第三讲函数极限

1 第三讲 函数连续与导数 一 一点连续的定义 1 设在某内有定义且 则称在连续 f 0 U x 0 0 lim xx f xf x f 0 x 2 设在某内有定义且 则称在右 左 连续 f 00 UxUx 0000 f xf xf xf x f 0 x 3 在连续 f 0 x 00 0 0 xxf xf x 在右连续 f 0 x 00 0 0 xUxf xf x 在左连续 f 0 x 00 0 0 xUxf xf x 4 00 00 00 lim limsup lim liminf xxx U x xxx U x f xf xf xf x 0 00 0 0 lim lim limsup f xx xxx x U x xf xf xf xf x 在连续 f 0 x 0 0 f x 5 间断点 1 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 0 0 lim xx f xf x 00 f xf x 2 第二类间断点 与至少有一个不存在 0 f x 0 f x 二 性质 1 局部有界性 2 局部保号性 3 四则运算 4 复合函数连续性 若在连续 在连续 则在连续 f 0 xg 00 uf x gf 0 x 5 区间上的单调函数只有跳跃间断点 三 区间上连续函数及性质 1 若函数在区间 I 上的每一点都连续 对于区间端点单边连续 则称为区间 I 上的连续函数 ff 2 闭区间上连续函数的性质 1 最大与最小值定理 若 则在上有最大与最小值 fC a b f a b 2 有界性定理 若 则在上有界 fC a b f a b 3 介值定理 若 则为闭区间 fC a b fa b 4 反函数的连续性 若在上严格单调且连续 则在闭区间上连续 f a b 1 f fa b 四 一致连续 2 1 设定义在区间 I 上 若当时 有 则称f0 0 x xIxx f xf x 在区间 I 上一致连续 f 2 则在区间 I 上一致连续0 sup I ff xf xx xIxx f 0 lim 0I f 3 在区间 I 上不一致连使得 f 0 lim 0 nn I fxyI 0 nn xy inf 0 nn n f xf y 4 在区间 I 上一致连续 当时 有 f0 0N f xf y N x yI xy f xf y 证明 必要性 设在区间 I 上一致连续 则当时 有f0 0 x xIxx 从而当时 必有 令 则当 f xf x f xf x xx 2 N 时 有 若不然 但 f xf y N x yI xy f xf y f xf y x yIN xy 因此 取整数 使得 令 则 f xf y xy 1k 1 kk 1k 2 不妨设 这时由 则由介 f xf y xy 1 f yf xf xk f xf xf y 值性定理 类似 如此下去得 11 xx yf xf x 2121 xx yf xf x 于是 从而 011k xxxxy 1 ii f xf xf xi 1 1ik 1ii xx 矛盾 1 2 1 f xf yf yf xk N xyyxk 充分性 设 当时 有 取 若0 0N f xf y N x yI xy f xf y N 则 从而 f xf y f xf y N xy xy xyf xf y f xf yN 5 一致连续性定理 若 则在上一致连续 fC a b f a b 6 则在上一致连续都存在使得 fC a b f a b f af b FC a b f xF x xa b 3 证明 必要性 设在上一致连续 则当时 有f a b0 0 x xIxx 从而当时 有 由 Cauchy 准则存在 类似 f xf x x xa a f xf x f a 可得存在 f b 充分性 设 存在 时 fC a b f af b 0 0 2 2 x xa ax xbb 有 由在上一致连续 所以当 f xf x f ab 0 x xab 时有 从而当 时有 即在 xx f xf x x xa b xx f xf x f 上一致连续 a b 7 若函数在上一致连续 求证 在上有界 华东师大 04 xf 1 x xf 1 证明 由函数在上一致连续 所以当时 有 xf 1 0 1 2x xxx 对 有 令 则 有 1f xf x 1x 111 1 xxx 1x n 11nxn 故 令 1 1 n k f xf xkf xkf xn 11 max t f xnf t 11 max t Mf t 1 1 f xnM