指数函数、对数函数、幂函数增长比较.ppt

指数函数 幂函数对数函数增长的比较 第一课时 一粒米的故事 从前 有一个国王特别喜爱一项称为 国际象棋 的游戏 于是他决定奖赏国际象棋的发明者 满足他的一个心愿 陛下 我深感荣幸 我的愿望是你赏我几粒米 发明者说 只是几粒米 国王回答说 是的 只要在棋盘的第一格放上一粒米 在第二格放上两粒米 在第三个加倍放上四粒米 以此类推 每一格均是前一格的两倍 直到放慢棋盘为止 这就是我的愿望 国王很高兴 如此廉价便可以换的如此好的游戏 我的祖辈们一定是恩泽于我了 国王想 于是国王大声地说 好 把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议 思考 国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗 如果一个函数 底数是自变量x 指数是常数 1 幂函数 这样的函数称为幂函数 即 在第一象限内 当a 0时 图象随x增大而上升当a 0时 图象随x增大而下降 4 3 2 1 1 2 3 4 6 4 2 2 4 6 y x 1 y x 1 2 y x 3 y x 2 y x 4 2 2 4 2 4 1 1 1 1 1 1 幂函数的图像 0 过点 1 0 即当x 1时 y 0 增 减 3 对数函数y logax a 0 且a 1 当a 1时 指数函数y ax是增函数 并且对于x 0 当a越大时 其函数值的增长就越快 指数函数 当a 1时 对数函数y logax是增函数 并且对于x 1 当a越小时 其函数值的增长就越快 对数函数 当x 0 n 1时 幂函数y xn是增函数 并且对于x 1 当n越大时 其函数值的增长就越快 幂函数 比较函数y 2x y x2 y log2x图像增长快慢 思考 对于上述三种增加的函数 它们的函数值的增长快慢有何差别呢 对数函数y log2x增长最慢幂函数y x2和指数函数y 2x快慢则交替进行在 0 2 幂函数比指数函数增长快在 4 指数函数比幂函数增长快 借助计算器完成右表 对函数y 2x y x100 x 0 y log2x的函数值 取近似值 比较 利用上表完成右表 对函数y 2x y x100 x 0 y log2x的函数值 取近似值 比较 1 随着x的值越大 y log2x的函数值增长的越来越慢 y 2x和y x100的函数值增长的越来越快y log2x增长比y 2x和y x100要慢的多 2 对函数y 2x和y x100而言在x比较小时 会存在y x100比y 2x的增长快的情况 当x比较大时 y 2x比y x100增长得更快 在区间 0 上 当a 1 n 0时 当x足够大时 随着x的增大 y ax的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn的增长速度 而y logax的增长速度则越来越慢 因此 总会存在一个x0 使得当x x0时 一定有ax xn logax 指数函数 幂函数 对数函数增长的比较 指数函数值长非常快 因而常称这种现象为 指数爆炸 现在回答下 国王能满足他吗 例1 假设你有一笔资金用于投资 现有三种投资方案供你选择 这三种方案的回报如下 方案一 每天回报40元 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一番 请问 你会选择哪种投资方案 令第x天 回报为y元方案一 y 40方案二 y 10 x x N 方案三 y 2x 1 0 4 x N 分析 投资7天以下选方案一投资7 8天以下选方案二投资8天以上选方案三 例2 0 32 log20 3 20 3这三个数之间大小关系是 A 0 32 20 3 log20 3 B 0 32 log20 3 20 3 C log