第十一章 一次函数教案(人教版)

1 一次函数 11 1 变量与函数 教学目的 1 了解常量与变量的意义 能分清实例中的常量与变量 2 了解自变量与函数的意义 能列举函数的实例 并能写出简单的函数关系式 3 培养学生观察 分析 抽象 概括的能力 4 对学生进行相互联系 绝对与相对 运动变化的辩证唯物主义观点的教育和爱 国 爱党 爱人民的教育 教学直点 函数概念的形成过程 教学难点 理解函数概念 教具 多媒体 教学过程 一 创设情境 首先请同学们看一组境头 微机播放今夏抗洪片段 唤起学生对今夏洪水的回 忆 对学生渗透爱国 爱党 爱人民的教育 二 形成概念 一 变量与常量概念的形成过程 1 举例 归纳 引例 1 沙市今夏 7 8 两个月的水位图 微机示图 学生观察水位随时间变化的情况 微机示意 引出 变量 引例 2 汽车在公路上匀速行驶 微机示意 学生观察汽车匀速行驶的过程 加深对变量的认 识 引出 常量 设问 一个量变化 具体地说是它的什么在变 什么不变呢 微机显示 下方 汽车匀速行驶 上方 S 的值随 t 的值变化而变化 引导学生观察发现 是量的数值变与不变 归纳变量与常量的定义并板书 2 剖析概念 常量与变量必须存在于一个变化过程中 判断一个量是常量还是变量 需着两个 方面 看它是否在一个变化的过程中 看它在这个变化过程中的取植情况 3 巩固概念 练习一 1 向平静的湖面投一石子 便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆 微机示意 在这个变化过程中 有哪些变量 若面积用 S 半径用 R 表示 则 S 和 R 的关 系是什么 是常量还是变量 若周长用 C 半径用 R 表示 C 与 R 的关系式是 什么 2 见课本第 5 页练习 学生回答后指出 常量与变量不是绝对的 而是对于一个变化过程而言的 二 自变量与函数概念的形成过程 1 举例 归纳 微机一屏显示两个引例 学生再次观察引例 1 2 两个变化过程 寻找共同之处 2 一个变化过程 两个变量 一个量随另一个量的变化而变化 若两个量满足上述三个条件 就说这两个量具有函数关系 引出课题并板书 设问 上述第三条是形象描述两个变量的关系 具体地说是什么意思 以引例 2 说明 微机示意 设问 在 S 30t 中 当 t 0 5 时 S 有没有值与它对应 有几个 反复设问 t l 1 5 2 3 时呢 引导学生观察发现 对于变量 t 的每一个值 变量 S 都有唯一的值与它对应 所以两 个变量的关系又可叙述为 对于一个变量的每一个值 另一个变量都有唯一的值与它 对应 即一种对应关系 微机出示 在 s 30t 中 s 与 t 具有这种对应关系 就说 t 是自变量 S 是 t 的函数 引出 自变量 函数 归纳自变量与函数的定义并板书 2 剖析概念 理解函数概念把握三点 一个变化过程 两个变量 一种对应关系 判断 两个量是否具有函数关系也以这三点为依据 3 巩固概念 练习二 l 某地某天气温如图 微机示图 气温与时间具有函数关系吗 学生回答后指出这里函数关系是用图象给出的 2 宜昌市某旅游公司近几年接待游客人数如表 微机示表 游客人数与时间具 有函数关系吗 学生回答后指出这里函数关系是用表格给出的 3 在 S d 中 S 与 R 具有函数关系吗 C Z R 中 C 与 R 呢 微机显示变 化过程 学生回答后指出这里函数关系是用数学式子结出的 4 师生共同列举函数关系的例子 三 例题示范 微机出示例 1 并演示篱笆围成矩形的过程 指导 1 篱笆的长等于矩形的周长 2 S 与 1 的关系式 即用 1 的代数式表示 S 3 表示矩形的面积 需先表示矩形一组邻边的长 解题过程略 变式练习 用 60m 的篱笆围成矩形 使矩形一边靠墙 另三边用篱笆围成 微机示意 1 写出矩形面积 s m 与平行于墙的一边长 l m 的关系式 2 写出矩形面积 s m 与垂直于墙的一边长 l m 的关系式 并指出两式中的 常量与变量 函数与自变量 四 反馈练习 微机示题 五 归纳小结 1 四个概念 常量与变量 函数与自变量 2 两个注意 