二元一次方程组应用常见问题总结

二元一次方程组应用常见问题总结二元一次方程组应用常见问题总结 以下是中国招生考试网 为大家整理的 二元一次方程组应用常 见问题总结 希望大家能够喜欢 更多资源请搜索工作总结频 道与你分享 二元一次方程组应用问题归纳 二元一次方程组应用常见问题总结 第一篇 二元一次方程组应用问题归纳 知识要点分析 一 列二元一次方程组解应用题的步 骤 审 设 列 解 答 1 审 审题 把实际问题抽象成数 学问题 分析已知数和未知数 并用字母表示其中的两个未知 数 2 设 找出能够表示题意的两个相等 关系并设出方程 3 列 根据这两个相等关系列出必需 的代数式 从而列出方程组 4 解 解方程组 求出两个未知数的 值 5 答 写出答案 包括单位名称 注意求出的方程组的解要合理符合实际 二 常见问题中的数 量关系 重点 难点 鸡兔同笼问题 等量关系 鸡头 兔头 头数 鸡脚 兔脚 足数 增收节支问题 增 减 后的数量 基数 1 增加 减少 后的百分数 百分率问题 百分率 100 折扣问题 打折后的价格 原价 打折 数 存 贷 款问题 利息 本金 利率 时间 本息和 本金 利息 盈利问题 销售额 售价 数量 总利润 销售额 总成本 每件的利润 数量 售价 进价 数量 里程碑上的数 1 数字问题 1 用字母表示两位或两位以上的数 一个两位数 个位数字是 a 十位数字 是 b 那么这个数可表示为 10b a 如果交换个位和十位上的数字 得到 一个新的两位数可表示为 10a b 2 数的位置变换后怎样表示多位数 1 两位数 x 放在两位数 y 的左边 组成一个四位数 这时 x 的个位数就变成了百位 十位数就 变成了千位 而两位数 y 在四位数中数位没有变化 因此用 x y 表示这个四位数为 100 x y 同理 如果将 x 放在 y 的右边 得到一个新的四位数为 100y x 2 一个两位数 个位上的数是 m 十位上的数是 n 如果在它们之间添上零 十位上的 n 便成了 百位上的数 因此这个三位数是由 n 个 100 0 个 10 m 个 1 组成的 用代数式表示这个三位数即为 100n m 3 年龄问题 遇年龄问题时 注意两 人年龄同时增长相同岁数 2 行程问题 行驶路程 行驶速度 行驶时间 相遇问题 甲乙相向而行 则甲走 的路程 乙走的路程 总路程 追及问题 甲乙同向不同地而行 则追者走的路程 被追者走的路程 两人最初相距的距离 小结 设总路程为 S 甲路程为 S 甲 乙路程为 S 乙 则相遇问题中的等量关系 S 甲 S 乙 S 若甲 乙两人相距 S 甲速度快 在后面追乙 追及问题中的等量关 系 S 甲 S 乙 S 环形跑道问题 同时同地同向而行 首次相 遇 路程差等于一圈 同时同地相背而行 首次相遇 路程 和等于一圈 飞行问题 顺风速度 无风速度 风速 逆风速度 无风速度 风速 航行问题 顺水速 度 静水速度 水速 逆水速度 静水速度 水速 顺水速度 逆水速度 2 水速 典型例题 考点一 二元一次方程组与鸡兔同笼 问题 例 1 鸡鸭共一栏 鸡为鸭之半 八鸭 展翅飞 六鸡在下蛋 再点鸡鸭数 鸭为鸡倍三 请你算一算 鸡鸭各多少 如果设有鸡 x 只 鸭有 y 只 则由诗意可列二元 一次方程组 例 2 2014 辽宁 八年级学生开会 若每条长凳坐 5 人 则少 10 条长凳 若每条长凳坐 6 人 则多 两条长凳 问学生多少 长凳多少 例 3 2013 吉林 吉林人参是保健佳 品 某特产商店销售甲 乙两种保鲜人参 甲种人参每棵 100 元 乙种人参每棵 70 元 王叔叔用 1200 元在此特产商店购买这 两种人参共 15 棵 求王叔叔购买每种人参的棵树 考点二 二元一次方程组与增收节支 问题 例 1 2013 乌鲁木齐 在水果店里 小李买了 5kg 苹果 3kg 梨 老板少要 2 元 收了 50 元 老王 买了 11kg 苹果 5kg 梨 老板按九折收钱 收了 90 元 该店的 苹果和梨的单价各是多少元 例 2 2014 泰州 今年 五一 小长 假期间 某市外来与外出旅游的总人数为 226 万人 分别比去 年同期增长 30 和 20 去年同期外来旅游比外出旅游的人数 多 20 万人 求该市今年外来和外出旅游的人数 例 3 某城市规定 出租车起步价允许 行驶的最远路程为 3 千米 超过 3 千米的部分按每千米另行收 费 甲说 我乘这种出租车走了 11 千米 付了 17 元 乙说 我乘这种出租车走了 23 千米 付了 35 元 请你算一算这种出租 车的起步价是多少元 以及超过 3 千米后 每千米的车费是多 少元 考点三 用二元一次方程组解决数字 问题 里程碑上的数 例 1 有一个三位数 现将最左边的数 字移到最右边 则得到的数比原来的数小 45 又已知百位数字 的 9 倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小 3 试求原来 的三位数 例 2 8 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍 从现在起 8 年后父亲的年龄成为儿子年龄的 2 倍 求父 亲和儿子现在的年龄 例 3 2014 山西 甲 乙两个两位数 若把甲数放在乙数的左边 组成的四位数是乙数的 201 倍 若 把乙数放在甲数的左边 组成的四位数比上面的四位数小 1188 求这两个数 列出方程组即可 例 4 2014 陕西 有一个两位数和一 个一位数 如果在这个一位数后面多写一个 0 则它与这个两 位数的和是 146 如果用这个两位数除以这个一位数 则商 6 余 2 求这个两位数和一位数 考点四 二元一次方程组与行程问题 里程碑上的数 例 1 2011 