射击了 10 次 前 9 次中有 8 次击中靶心 那么第 10 次一定击中 靶心吗 解 1 由题意 得击中靶心的频率与 0 9 接近 故概率约为 0 9 2 击中靶心的次数大约为 300 0 9 270 次 3 由概率的意义 可知概率是个常数 不因试验次数的变化而变化 后 30 次中 每次击 中靶心的概率仍是 0 9 所以不一定不击中靶心 4 不一定 题型二 互斥事件与对立事件 例 2 现有 8 名数理化成绩优秀者 其中 A1 A2 A3数学成绩优秀 B1 B2 B3物理成绩 优秀 C1 C2化学成绩优秀 从中选出数学 物理 化学成绩优秀者各 1 名 组成一 个小组代表学校参加竞赛 1 求 C1被选中的概率 2 求 A1和 B1不全被选中的概率 解 1 从 8 人中选出数学 物理 化学成绩优秀者各 1 名 其一切可能的结果组成的基 本事件空间 A1 B1 C1 A1 B1 C2 A1 B2 C1 A1 B2 C2 A1 B3 C1 A1 B3 C2 A2 B1 C1 A2 B1 C2 A2 B2 C1 A2 B2 C2 A2 B3 C1 A2 B3 C2 A3 B1 C1 A3 B1 C2 A3 B2 C1 A3 B2 C2 A3 B3 C1 A3 B3 C2 由 18 个基本事件组成 由于每一个基本事件被抽取的机会均等 因此这些基本事件的发生是等可能的 用 M 表示 C1恰被选中 这一事件 则 M A1 B1 C1 A1 B2 C1 A1 B3 C1 A2 B1 C1 A2 B2 C1 A2 B3 C1 A3 B1 C1 A3 B2 C1 A3 B3 C1 事件 M 由 9 个基本事件组成 因而 P M 9 18 1 2 2 用 N 表示 A1 B1不全被选中 这一事件 则其对立事件 表示 A1 B1全被选中 这一事件 N 由于 A1 B1 C1 A1 B1 C2 事件 由 2 个基本事件组成 所以 P NNN 2 18 1 9 由对立事件的概率公式得 P N 1 P 1 N 1 9 8 9 反思与感悟 在求有关事件的概率时 若从正面分析 包含的事件较多或较繁琐 而其 反面却较容易入手 这时 可以利用对立事件求解 跟踪训练 2 有 4 张面值相同的债券 其中有 2 张中奖债券 1 有放回地从债券中任取 2 张 每次取出 1 张 计算取出的 2 张中至少有 1 张是中奖 债券的概率 2 无放回地从债券中任取 2 张 每次取出 1 张 计算取出的 2 张中至少有 1 张是中奖 债券的概率 解 1 把四张债券分别编号 1 2 3 4 其中 3 4 是中奖债券 用 2 3 表示 第一次取出 2 号债券 第二次取出 3 号债券 所有可能的结果组成的基本事件空间为 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 用 C 表示 有放回地从债券中任取 2 次 取出的 2 张都不是中奖债券 则 表示 有 C 放回地从债券中任取 2 次 取出的 2 张中至少有 1 张是中奖债券 则 C 1 1 1 2 2 1 2 2 所以 P 1 P C 1 C 4 16 3 4 2 无放回地从债券中任取 2 张 所有可能的结果组成的基本事件空间 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 用 D 表示 无放回地从债券中任取 2 张 取出的 2 张都不是中奖债券 则 表示 无 D 放回地从债券中任取 2 次 取出的 2 张至少有 1 张是中奖债券 则 P 1 P D 1 D 2 12 5 6 题型三 古典概型与几何概型 例 3 某产品的三个质量指标分别为 x y z 用综合指标 S x y z 评价该产品的等 级 若 S 4 则该产品为一等品 现从一批该产品中 随机抽取 10 件产品作为样本 其质量指标列表如下 产品编号A1A2A3A4A5 质量指标 x y z 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 产品编号A6A7A8A9A10 质量指标 x y z 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率 2 在该样本的一等品中 随机抽取 2 件产品 用产品编号列出所有可能的结果 设事件 B 为 在取出的 2 件产品中 每件产品的综合指标 S 都等于 4 求事件 B 发 生的概率 解 1 计算 10 件产品的综合指标 S 如下表 产品 编号 A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 S4463454535 其中 S 4 的有 A1 A2 A4 A5 A7 A9 共 6 件 故该样本的一等品率为 0 6 从而可 6 10 估计该批产品的一等品率为 0 6 2 在该样本的一等品中 随机抽取 2 件产品的所有可能结果为 A1 A2 A1 A4 A1 A5 A1 A7 A1 A9 A2 A4 A2 A5 A2 A7 A2 A9 A4 A5 A4 A7 A4 A9 A5 A7 A5 A9 A7 A9 共 15 种 在该样本的一等品中 综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1 A2 A5 A7 则事件 B 发生的所有可能结果为 A1 A2 A1 A5 A1 A7 A2 A5 A2 A7 A5 A7 共 6 种 所以 P B 6 15 2 5 跟踪训练 3 如图所示的大正方形面积为 13 四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方 形 较短的直角边长为 2 向大正方形内投掷飞镖 飞镖落在阴影部分的概率为 A B C D 4 13 2 13 1 13 3 13 答案 C 解析 设阴影小正方形边长为 x 则在直角三角形中 有 22 x 2 2 2 13 解得 x 1 或 x 5 舍 阴影部分面积为 1 飞镖落在阴影部分的概率为 1 13 题型四 数形结合的思想在求概率中的运用 例 4 三个人玩传球游戏 每个人都等可能地传给另两人 不自传 若从 A 发球算起 经 4 次传球又回到 A 手中的概率是多少 解 记三人为 A B C 则 4 次传球的所有可能可用树状图方式列出 如右图 每一个分支为一种传球方案 则基本事件的总数为 16 而又回到 A 手中的事件个数为 6 个 根据古典概型概率公式得 P 6 16 3 8 反思与感悟 事件个数没有很明显的规律 而且涉及的基本事件又不是太多时 我们可 借助树状图法直观地将其表示出来 有利于条理地思考和表达 跟踪训练 4 设 M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 任取 x y M x y 求 x y 是 3 的倍数的概 率 解 利用平面直角坐标系列举 如图所示 由此可知 基本事件总数 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 而 x y 是 3 的倍数的情 况有 m 1 2 4 4 3 1 15 种 故所求事件的概率 m n 1 3 呈重点 现规律 1 两个事件互斥 它们未必对立 反之 两个事件对立 它们一定互斥 若事件 A1 A2 A3 An彼此互斥 则 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 2 关于古典概型 必须要解决好下面三个方面的问题 1 本试验是否是等可能的 2 本试验的基本事件有多少个 3 事件 A 是什么 它包含多少个基本事件 只有回答好了这三方面的问题 解题才不会出错 3 几何概型的试验中 事件 A 的概率 P A 只与子区域 A 的几何度量 长度 面积或体积 成 正比 而与 A 的位置和形状无关 求试验为几何概型的概率 关键是求得事件所占区 域和整个区域 的几何度量 然后代入公式即可求解 4 关于随机数与