判断常量与变量看两个方面 理解函数概念把握三点 六 布置作业 1 必做题 课本第 18 页 习题 1 2 思考题 3 在 y 2x l 中 y 是 x 的函数吗 x 中 y 是 X 的函数吗 引例 2 的 s 30t 中 t 可以取不同的数值 但 t 可以取任意数值吗 六 板书设计 常量与变量 函数与自变量 例题 课后追记 写出函数关系式 要符合要求 11 1 2 函数 教学目的 1 了解常量与变量的意义 能分清实例中的常量与变量 2 了解自变量与函数的意义 能列举函数的实例 并能写出简单的函数关系式 3 培养学生观察 分析 抽象 概括的能力 4 对学生进行相互联系 绝对与相对 运动变化的辩证唯物主义观点的教育和爱 国 爱党 爱人民的教育 教学直点 函数概念的形成过程 教学难点 理解函数概念 教具 多媒体 教学过程 一 创设情境 首先请同学们看一组境头 微机播放今夏抗洪片段 唤起学生对今夏洪水的回 忆 对学生渗透爱国 爱党 爱人民的教育 二 形成概念 一 变量与常量概念的形成过程 1 举例 归纳 引例 1 沙市今夏 7 8 两个月的水位图 微机示图 学生观察水位随时间变化的情况 微机示意 引出 变量 引例 2 汽车在公路上匀速行驶 微机示意 学生观察汽车匀速行驶的过程 加深对变量的认 识 引出 常量 设问 一个量变化 具体地说是它的什么在变 什么不变呢 微机显示 下方 汽车匀速行驶 上方 S 的值随 t 的值变化而变化 引导学生观察发现 是量的数值变与不变 归纳变量与常量的定义并板书 2 剖析概念 常量与变量必须存在于一个变化过程中 判断一个量是常量还是变量 需着两个 方面 看它是否在一个变化的过程中 看它在这个变化过程中的取植情况 3 巩固概念 4 练习一 1 向平静的湖面投一石子 便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆 微机示意 在这个变化过程中 有哪些变量 若面积用 S 半径用 R 表示 则 S 和 R 的关 系是什么 是常量还是变量 若周长用 C 半径用 R 表示 C 与 R 的关系式是 什么 2 见课本第 9 页练习 学生回答后指出 常量与变量不是绝对的 而是对于一个变化过程而言的 二 自变量与函数概念的形成过程 1 举例 归纳 微机一屏显示两个引例 学生再次观察引例 1 2 两个变化过程 寻找共同之处 一个变化过程 两个变量 一个量随另一个量的变化而变化 若两个量满足上述三个条件 就说这两个量具有函数关系 引出课题并板书 设问 上述第三条是形象描述两个变量的关系 具体地说是什么意思 以引例 2 说明 微机示意 设问 在 S 30t 中 当 t 0 5 时 S 有没有值与它对应 有几个 反复设问 t l 1 5 2 3 时呢 引导学生观察发现 对于变量 t 的每一个值 变量 S 都有唯一的值与它对应 所以两 个变量的关系又可叙述为 对于一个变量的每一个值 另一个变量都有唯一的值与它 对应 即一种对应关系 微机出示 在 s 30t 中 s 与 t 具有这种对应关系 就说 t 是自变量 S 是 t 的函数 引出 自变量 函数 归纳自变量与函数的定义并板书 2 剖析概念 理解函数概念把握三点 一个变化过程 两个变量 一种对应关系 判断 两个量是否具有函数关系也以这三点为依据 3 巩固概念 练习二 l 某地某天气温如图 微机示图 气温与时间具有函数关系吗 学生回答后指出这里函数关系是用图象给出的 2 宜昌市某旅游公司近几年接待游客人数如表 微机示表 游客人数与时间具 有函数关系吗 学生回答后指出这里函数关系是用表格给出的 3 在 S d 中 S 与 R 具有函数关系吗 C Z R 中 C 与 R 呢 微机显示变 化过程 学生回答后指出这里函数关系是用数学式子结出的 4 师生共同列举函数关系的例子 三 例题示范 微机出示例 1 并演示篱笆围成矩形的过程 指导 1 篱笆的长等于矩形的周长 2 S 与 1 的关系式 即用 1 的代数式表示 S 3 表示矩形的面积 需先表示矩形一组邻边的长 解题过程略 变式练习 用 60m 的篱笆围成矩形 使矩形一边靠墙 