恩施州 小明的爸爸骑着摩 托车带着小明在公路上匀速行驶 小明每隔一段时间看到的里 程碑上的数如下 时刻 碑上 12 00 13 00 14 30 比 12 00 时看 到的两 位数中间多了个 0 是一个两位数 十 位与个位数字与 12 00 时所看到的正好颠倒了 的数 数字之和 为 6 则 12 00 时看到的两位数是 A 24 B 42 C 51 D 15 例 2 2013 四川 甲 乙二人在一环形 场地上从 A 点同时同向匀速跑步 甲的速度是乙的 2 5 倍 4 分钟两人首次相遇 此时乙 还需要跑 300 米才跑完第一圈 求甲 乙二人的速度及环形场 地的周长 列方程组求解 例 3 某体育场的一条环形跑道长 400 米 甲 乙两人从跑道上同一地点出发 分别以不同的速度练 习长跑和自行车 如果背向而行 每隔 隔 11 分钟他们相遇一次 如果同向而 行 每 22 分钟甲追上乙一次 问甲 乙每分钟各行多少米 3 二元一次方程组的应用典型习题总结 二元一次方程组应用常见问题总结 第二篇 第五章 实际问题与二元一次方程组经 典例题 知识要点梳理 列方程组解应用题中常用的基本等量 关系 1 行程问题 1 追击问题 追击问题是行程问题中 很重要的一种 它的特点是同向而行 这类问题比较直观 画 线段 用图便于理解与分析 其等量关系式是 两者的行程差 开 始时两者相距的路程 2 相遇问题 相遇问题也是行程问题中 很重要的一种 它的特点是相向而行 这类问题也比较直观 因而也画线段图帮助理解与分析 这类问题的等量关系是 双 方所走的路程之和 总路程 3 航行问题 船在静水中的速度 水速 船的顺水速度 船在静水中的速度 水速 船的逆 水速度 顺水速度 逆水速度 2 水速 注意 飞机航行问题同样会出现顺风 航行和逆风航行 解题方法与船顺水航行 逆水航行问题类似 2 工程问题 工作效率 工作时间 工作量 3 商品销售利润问题 1 利润 售价 成本 进价 2 3 利润 成本 进价 利润率 4 标价 成本 进价 1 利润率 5 实 际售价 标价 打折率 打几折就是按标价的十分之几或百分 之几十销售 例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者 百分之八十 4 储蓄问题 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 本金 本金 利率 期数 本金 1 利率 期数 利息税 利息 利息税率 本金 利率 期数 利息税率 税后利息 利息 1 利息税率 5 配套问题 解这类问题的基本等量关系是 总量 各部分之间的比例 每一套各部分之间的比例 6 增长率问题 解这类问题的基本等量关系式是 原 量 1 增长率 增长后的量 原量 1 减少率 减少后的量 7 和差倍分问题 解这类问题的基本等量关系是 较大 量 较小量 多余量 总量 倍数 倍量 8 数字问题 解决这类问题 首先要正确掌握自然 数 奇数 偶数等有关概念 特征及其表示 如当 n 为整数时 奇数可表示为 2n 1 或 2n 1 偶数可 表示为 2n 等 有关两位数的基本等量关系式为 两位数 十位 数字 10 个位数字 9 优化方案问题 在解决问题时 常常需合理安排 需 要从几种方案中 选择最佳方案 如网络的使用 到不同旅行 社购票等 一般都要运用方程解答 得出最佳方案 注意 方案选择题的题目较长 有时 方案不止一种 阅读时应抓住重点 比较几种方案得出最佳方案 经典例题透析 类型一 列二元一次方程组解决 行程问题 1 甲 乙两地相距 160 千米 一辆汽 车和一辆拖拉机同时由甲 乙两地相向而行 1 小时 20 分相遇 相遇后 拖拉机继续前进 汽车在相遇处停留 1 小时后调转车 头原速返回 在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机 这时 汽车 拖拉机各自行驶了多少千米 举一反三 二元一次方程组应用常 见问题总结 变式 1 甲 乙两人相距 36 千米 相向而行 如果甲比乙先走 2 小时 那么他们在乙出发 2 5 小 时后相遇 如果乙比甲先走 2 小时 那么他们在甲出发 3 小时 后相遇 甲 乙两人每小时各走多少千米 变式 2 两地相距 280 千米 一艘 船在其间航行 顺流用 14 小时 逆流用 20 小时 求船在静水 中的速度和水流速度 类型二 列二元一次方程组解决 工程问题 2 一家商店要进行装修 若请甲 乙 两个装修组同时施工 8 天可以完成 需付两组费用共 3520 元 若先请甲组单独做 6 天 再请乙组单独做 12 天可完成 需付两 组费用共 3480 元 问 1 甲 乙两组工作一天 商店应各付 多少元 2 已知甲组单独做需 12 天完成 乙组单独做需 24 天 完成 单独请哪组 商店所付费用最少 举一反三 变式 3 小明家准备装修一套新住 房 若甲 乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5 2 万元 若 甲公司单独做 4 周后 剩下的由乙公司来做 还需 9 周完成 需工钱 4 8 万元 若只选一个公司单独完成 从节约开支的角度 考虑 小明家应选甲公司还是乙公司 请你说明理由 类型三 列二元一次方程组解决 商品销售利润问题 3 有甲 乙两件商品 甲商品的利润 率为 5 乙商品的利润率为 4 共可获利 46 元 价格调整后 甲商品的利润率为 4 乙商品的利润率为 5 共可获利 44 元 则两件商品的进价分别是多少元 举一反三 变式 4 注 获利 售价 进价 求该商场购进 A B 两种商品各多少件 类型四 列二元一次方程组解决 银行储蓄问题 4 小明的妈妈为了准备小明一年后上 