xxx 五 初等函数在其定义区间上连续 六 举例 1 设且存在 则在上一致连续 在有界连续 但不一致 fC a lim x f x f a 1 sin x 0 1 连续 在上一致连续 cosxx a coscos2sinsin 22 xxxx xx 2 设 则 使得 0 1 fC 0 1 ff 0 1 n 1 ff n 证明 当时 取 当令 则 且1n 0 1 n 1 F xf xf x n 1 0 1 FC n 所以 111 0 1 0FFF nnn 11 0101 min 0max xx nn F xF x 3 设在开区间可微 且在有界 证明在一致连续 北大 05 xf ba x f ba xf ba 4 设实函数 f 在 0 上连续 在 0 内处处可导且 存在 证明 当且仅当 A 时 f lim x Axf 4 在 0 上一致连续 清华 99 证明 当时 则当时 从而在上一致连续 又在A 0 M xM 1fxA f M f 上一致连续 故在上一致连续 0 Mf 0 反之若在上一致连续 则当时 有 从而f 0 0 0 x xxx 1f xf x 故 1 222 nn xn nf nf nfx 2 lim lim n xn Afxfx 5 证明函数在上一致连续 北大 01 lnf xxx 1 证明 ln1 0 2 x fxx xx 6 函数在上一致连续 又在上一致连续 用定义来证明在上一 f x a b b cabc f x a c 致连续 北大 00 7 设 若存在 则必存在 使得 fC a b lim 0 lim 0 xaxb f xAf xB a b 北大 99 0f 8 函数在上连续 且 求证 在上有最大值或最小值 华 xf limAxf x xf 东师大 04 9 若函数在上一致连续 求证 在上有界 华东师大 04 xf 1 x xf 1 证明 由函数在上一致连续 所以当时 有 xf 1 0 1 2x xxx 对 有 令 则 有 1f xf x 1x 111 1 xxx 1x n 11nxn 故 令 1 1 n k f xf xkf xkf xn 11 max t f xnf t 11 max t Mf t 1 1 f xnM xxx 10 设 f x 在中任意两点之间都具有介质性 而且 f 在 a b 内可导 K 为正常 a b fxK 数 证明 f 在点 a 右连续 在点 b 左连续 华东师大 00 xa b 11 设在上连续 在上可导 且存在 证明在上一致连续 f 0 1 0 1 0 0 1 lim x x fx f 0 1 北师大 04 证明 设 0 lim x x fxA 5 1 当时 只要证明存在 由 则当时 且0A 0 f 0 lim x x fxA 0 0 x 0fx 从而在上严格增 当时 存在 1x fxA f x 0 1 2n 1 11 22 n nn 故正项级数 11 111 222 n nnn fff 1 2 nn n n f 1 1 2 1 2 n n A 1 1 1 1 2 n A 收敛 于是存在 由单调收敛原理得存在 1 1 11 22 nn n ff 1 lim 2n n f 0 f 2 当时 由 1 知在上一致连续 从而在上一致连续 0A f 0 1 f 0 1 3 当时 由 1 在上一致连续 又因为在0A 1 0 lim 10 x xf xx 1 f xx 0 1 1 x 上一致连续 故在上一致连续 0 1 f 0 1 12 设在上定义 且存在 时为单侧极限 证明在上有界 f a b lim tx xa bf t xa b f a b 北师大 03 证明 用反证法 若在上无界 则 不妨 由致密性定f a b lim nn n xa bf x lim n n f x 理有收敛子列 不妨收敛 这与存在矛盾 n x n xlim n n xxa b lim tx f t 13 设在上连续 无上界且对任意 在上不取最小值 证明在上f a b c da b f c df a b 严格增 证明 用反证法 若 使得 由无上界 则存在使得 于axyb f xf y fydb f df y 是在上取最小值 这与题设矛盾 f x d 14 设在上一致连续 在上连续 且 证明在上一致f a a lim 0 x f xx a 连续 15 大连理工 04 inf a t x f xa bxa bm xf tm xa b 设在上连续 对 定义证明 在上连续 证明 当时 有 0 xa b 0 0 00 xxx 00 f xf xf x 下证在右连