另三边用篱笆围成 微机示意 5 1 写出矩形面积 s m 与平行于墙的一边长 l m 的关系式 2 写出矩形面积 s m 与垂直于墙的一边长 l m 的关系式 并指出两式中的 常量与变量 函数与自变量 四 反馈练习 微机示题 五 归纳小结 1 四个概念 常量与变量 函数与自变量 2 两个注意 判断常量与变量看两个方面 理解函数概念把握三点 六 布置作业 1 必做题 课本第 18 页 2 2 思考题 在 y 2x l 中 y 是 x 的函数吗 x 中 y 是 X 的函数吗 引例 2 的 s 30t 中 t 可以取不同的数值 但 t 可以取任意数值吗 板书设计 常量与变量 函数与自变量 用 60m 的篱笆围成矩形 使矩形一边靠墙 另三边用篱笆围成 微机示意 1 写出矩形面积 s m 与平行于墙的一边长 l m 的关系式 2 写出矩形面积 s m 与垂直于墙的一边长 l m 的关系式 并指出两式中的 常量与变量 函数与自变量 课后追记 注意自变量的取值范围 函数的图象 一 教学目标 一 知道函数图象的意义 二 能画出简单函数的图象 会列表 描点 连线 三 能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值 教学重点和难点 重点 认识函数图象的意义 会对简单的函数列表 描点 连线画出函数图象 难点 对已恬图象能读图 识图 从图象解释函数变化关系 教学过程设计 一 复习 1 什么叫函数 2 什么叫平面直角坐标系 二 新课 我们在前几节课已经知道 函数关系可以用解析式表示 像 y 2x 1 就表示以 x 为自 变量时 y 是 x 的函数 这个函数关系中 y 与 x 的函数 这个函数关系中 y 与 x 的对应关系 我们还可通知在坐标平面内画出图象的方法来表 示 具体做法是 6 第一步 列表 写出自变量 x 与函数值的对应表 先确定 x 的若干个值 然后填入相 应的 y 值 函数式 y 2x 1 自变量 x 2 1012 函数值 y 3 1135 这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法 第二步 描点 对于表中的每一组对应值 以 x 值作为点的横坐标 以对应的 y 值作 为点的纵坐标 便可画出一个点 也就是由表中给出的有序实数对 在直角坐标系中 描出相应的点 第三步连线 按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来 得到的图形 就是函数式 y 2x 1 的图象 例 1在同一直角坐标系中画出下列函数式的图象 y 3x 2 y 3x 2 分析 按照列表 描点 连线三步操作 解 函数式 1 y 3x 自变量 x 2 1012 函数 y630 3 6 函数 2 y 3x 2 自变量 x 2 1012 函数 y852 1 4 三 课堂练习 已知函数式 y 2x 用列表 x 取 2 1 2 1 2 描点 连线的程序 画出它的图象 四 小结 所有这些点的集合 叫做这个函数的图象 用图象来表示函数 y 与自变量 x 对应关系 五 作业 画出下列函数的图象 1 y 4x 1 2 y 4x 1 板书设计 例 1在同一直角坐标系中画出下列函数式的图象 y 3x 2 y 3x 2 分析 按照列表 描点 连线三步操作 课后追记 画函数图像的步骤 函数的图象 二 教学目标 一 知道函数图象的意义 二 能画出简单函数的图象 会列表 描点 连线 三 能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值 7 教学重点和难点 重点 认识函数图象的意义 会对简单的函数列表 描点 连线画出函数图象 难点 对已恬图象能读图 识图 从图象解释函数变化关系 教学过程设计 一 复习 1 在坐标平面内 什么叫点的横坐标 什么叫点的纵坐标 2 如果点 A 的横坐标为 3 纵坐标为 5 请用记号表示 A 3 5 二 新课 函数关系可以用解析式表示 像 y 2x 1 就表示以 x 为自变量时 y 是 x 的函数 这个 函数关系中 y 与 x 