高中的费用 现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱 一种是 年利率为 2 25 的教育储蓄 另一种是年利率为 2 25 的一年 定期存款 一年后可取出 2042 75 元 问这两种储蓄各存了多 少钱 利息所得税 利息金额 20 教育储蓄没有利息所 得税 举一反三 变式 5 李明以两种形式分别储蓄 了 2000 元和 1000 元 一年后全部取出 扣除利息所得税可得 利息 43 92 元 已知两种储蓄年利率的和为 3 24 问这两种储 蓄的年利率各是百分之几 注 公民应缴利息所得税 利息金 额 20 变式 6 小敏的爸爸为了给她筹备 上高中的费用 在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱 第一 种 一年期整存整取 共反复存了 3 次 每次存款数都相同 这种存款银行利率为年息 2 25 第二种 三年期整存整取 这种存款银行年利率为 2 70 三年后同时取出共得利息 303 75 元 不计利息税 问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元 类型五 列二元一次方程组解决 生产中的配套问题 5 某服装厂生产一批某种款式的秋装 已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只 现计 划用 132 米这种布料生产这批秋装 不考虑布料的损耗 应分别 用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套 举一反三 变式 7 现有 190 张铁皮做盒子 每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底 一个盒身与两个盒底配成一 个完整盒子 问用多少张铁皮制盒身 多少张铁皮制盒底 可 以正好制成一批完整的盒子 变式 8 某工厂有工人 60 人 生产 某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品 每人每天生产螺栓 14 个或螺母 20 个 应分配多少人生产螺栓 多少人生产螺母 才 能使生产出的螺栓和螺母刚好配套 变式 9 一张方桌由 1 个桌面 4 条 桌腿组成 如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个 或做桌腿 300 条 现有 5 立方米的木料 那么用多 少立方米木料做桌面 用多少立方米木料做桌腿 做出的桌面 和桌腿 恰好配成方桌 能配多少张方桌 类型六 列二元一次方程组解决 增长率问题 6 某工厂去年的利润 总产值 总支 出 为 200 万元 今年总产值比去年增加了 20 总支出比去 年减少了 10 今年的利润为 780 万元 去年的总产值 总支 出各是多少万元 变式 10 某城市现有人口 42 万 估计一年后城镇人口增加 0 8 农村人口增加 1 1 这样全市 人口增加 1 求这个城市的城镇人口与农村人口 类型七 列二元一次方程组解决 和差倍分问题 7 2011 年北京丰台区中考一摸试题 爱心 帐篷厂和 温暖 帐篷厂原计划每周生产帐篷共 9 千 顶 现某地震灾区急需帐篷 14 千顶 两厂决定在一周内赶制出 这批帐篷 为此 全体职工加班加点 爱心 帐篷厂和 温暖 帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1 6 倍 1 5 倍 恰好按时完成了这项任务 求在赶制帐篷的一周内 爱心 帐 篷厂和 温暖 帐篷厂各生产帐篷多少千顶 举一反三 变式 11 2011 年北京门头沟区中 考一模试题 地球一小时 是世界自然基金会在 2007 年提出 的一项倡议 号召个人 社区 企业和政府在每年 3 月最后一 个星期六 20 时 30 分 21 时 30 分熄灯一小时 旨在通过一个 人人可为的活动 让全球民众共同携手关注气候变化 倡导低 碳生活 中国内地去年和今年共有 119 个城市参加了此项活动 且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个 问中国内地 去年 今年分别有多少个城市参加了此项活动 类型八 列二元一次方程组解决 数字问题 绝对经典二元一次方程组知识点整理 典型例题练习总结 二元一次方程组应用常见问题总结 第三篇 七年级数学 二元一次方程组 辅导 材料 1 一 知识点总结 1 二元一次方程 含有两个未知数 x 和 y 并且含有 未知数的项的次数都是 1 像这样的整式方程叫做二元一次方 程 它的一般形式是 ax by c a 0 b 0 2 二元一次方程的 解 一般地 能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知 数的值 叫做二元一次方程的解 二元一次方程有无数组解 3 二元一次方程组 含有两个未知数 x 和 y 并且含有未知 数的项的次数都是 1 将这样的两个或几个一次方程合起来组 成的方程组叫做二元一次方程组 4 二元一次方程组的解 二 元一次方程组中的几个方程的公共解 叫做二元一 次方程组的解 二元一次方程组解 的情况 无解 例如 x y 1 x y 6 x y 1 2x 2y 6 x y 1 x y 1 有且只有一组解 例如 2x y 2 有无数组解 例如 2x 2y 2 5 二元一次方程组的解法 代入消元 法和加减消元法 6 三元一次方程组及其解法 方程组 中一共含有三个未知数 含未知数的项的次数都是 1 并且方 程组中一共有两个或两个以上的方程 