的函数 这个函数关系中 y 与 x 的对应关系 我们还可通知在坐 标平面内画出图象的方法来表示 具体做法是 第一步 列表 写出自变量 x 与函数值的对应表 先确定 x 的若干个值 然后填入相 应的 y 值 函数式 y 2x 1 自变量 x 2 1012 函数值 y 3 1135 这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法 第二步 描点 对于表中的每一组对应值 也就是由表中给出的有序实数对 在直角 坐标系中描出相应的点 第三步连线 按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来 得到的图形 就是函数式 y 2x 1 的图象 图 13 24 例 1在直角坐标系中画出下列函数式的图象 y 3x 3 分析 按照列表 描点 连线三步操作 解 函数 3 y 3x 3 自变量 x 2 1012 函数 y30 3 6 9 三 课堂练习 已知函数式 y 2x 用列表 x 取 2 1 2 1 2 描点 连线的程序 画出它的图象 四 小结 所有这些点的集合 叫做这个函数的图象 用图象来表示函数 y 与自变量 x 对应关系 五 作业 矩形的周长是 12cm 设矩形的宽为 x cm 面积为 y cm2 1 以 x 为自变量 y 为 x 的函数 写出函数关系式 并在关系式后面注明 x 的 取值范围 列表 描点 连线画出此函数的图象 板书设计 例 1在直角坐标系中画出下列函数式的图象 8 y 3x 3 分析 按照列表 描点 连线三步操作 课后追记 列函数关系式 要搞清楚变量之间的关系 函数的图象 三 教学目标 知道函数图象的意义 二 能画出简单函数的图象 会列表 描点 连线 三 能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值 教学重点和难点 重点 认识函数图象的意义 会对简单的函数列表 描点 连线画出函数图象 难点 对已恬图象能读图 识图 从图象解释函数变化关系 教学过程设计 复习 在坐标平面内 什么叫点的横坐标 什么叫点的纵坐标 2 如果点 A 的横坐标为 3 纵坐标为 5 请用记号表示 A 3 5 3 请在坐标平面内画出 A 点 二 新课 例某化工厂 1 月到 12 月生产某种产品的统计资料如下 X 月份123456789101112 Y 产品吨数233456665457 在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标 以该月的产值作为点的纵坐标画邮对应的 点 把 12 个点画在同一直角坐标系中 按照月份由小到大的顺序 把每两个点用线段连接起来 解读图象 从图说出几月到几月产量是上升的 下降的或不升不降的 如果从 3 月到 6 月的产量是持逐平稳增长的 请在图上查询 4 月 15 日的产量大约是多 少吨 解 1 2 见图 13 26 产量上升 1 月到 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月逐月上升 10 月 11 月 12 月逐月上 升 产量下降 8 月到 9 月 9 月到 10 月 产量不升不降 2 月到 3 月 6 月到 7 月 7 月到 8 月 过 x 轴上的 4 5 处作 y 轴的平行线 与图象交于点 A 则点 A 的纵坐标约 4 5 所以 4 月 15 日的产量约为 4 5 吨 例二课本第 12 页 三 课堂练习课本第 16 页 2 四 小结 图象法 把自变量 x 作为点的横坐标 对应的函数值 y 作为点的纵坐标 在直角坐 标系内描出对应的点 所有这些点的集合 叫做这个函数的图象 用图象来表示函数 y 与自变量 x 对应关系 五 作业课本第 19 页 7 9 板书设计 例 练习 课后追记 理解图像中个变量之间的关系 函数的图象 四 教学目标 能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值 教学重点和难点 重点 认识函数图象的意义 会对简单的函数列表 