这样的方程组叫做三元 一次方程组 解三元一次方程组的关键也是 消元 三元 二元 一元 7 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括 为 审 找 列 解 答 五步 1 审 通过审题 把实 际问题抽象成数学问题 分析已知数和未知数 2 设 找 出能够表示题意两个相等关系 并用字母表示其中的两个未知 数 3 列 根据这两个相等关系列出必需的代数式 从而列 出方程组 4 解 解这个方程组 求出两个未知数的值 5 答 在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上 写 出答案 二 典型例题分析 例 1 若方程 x2m 1 5y3n 2 7 是关于 x y 的 二元一次方程 求 m n 的值 例 2 将方程 10 2 3 y 3 2 x 变形 用含有 x 的代数式表示 y 例 3 方程 x 3y 10 在正整数范围内有哪几组解 例 4 若 x 2 是方程组 2x 3m 1 的解 求 m n 的值 y 3 nx my 5 例 5 已知 m 1 xn n 1 ym 1 是关于 x y 的二元一次方程 求 nm 的值 例 6 二元一次方程组 4x 3y 7 的解 kx k 1 y 3x y 的值相等 求 k 例 7 1 用代入消元法解方程组 7x 5y 3 2x y 4 x 5y 6 3x 6y 4 0 2 用加减法解二元一次方程组 4x 3y 0 3x 2y 7 12x 3y 8 2x 3y 9 3 解复杂的二元一次方程组 二元一次方程组应用常见问题总结 提高题 例 8 若关于 X y 的二元一 次方程组 x y 5k x y 9k 的解也是二元一次方程 2x 3y 6 的解 求 k 的值 三 跟踪训练 知识点 1 二元一次方程及其解 1 下列各式是二元一次方程的是 A 6x y 7 B x 1 0 5 y C 4x xy 5 D x2 x 1 0 2 若 x 3 是关于 x y 的二元一次方程 3 y 2x ay 0 的一个 组 解 则 a 的值 为 A 3 B 4 C 4 5 D 6 3 二元一次方程 x 2y 7 在正整数 范围内的解有 A 无数个 B 两个 C 三个 D 四个 4 已知在方程 3x 5y 2 中 若用含 有 x 的代数式表示 y 则 y 用含有 y 的代数式表 示 x 则 x 5 若 m n 5 则 15 m n 知识点 2 二元一次方程组及其解 1 有下列方程组 1 x 3y 0 2 4x 3y 0 x 3y 0 3 4xy 9 m 5 4 n 2 x 1 4x 2y 6 其中说法正确的是 A 只有 3 是二元一次方程组 B 只有 是二元一次方程组 C 只有 是二元一次方程 组 D 只有 不是二元一次方程组 2 下列哪组数是二元一次方程组 x y 3 2x 4 的解 A x 3 B x 1 C x 5 D x 2 y 0 y 2 y 2 y 1 3 若方程组 ax y 1 6x by 2 有无数组解 则 a b 的值 分别为 A a 6 b 1 B a 2 b 1 C a 3 b 2 D a 2b 24 写出一个以 二元一次 方程组应用常见问题总结 x 4 为解的二元一次方程组 写出以 y 2 x 1 为解 y 2 的一个二元一次方程 5 已知 x 2 是二元一次方程组 y 1 ax by 7 的解 则 a b 的值为 ax by 16 如果 4x 5y 0 且 x 0 那么 12x 5y 12x 5y 的值是 7 若 3x 2a b 1 y 与 5xya 2b 1 是同类项 则 b a 知识点 3 二元一次方程组的解法 8 选择适当的方法解方程组 2x xy x y 8 3y 11 1 y 2x 1 5x 2 x y 2 y3 3x 4 18 提高题 1 已知关于 x y 的方程组 3x 5y m 2 的解满足 x y 10 求式 2x 3y m 子 m2 2m 1 的值 2 小花在家做家庭作业时 发现练习 册上一道解方程组的题目被墨水污染 3x 2y 表示被污染的内容 她着急地 翻开书后面的答案 这道 5x y 题目的解是 x 2 y 1 聪明的你能够帮她补上 的内容吗 四 当堂检测 七年级数学测试题 一 选择题 每题 3 分 共 33 分 1 下列方程中 是二元一次方程的是 A 3x 2y 4z B 6xy 9 0 C 1x 4y 6 D 4x y 24 2 下列方 程组中 是二元一次方程组的是 A x y 4 B 2a 3b 11 x2 2x 3y 7 5b 4c 6 C 9D x y 8y 2x x2 y 4 3 二元一次方程 5a 11b 21 A 有且只有一解 B 有无数解 C 无解 D 有且只有两解 4 方程 y 1 x 与 3x 2y 5 的公共解是 A x 3 B x 3y 2 yC x 3 4 y 2D x 3 y 2 5 方程组 3x 2y 7 4x y 13 的解是 A x 1 x 3 x y 3 B y 1 C 3 x 1 y 1 D y 3 6 设方程组 ax by 1 的解是 a 3 x 3by 4 x 1 那么 y 1 a b 的值分别为 A 2 3 B 3 2 C 2 3 D 3 2 7 某年级学生共有 246 人 其中男生 人数 y 比女生人数 x 的 2 倍少 2 人 则下面所列的方程组中符 合题意的有 A x y 246B x y 246 2y x 2 2x y C x y 2162 yD x y 246 2x 2 2y x 2 二 填空题 每题 3 分 共 33 分 1 若 x3m 3 2yn 1 5 是二元一次方程 则 m n 2 若 