描点 连线画出函数图象 难点 对已恬图象能读图 识图 从图象解释函数变化关系 教学过程设计 一 复习 如果已知一个点的坐标 可在坐标平面内画出几个点 反过来 如果坐标平面内的一 个点确定 这个点的坐标有几个 这样的点和坐标的对应关系 叫做什么对应 答 叫做坐标平面内的点与有序实数对一一对应 二 新课 例一矩形的周长是 12cm 设矩形的宽为 x cm 面积为 y cm2 1 以 x 为自变量 y 为 x 的函数 写出函数关系式 并在关系式后面注明 x 的 取值范围 2 列表 描点 连线画出此函数的图象 例二书上第十三页例三 四 小结 这三种表示函数的方法各有优缺点 1 用解析法表示函数关系 优点 简单明了 能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系 并且适合进行 理论分析和推导计算 缺点 在求对应值时 有时要做较复杂的计算 2 用列表表示函数关系 优点 对于表中自变量的每一个值 可以不通过计算 直接把函数值找到 查询时很 方便 缺点 表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出 而且从表中看不出变量间的 对应规律 3 用图象法表示函数关系 优点 形象直观 可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 把抽象的函数 概念形象化 缺点 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 函数的三种基本表示方法 各有各的优点和缺点 因此 要根据不同问题与需要 灵 活地采用不同的方法 在数学或其他科学研究与应用上 有时把这三种方法结合起来 10 使用 即由已知的函数解析式 列出自变量与对应的函数值的表格 再画出它的图象 五 作业课本第 20 页 9 板书设计 例一矩形的周长是 12cm 设矩形的宽为 x cm 面积为 y cm2 1 以 x 为自变量 y 为 x 的函数 写出函数关系式 并在关系式后面注明 x 的 取值范围 2 列表 描点 连线画出此函数的图象 例二书上第十三页例三 课后追记 找出个变量之间的不关系 函数的图象 五 教学目标 能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值 教学重点和难点 重点 认识函数图象的意义 会对简单的函数列表 描点 连线画出函数图象 难点 对已恬图象能读图 识图 从图象解释函数变化关系 教学过程设计 复习 1 什么叫函数 2 什么叫平面直角坐标系 3 在坐标平面内 什么叫点的横坐标 什么叫点的纵坐标 4 如果点 A 的横坐标为 3 纵坐标为 5 请用记号表示 A 3 5 5 请在坐标平面内画出 A 点 6 如果已知一个点的坐标 可在坐标平面内画出几个点 反过来 如果坐标平面内的 一个点确定 这个点的坐标有几个 这样的点和坐标的对应关系 叫做什么对应 答 叫做坐标平面内的点与有序实数对一一对应 新课 课本第 17 页例四 三 课堂练习 课本第 18 页 1 2 小结 到现在 我们已经学过了表示函数关系的方法有三种 11 1 解析式法 用数学式子表示函数的关系 2 列表法 通过列表给出函数 y 与自变量 x 的对应关系 3 图象法 把自变量 x 作为点的横坐标 对应的函数值 y 作为点的纵坐标 在直角 坐标系内描出对应的点 所有这些点的集合 叫做这个函数的图象 用图象来表示函 数 y 与自变量 x 对应关系 用图象法表示函数关系 优点 形象直观 可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 把抽象的函数 概念形象化 缺点 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 函数的三种基本表示方法 各有各的优点和缺点 因此 要根据不同问题与需要 灵 活地采用不同的方法 在数学或其他科学研究与应用上 有时把这三种方法结合起来 使用 即由已知的函数解析式 