3x 2y 1 2 3x 3y 3 0 则 x y 3 已知 x 2 y 1 是方程组 mx y 3 的解 则 m n x ny 64 如果 a 2 x a 1 3 6 是关于 x 的一元一次方程 那么 a2 1 a 5 班上有男女同学 32 人 女生人数 的一半比男生总数少 10 人 若设男生人数为 x 人 女生人数为 y 人 则可列方程组为 6 如果 2x b 5 y2a 与 4x2ay 2 4b 是同类项 那么 a b 三 用适当的方法解下列方程 4m 2n 5 0 1 x 1y 1 3n 4m 6 23 13 x y 2 3 3x 5y 19 x y 9 8x 3y 67 2 x 3 y2 6 四 本题 6 分 某厂买进甲 乙两种 材料共 56 吨 用去 9860 元 若甲种材料每 吨 190 元 乙种材料每吨 160 元 则 两种材料各买多少吨 五 某工厂与 A B 两地有公路 铁路 相连 这家工厂从 A 地购买一批原料运回工厂 制成新产品再 运到 B 地 公路运价为 1 5 元 吨 千米 铁路运价为 1 元 吨 千米 A 地到工厂有公路 20 千米 铁路 150 千米 从 工厂到 B 地有公路 30 千米 铁路 120 千米 若这两次运输共支 出公路运费 6600 元 铁路运费 24600 元 原料费为每吨 1000 元 新产品每吨 2000 元 则该工厂这批产品获得利润多少元 二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总 二元一次方程组应用常见问题总结 第四篇 二元一次方程组知识点归纳及解题技 巧汇总 把两个一次方程联立在一起 那么这 两个方程就组成了一个二元一次方程组 有几个方程组成的一组方程叫做方程 组 如果方程组中含有两个未知数 且含未知数的项的次数都 是一次 那么这样的方程组叫做二元一次方程组 二元一次方程定义 一个含有两个未 知数 并且未知数的都指数是 1 的整式方程 叫二元一次方程 二元一次方程组定义 两个结合在一起的共含有两个未知数 的一次方程 叫二元一次方程组 二元一次方程的解 使二元一次方程 两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程的解 二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个公共解 叫做二 元一次方程组的解 一般解法 消元 将方程组中的未知 数个数由多化少 逐一解决 消元的方法有两种 代入消元法 例 解方程组 x y 5 6x 13y 89 解 由 得 x 5 y 把 带 入 得 6 5 y 13y 89 y 59 7 把 y 59 7 带入 x 5 59 7 即 x 24 7 x 24 7 y 59 7 为方程组的解 我们把这种通过 代入 消去一个未 知数 从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法 简称代入 法 加减消元法 例 解方程组 x y 9 x y 5 解 2x 14 即 x 7 把 x 7 带入 得 7 y 9 解得 y 2 x 7 y 2 为方程组的解 像这种解二元一次方程组的方法叫做 加减消元法 简称加减法 二元一次方程组的解有三种情况 1 有一组解 如方程组 x y 5 6x 13y 89 x 24 7 y 59 7 为方程组的解 2 有无数组解 如方程组 x y 6 2x 2y 12 因为这两个方程实际上是一个方程 亦称作 方 程有两个相等的实数根 所以此类方程组有无数组解 3 无解 如方程组 x y 4 2x 2y 10 因为方程 化简后为 x y 5 这与方程 相矛盾 所以此类方程组无解 注意 用加减法或者用代入消元法解 决问题时 应注意用哪种方法简单 避免计算麻烦或导致计算错误 教科书中没有的几种解法 一 加减 代入混合使用的方法 例 1 13x 14y 41 1 14x 13y 40 2 解 2 1 得 x y 1 x y 1 3 把 3 代入 1 得 13 y 1 14y 41 13y 13 14y 41 27y 54 y 2 把 y 2 代入 3 得 x 1 所以 x 1 y 2 特点 两方程相加减 单个 x 或单个 y 这 样就适用接下来的代入消元 二 换元法 例 2 x 5 y 4 8 x 5 y 4 4 令 x 5 m y 4 n 原方程可写为 m n 8 m n 4 解得 m 6 n 2 所以 x 5 6 y 4 2 所以 x 1 y 6 特点 两方程中都含有相同的代数式 如题中的 x 5 y 4 之类 换元后可简化方程也是主要原因 三 另类换元 例 3 x y 1 4 5x 6y 29 令 x t y 4t 方程 2 可写为 5t 6 4t 29 29t 29 t 1 所以 x 1 y 4 二元一次方程组的解 一般地 使二元一次方程组的两个方 程左 右两边的值都相等的两个未知数的值 叫做二元一次方 程组的解 求方程组的解的过程 叫做解方程组 一般来说 二元一次方程组只有唯一 的一个解 注意 二元一次方程组不一定都是由 两个二元一次方程合在一起组成的 也可以由一个或多个二 元一次方程单独组成 重点 一元一次 一元二次方程 二元一次方程组的解法 方程的有关应用题 特别是行程 工程 问题 内容提要 一 基本概念 1 方程 方程的解 根 方程组的解 解方程 组 2 分类 二 解方程的依据 等式性质 1 a b a c b c 2 a b ac bc c 0 三 解法 1 一元一次方程的解法 去分母 去 括号 移项 合并同类项 系数化成 1 解 2 二元一次方程组的解法 基本 思想 消元 方法 代入法 