列出自变量与对应的函数值的表格 再画出它的图象 五 作业 书上第 20 页 12 板书设计 例四 表示函数关系的方法有三种 课后追记 搞清楚题目的要求 函数图象的性质 活动目标 1 利用几何画板的形象性 通过量的变化 验证并进一步研究函数图象的性质 2 利用几何画板的动态性 从变化的几何图形中 寻找不变的几何规律 3 学会作简单函数的图象 并对图象作初步了解 4 通过本节课的教学 把几何画板作为学生认知的工具 从而激发学生学习和探索数 学的兴趣 活动重点 图形的性质和规律的探索 活动难点 几何画板的操作 作函数的图象 活动设施 微机室 有液晶投影仪和大屏幕或大彩电 软件 windows 操作平台 几 何画板 office2000 等 教师准备好的五个画板文件 hstx1 gsp hstx2 gsp hstx3 gsp ymdl1 gsp ymdl2 gsp 活动过程 一 展示活动主题和目标 二 活动过程 操作练习一 12 按下列步骤进行操作 并回答相应的问题 1 打开 c sketch hstx1 gsp 画板文件 2 拖动点 E 和点 F 沿坐标轴运动 或双击按钮 动画 1 同时观看解析式中的 k 和 b 的变化 当 k 0 时 图象经过哪几个象限 当 k0 和 k 0 两种情况下 拖动点 P 沿直线移动 观察 y 随 x 怎 样变化 或双击动画 2 按钮 单击鼠标左键动画停止 要继续动画 再双击动画 2 按钮 4 先在坐标系内作出直线 或直接打开文件 c sketch hstx2 gsp 附 作图步骤 点击 文件 菜单中的 新绘图 命令 用 直尺工具 中的直线工具 在绘图板内画一直线 并用文本工具给直线上的两 个空心点加上标签 A 和 B 用 选择工具 选中直线后 点击 度量 菜单中的 方程 命令 得坐标系和直 线的方程 然后 再进行以下操作 并回答问题 1 用鼠标拖动直线进行平移 k 和 b 中哪个变 哪个不变 2 当直线通过原点时 b 为多少 此时函数又叫什么函数 3 拖动点 A 使直线绕点 B 旋转 观察直线的倾斜程度与 k 之间的关系 操作练习二 1 打开文件 c sketch hstx3 gsp 2 保持 a 不变 分别上下移动 b c 改变 b c 的大小时 抛物线的形状是否变化 上 下移动 a 改变 a 的大小 注意观看抛物线的开口方向与什么有关 张口程度与什么有 关 3 上下移动 c 改变 c 的大小 看抛物线怎样变化 4 分别改变 a b 的大小 看抛物线的对称轴是否发生变化 由 3 和 4 可知 抛物线 的对称轴与什么有关 与什么无关 5 c 保持不变 改变 a b 时 抛抛线总是经过哪一点 6 抛物线与 x 轴交点的个数与 b2 4ac 的符号有什么关系 7 双击显示按钮 再双击动画按钮 观察 y 随 x 怎样变化 8 当 a 0 时 函数的图象是什么 11 2 一次函数 11 2 1 正比例函数 教学目标 1 知道一次函数与正比例函数的意义 2 能写出实际问题中正比例函数与一次函数关系的解析式 3 掌握 从特殊到一般 这种研究问题的方法 教学重点 将实际问题用一次函数表示 教学难点 将实际问题用一次函数表示 13 教学方法 讲解法 三 教学过程 复习提问 1 什么是函数 2 函数有哪几种表示方法 3 举出几个函数的例子 新课讲解 可以选用提问时学生举出的例子 也可以直接采用教科书中的四个函数的例子 然后 让学生观察这些例子 实际上均是一次函数的解析式 y x s 3t 等 观察时 可以按 下列问题引导学生思考 1 这些式子表示的是什么关系 在学生明确这些式子表示函数关系后 可指出 这是 函数 2 这些函数中的自变量是什么 函数是什么 在学生分清后 可指出 式子中等号 左边的 y 与 s 是函数 等号右边是一个代数式 其中的字母 x 与 t 是自变量 3 在这些函数式中 表示函数的自变量的式子 分别是关于自变量的什么式呢 这题牵扯到有关整式的基本概念 表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子 都是关于自变量的一次式 4 x 的一次式的一般形式是什么 结合一元一次方程的有关知识 可以知道 x 的 一次式是 kx b k 0 的形式 由以上的层层设问 最后给出一次函数的定义 一般地 如果 y kx b k b 是常数 k 0 那么 y 叫做 x 的一次函数 对这个定义 要注意 1 x 是变量 k b 是常数 2 k 0 当 k 0 时 式子变形成 y b 的形式 b 是 x 的 0 次式 y b 叫做常数函 数 这点 不一定向学生讲述 由一次函数出发 当常数 b 0 时 一次函数 kx b k 0 就成为 y kx k 是常数 k 0 我们把这样的函数叫正比例函数 在讲述正比例函数时 首先 要注意适当复习小学学过的正比例关系 小学数学 是这样陈述的 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的 两个数的比值 也就是商 一定 这两种量就叫做成正比例的量 它们的关系叫做正比例 关系 写成式子是 一定 需指出 小学因为没有学过负数 实际的例子都是 k 0 的例子 对于正比例函数 k 也为负数 其次 要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系 正比例函数是特 殊的一次函数 小结 一般的 如果 y kx b k b 是常数 k 0 那么 y 叫做 x 的一次函数 14 特别的 当 b 0 时 一次函数 y kx b 就成为 y kx k 是常数 k 0 这时 y 就叫做 x 的正比 例函数 作业 书上第 35 页 1 板书设计 一般的 如果 y kx b k b 是常数 k 0 那么 y 叫做 x 的一次函数 特别的 当 b 0 时 一次函数 y kx b 就成为 y kx k 是常数 k 0 这时 y 就叫做 x 的正比 例函数 课后追记 写出函数关系式 画出函数图像 确定一次函数的表达式 教学目标 一 教学知识点 1 了解两个条件确定一个一次函数 一个条件确定一个正比例函数 2 能由两个条件求出一次函数的表达式 一个条件求出正比例函数的表达式 并解决 有关现实问题 二 能力训练要求 能根据函数的图象确定一次函数的表达式 培养学生的数形结合能力 三 情感与价值观要求 能把实际问题抽象为数字问题 也能把所学知识运用于实际 让学生认识数字与人类 生活的密切联系及对人类历史发展的作用 教学重点 根据所给信息确定一次函数的表达式 教学难点 用一次函数的知识解决有关现实问题 教学方法 启发引导法 教具准备 小黑板 三角板 教学过程 导入新课 师 在上节课中我们学习了一次函数图象的定义 在给定表达式的前提下 我们可 以说出它的有关性质 如果给你有关信息 你能否求出函数的表达式呢 这将是本节 课我们要研究的问题 讲授新课 一 试一试 阅读课文 P 页 想想下面的问题 某物体沿一个斜坡下滑 它的速度 v 米 秒 与其下滑时间 t 秒 的关系 1 写出 v 与 t 之间的关系式 2 下滑 3 秒时物体的速度是多少 分析 要求 v 与 t 之间的关系式 首先应观察图象 确定它是正比例函数的图象 还是 15 一次函数的图象 然后设函数解析式 再把已知的坐标代入解析 式求出待定系数即可 师 请大家先思考解题的思路 然后和同伴进行交流 生 因为函数图象过原点 且是一条直线 所以这是一个正比例函数的图象 设表 达式为 v kt 由图象可知 2 5 在直线上 所以把 t 2 v 5 代入上式求出 k 就可知 v 与 t 的关系式了 解 由题意可知 v 是 t 的正比例函数 设 v kt 2 5 在函数图象上 2k 5 k v 与 t 的关系式为 v t 2 求下滑 3 秒时物体的速度 就是求当 t 等于 3 时的 v 的值 解 当 t 3 时 v 3 7 5 米 秒 二 想一想 师 请大家从这个题的解题经历中 总结一下如果已知函数的图象 怎样求函数的 表达式 大家互相讨论之后再表述出来 生 第一步应根据函数的图象 确定这个函数是正比例函数或是一次函数 第二步设函数的表达式 第三步根据表达式列等式 若是正比例函数 则找一个点的坐标即可 若是一次函数 