加减法 四 一元二次方程 1 定义及一般 形式 2 解法 直接开平方法 注意特征 配方法 注意步骤 推倒求根公式 公式法 因式分解法 特征 左边 0 3 根的判别式 4 根与系数顶的关 系 逆定理 若 则以 为根的一元二次方程是 5 常用等式 五 可化为一元二次方程的方程 1 分式方程 2 无理方程 3 简单的二元二次方程组 由一个二 元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用 代入法解 六 列方程 组 解应用题 一概述 列方程 组 解应用题是中 学数学联系实际的一个重要方面 其具体步骤是 1 审题 理解题 意 弄清问题中已知量是什么 未知量是什么 问题给出和涉 及的相等关系是什么 设元 未知数 直接未知数 间 接未知数 往往二者兼用 一般来说 未知数越多 方程越易 列 但越难解 用含未知数的代数式表示相关的量 寻找相等关系 有的由题目给出 有的由该问题所涉及的 等量关系给出 列方程 一般地 未知数个数与方程个数是相 同的 解方程及检验 答案 综上所述 列方程 组 解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题 设元 列方程 在由数学问题的解决而导致实际问题的解决 列方程 写出答案 在这个过程中 列方程起着承前启后的作用 因此 列方程是解应用题的关键 二常用的相等关系 1 行程问题 匀速运动 基本关 系 s vt 相遇问题 同时出发 追及问题 水中航行 2 配料问题 溶质 溶液 浓度 溶液 溶质 溶剂 3 增长率问题 4 工程问题 基本关系 工作量 工 作效率 工作时间 常把工作量看着单位 1 5 几何问题 常用勾股定理 几何体 的面积 体积公式 相似形及有关比例性质等 三注意语言与解析式的互化 如 多 少 增加了 增加为 到 同时 扩大为 到 扩大了 又如 一个三位数 百位数字为 a 十位 数字为 b 个位数字为 c 则这个三位数为 100a 10b c 而不 是 abc 四注意从语言叙述中写出相等关系 如 x 比 y 大 3 则 x y 3 或 x y 3 或 x 3 y 又如 x 与 y 的差 为 3 则 x y 3 五注意单位换算 如 小时 分钟 的换算 s v t 单 位的一致等 用二元一次方程组解决问题例题 二元一次方程组应用常见问题总结 第五篇 用二元一次方程组解决问题例题 目标认知 学习目标 1 能够借助二元一次方程组解决简单 的实际问题 再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作 用 2 进一步使用代数中的方程去反映现 实世界中等量关系 体会代数方法的优越性 3 体会列方程组比列一元一次方程容 易 4 进一步培养化实际问题为数学问题 的能力和分析问题 解决问题的能力 5 掌握列方程组解应用题的一般步骤 重点 1 经历和体验用二元一次方程组解决 实际问题的过程 2 进一步体会方程 组 是刻画现实 世界的有效数学模型 难点 正确找出问题中的两个等量关 系 知识要点梳理 知识点一 列方程组解应用题的基本 思想 列方程组解应用题是把 未知 转化 为 已知 的重要方法 它的关键是把已知量和未知量联系起 来 找出题目中的相等关系 一般来说 有几个未知数就列出 几个方程 所列方程必须满足 1 方程两边表示的是同类量 2 同类量的单位要统一 3 方程两边的数值要相等 知识点二 列方程组解应用题中常用 的基本等量关系 1 行程问题 1 追击问题 追击问题是行程问题中 很重要的一种 它的特点是同向而行 这类问题比较直观 画 线段 用图便于理解与分析 其等量关系式是 两者的行程差 开 始时两者相距的路程 2 相遇问题 相遇问题也是行程问题中 很重要的一种 它的特点是相向而行 这类问题也比较直观 因而也画线段图帮助理解与分析 这类问题的等量关系是 双 方所走的路程之和 总路程 3 航行问题 船在静水中的速度 水速 船的顺水速度 船在静水中的速度 水速 船的逆 水速度 船的顺水速度 船的逆水速度 2 水速 注意 飞机航行问题同样会出现顺风 航行和逆风航行 解题方法与船顺水航行 逆水航行问题类似 2 工程问题 工作效率 工作时间 工作量 3 商品销售利润问题 1 利润 售价 成本 进价 2 4 标价 成本 进价 1 利润率 5 实 际售价 标价 打折率 3 利润 成本 进价 利润率 注意 商品利润 售价 成本 中 的右边为正时 是盈利 为负时 就是亏损 打几折就是按标 价的 十分之几或百分之几十销售 例如八 折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十 4 储蓄问题 1 基本概念 本金 顾客存入银行的钱叫做本金 利息 银行付给顾客的酬金叫做利息 本息和 本金与利息的和叫做本息 和 期数 存入银行的时间叫做期数 利率 每个期数内的利息与本金的 比叫做利率 利息税 利息的税款叫做利息税 2 基本关系式 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 本金 本金 利率 期数 本金 1 利率 期数 利息税 利息 利息税率 本金 利率 期数 利息税率 税后利息 利息 1 利息税率 年利率 月利率 12 注意 免税利息 利息 5 配套问题 解这类问题的基本等量关系是 总量 各部分之间的比例 每一套各部分之间的比例 6 增长率问题 解这类问题的基本等量关系式是 原 量 1 增长率 增长后的量 原量 1 减少率 减少后的量 7 和差倍分问题 解这类问题的基本等量关系是 较大 量 较小量 多余量 总量 倍数 倍量 8 数字问题 解决这类问题 首先要正确掌握自然 数 奇数 偶数等有关概念 特征及其表示 如当 n 为整数时 奇数可表示为 2n 1 或 2n 1 偶数可表示为 2n 等 有关两位数 的基本等量关系式为 两位数 十位数字 10 个位数字 9 浓度问题 溶液质量 浓度 溶质 质量 10 几何问题 解决这类问题的基本 关系式有关几何图形的性质 周长 面积等计算公式 11 年龄问题 解决这类问题的关键 是抓住两人年龄的增长数是相等 两人的年龄差是永远不会变 的 12 优化方案问题 在解决问题时 常常需合理安排 需 要从几种方案中 选择最佳方案 如网络的使用 到不同旅行 社购票等 一般都要运用方程解答 得出最佳方案 注意 方案选择题的题目较长 有时 方案不止一种 阅读时应抓住重点 比较几种方案得出最佳方案 知识点三 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 列二元一次方程组解应用题的一般步 骤可概括为 审 设 找 列 解 检 答 七步 即 1 审 通过审题 把实际问题抽象 成数学问题 分析已知数和未知数 2 设 根据题意设元 3 找 找出能够表示题意两个相等 关系 4 列 根据这两个相等关系列出必 需的代数式 从而列出方程组 5 解 解这个方程组 求出两个未 知数的值 6 检 检查所求的解是否符合实际 问题 7 答 在对求出的方程的解做出是 否合理判断的基础上 写出答案 要点诠释 1 解实际应用问题必须写 答 而且 在写答案前要根据应用题的实际意义 检查求得的结果是否合 理 不符合题意的解应该舍去 2 设 答 两步 都要写清单位 名称 3 一般来说 设几个未知数就应该列 出几个方程并组成方程组 解答步骤简记为 问题 4 列方程组 解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系 审题时 注意从文字 图表中获得有关信息 注意用方 程组解应用题的过程中单位的书写 设未知数和写答案都要带 单位 列 方程组与解方程组时 不要带单位 正确书写速度 单位 避免与路程单位混淆 在寻找等量关系时 应注意挖 掘隐含的条件 列方程组解应用题一定要注意检验 方程组解答 经典例题透析 类型一 列二元一次方程组解决 行程问题 1 甲 乙两地相距 160 千米 一辆汽 车和一辆拖拉机同时由甲 乙两地相向而行 1 小时 20 分相遇 相遇后 拖拉机继续前进 汽车在相遇处停留 1 小时后调转车 头原速返回 在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机 这时 汽车 拖拉机各自行驶了多少千米 思路点拨 画直线型示意图理解题意 1 这里有两个未知数 汽车的行程 拖拉机的行程 2 有两个等量关系 相向而行 汽车行驶小时的路程 拖拉机行驶小时的路程 160 千米 同向而行 汽车行驶小时的路程 拖拉机行驶小时的路程 解 设汽车的速度为每小时行千米 拖拉机的速度为每小时千米 根据题意 列方程组 解这个方程组 得 答 汽车行驶了 165 千米 拖拉机行 驶了 85 千米 总结升华 根据题意画出示意图 再 根据路程 时间和速度的关系找出等量关系 是行程问题的常 用的解决策略 2 在某条高速公路上依次排列着 A B C 三个加油站 A 到 B 的距离为 120 千米 B 到 C 的距离 也是 120 千米 分别在 A C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团 伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场 正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度 分别往 A C 两个加油站驶去 结果往 B 站驶来的团伙在 1 小 时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住 而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上 问巡逻车和犯罪团伙的车 的速度各是多少 分析 设巡逻车 犯罪团伙的车的 速度分别为 x y 千米 时 则 3 x y 120 x y 120 整理得 x y 40 x y 120 解得 x 80 y 40 因此 巡逻车的速度是 80 千米 时 犯罪团伙的车的速度是 40 千米 时 点评 相向而遇 和 同向追及 是行程问题中最常见的两种题型 在这两种题型中都存在着一 个相等关系 这个关系涉及到两者的速度 原来的距离以及行 走的时间 具体表现在 相向而遇 时 两者所走的路程之 和等于它们原来的距离 同向追及 时 快者所走的路程减 去慢者所走的路程等于它们原来的距离 举一反三 变式 1 甲 乙两人相距 36 千米 相向而行 如果甲比乙先走 2 小时 那么他们在乙出发 2 5 小 时后相遇 如果乙比甲先走 2 小时 那么他们在甲出发 3 小时 后相遇 甲 乙两人每小时各走多少千米 解 设甲 乙两 人每小时分别行走千米 千米 根据题意可得 解得 答 甲每小时走 6 千米 乙每小时走 3 6 千米 变式 2 两地相距 280 千米 一艘 船在其间航行 顺流用 14 小时 逆流用 20 小时 求船在静水 中的速度和水流速度 分析 船顺流速度 静水中的速度 水速 船逆流速度 静水中的速度 水速 解 设船在静水中的速度为 x 千米 时 水速为 y 千米 时 则 解得 答 船在静水中的速度为 17 千米 时 水速 3 千米 时 跟踪训练 1 甲 乙两人在东西方向的公路上 行走 甲在乙的西边 300 米 若甲 乙两人同时向东走 30 分钟 后 甲正好追上乙 若甲 乙两人同时相向而行 2 分钟后相 遇 问甲 乙两人的速度是多少 甲乙两人以不变的速度在环形路上跑 步 相向而行每隔两分钟相遇一次 同向而行 每隔 6 分相遇 一次 已知甲比乙跑的快 求甲乙每分钟跑多少圈 类型二 列二元一次方程组解决 工程问题 1 一批机器零件共 840 个 如果甲先 做 4 天 乙加入合做 那么再做 8 天才能完成 如果乙先做 4 天 甲加入合做 那么再做 9 天才能完成 问两人每天各做多 少个机器零件 分析 由题意得甲做 12 天 乙做 8 天 能够完成任务 而甲做 9 天 乙做 13 天也能完成任务 由此关 系我们可列方程组求解 设甲每天做 x 个机器零件 乙每天做 y 个机器零件 根据题意 得 4 8 x 8y 840 9x 4 9 y 840 解得 x 50 y 30 答 甲每天做 50 个机器零件 乙每天 做 30 个机器零件 2 某服装厂接到生产一种工作服的订 货任务 要求在规定期限内完成 按照这个服装厂原来的生产 2015二元一次方程组与一次函数教学反思 二元一次方程组应用常见问题总结 第六篇 反思一 二元一次方程组与一次函数教学反思 上完课后失败感比较强 失败感也比平平淡淡的价值大 下 面总结一下有何失误 本节教学内容是 一次函数与一元二次方程 组 一个二 元一次方程对应一个一次函数 一般地一个二元一次方程组对 应两个一次函数 因而也对应两条直线 如果一个二元一次方 程组有唯一的解 那么这个解就是方程组对应的两条直线的交 点的坐标 本节的图象解依据了这个道理 因此本节需要迅速 画出图象 利用图象解决问题 而我的失误也主要发生在画图 象上 在喧闹声刚刚平息后在九班开始了这节课 课堂需要的 课件无法用内网传递 我只得让学生自己先看书 借机我跑到 一楼用软盘把课件拷过来 或许这节课的例题更适合学生独立 学习 我对学生疑难处加以点拨 这样学生的主动性会调动起 来 昨天看的文章了说注重学生的想法 体会 给学生以充分 思考的时间 不过我担心学生的基础参差不齐 还是以我讲授 为主 讲后学生进行训练 在讲的过程中犯了一个画图错误 2X Y 1 化成了 Y 2X 1 并用几何画板作出了图象 这种低级错 误竟然我没有看出来 后来学生给我指出来了 有的学生看到 老师出错了 低着头嘀嘀咕咕 我对着电脑是否重新画呢 时 间不多了然后转入了例 3 的讲解 一个小小的笔误 虽然不是知识性的错误 不能反映老师的 教学水平低下 但这种粗心造成的错误在学生的记忆中留下不 光彩的一页 看到个别学生眼中不屑的表情 我忍了忍心里的 怒火 不能在课堂上训斥他们 错是自己酿成的 以后一定注 意课堂的细节 借机课下我要强化对学生的细节教育 不要在 做题过程中出现我所犯的低级错误 关注细节 完善课堂和各个环节 不留遗憾 提高质量 反思二 二元一次方程组与一次函数教学反思 事物之间是存在普遍联系的 研究二元一次方程组与一次函 数之间的关系应证了辨证唯物主义的这一观点 同时利用二元 一次方程组解决一次函数问题也是初中阶段数学学习的一个重 要内容 教材通过引例对图像方法与代数方法的比较 使学生了 解解决应用问题的策略和方法是多样性的 同时也使学生理解 图像方法与代数方法在解决具体问题中各自的优劣 从而对方 法作出正确的选择 通过一个具体的例子 让学生掌握用二元 一次方程组解决一次函数问题的一般步骤与方法 1 突出重点 突破难点的策略 本节课主要要求学生能够利用二元一次方程组解决一次函数 的解析式问题 根据一次函数解析式进一步解决相关的一些问 题 关于这方面的练习 以老师的讲解为主 在此基础上 还 要让学生动手 动脑去解决问题 在技能上作出强化 在内容上 要让学生进一步理解它们之间的联系的同时 要让学生理解为 什么要用二元一次方程组去求解一次函数的解析式的必要性 从而掌握本堂课的基础知识 在教学的过程中 要让学生充分 理解图像方法和代数方法解决问题的优点和缺点 在这个基础 上 学生掌握用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题才 会有着坚实的理论基础 有关这一方面的题目要让学生充分讨 论 其理解才会深刻 同时要以这一部分的知识为载体 让学 生理解解决问题方法的多样性的 结合函数的图像 进一步理 解数形结合的思想在数学学习中的重要性 2 评价方式 根据新课标的评价理念 教师在课堂教学中应尊重学生的个 体差异 满足多样化的学习需要 鼓励探索方式 表述方式和 解题方法的多样化 在教学活动中教师关注的是学生的参与程度 和表现出来的思维水平 关注的是学生对问题的理解水平和解 决过程中的表述水平 关注的是学生对基本知识技能的掌握情 况和应用二元一次方程组解决一次函数的解析式的相关问题的 提高 教学中通过学生对做一做的探究情况和学生对反馈练习的 完成情况分析学生的认识状况和解决问题的意识和能力水平 对 于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励 帮助学生认识自 我 建立自信 发挥评价的教育功能 反思三 二元一次方程组与一次函数教学反思 今天2015 年 12 月 8 日我们在保中进行了第九次的流动学院 的学习活动 在本次活动中是由保中的陈小妹老师和琼中思源 的简雪峰老师上的课 课题是 一次函数与二元一次方程组 在这两位老师的课堂上 我感受很深 陈老师的课是以现代多 媒体教学的形式 课堂教学目标明确 重点难点突出 教学设 计连接比较好 但是 在整堂课上老师在学生练习的时候巡视 的比较少 对于有困难的学生没有及时的进行辅导 其次是在 评价学生的问题上也比较少 而简老师的课是以传统的模式进 行教学 采用的是