则需要找两个点的坐标 把这些点的坐标分别代入所设的解析式中 组成关于 k b 的 一个或两个方程 第四步解出 k b 值 第五步把 k b 的值代回到表达式中即可 师 由此可知 确定正比例函数的表达式需要几个条件 确定一次函数的表达式呢 生 确定正比例函数的表达式需要一个条件 确定一次函数的表达式需要两个条 件 三 阅读课文 P 页 尝试分析解答下面例题 例 在弹性限度内 弹簧的长度 y 厘米 是所挂物体的质量 x 千克 的 一次函数 当所挂物体的质量为 1 千克时 弹簧长 15 厘米 当所挂物体的质量为 3 千 克时 弹簧长 16 厘米 写出 y 与 x 之间的关系式 并求出所挂物体的质量为 4 千克时 弹簧的长度 师 请大家先分析一下 这个例题和我们上面讨论的问题有何区别 生 没有画图象 师 在没有图象的情况下 怎样确定是正比例函数还是一次函数呢 生 因为题中已告诉是一次函数 16 师 对 这位同学非常仔细 大家应该向这位同学学习 对所给题目首先要认真审 题 然后再有目标地去解决 下面请大家仿照上面的解题步骤来完成本题 生 解 设 y kx b 根据题意 得 15 k b 16 3k b 由 得 b 15 k 由 得 b 16 3k 15 k 16 3k 即 k 0 5 把 k 0 5 代入 得 k 14 5 所以在弹性限度内 y 0 5x 14 5 当 x 4 时 y 0 5 4 14 5 16 5 厘米 即物体的质量为 4 千克时 弹簧长度为 16 5 厘米 师 大家思考一下 在上面的两个题中 有哪些步骤是相同的 你能否总结出求函 数表达式的步骤 生 它们的相同步骤是第二步到第四步 求函数表达式的步骤有 1 设函数表达式 2 根据已知条件列出有关方程 3 解方程 4 把求出的 k b 值代回到表达式中即可 四 课堂练习 一 随堂练习 P 页例 题目见教材 解 若一次函数 y 2x b 的图象经过点 A 1 1 则 b 3 该图象经过点 B 1 5 和 点 C 0 题目见教材 解 分析直线 l 是一次函数 y kx b 的图象 由图象过 0 2 3 0 两点可知 当 x 0 时 y 2 当 x 3 时 y 0 分别代入 y kx b 中列出两个方程 解法如上面例题 五 课时小结 本节课我们主要学习了根据已知条件 如何求函数的表达式 其步骤如下 1 设函数表达式 2 根据已知条件列出有关 k b 的方程 3 解方程 求 k b 4 把 k b 代回表达式中 写出表达式 六 布置作业 P 页 17 板书设计 如何求函数的表达式 其步骤如下 1 设函数表达式 2 根据已知条件列出有关 k b 的方程 3 解方程 求 k b 4 把 k b 代回表达式中 写出表达式 课后追记 找出要求的三角形 11 2 2 一次函数应用 一 教学目标 1 能写出实际问题中正比例函数与一次函数关系的解析式 2 掌握 从特殊到一般 这种研究问题的方法 教学重点 将实际问题用一次函数表示 教学难点 将实际问题用一次函数表示 教学方法 讲解法 教学过程 一 复习提问 1 什么正比例函数 请举例说明 2 购买单价是 0 4 元的铅笔 总金额 y 元 与铅笔数 n 个 关系式是什么 在上述式子中变量是谁 常量是谁 自变量又是谁 二 讲解 例一 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动 其速度每秒增加 2 米 秒 1 求小球速度 v 米 秒 与时间 t 秒 之间的函数关系式 2 求 3 5 秒时小球的速度 分析 v 与 t 之间是正比例关系 解 1 v 2t 2 t 3 5 时 v 2 3 5 7 米 秒 例二 书上 p28 3 三 课堂练习 P28 1 2 四 小结 一次函数与正比例函数的意义 两者之间的关系 一次函数不一定是正比例函数 而正比例 函数一定是一次函数 会将简单的实际问题用一次函数或正比例函数表示出来 五 作业 P28 3 六 板书设计 18 一次函数与正比例函数的意义 两者之间的关系 一次函数不一定是正比例函数 而正比例 函数一定是一次函数 会将简单的实际问题用一次函数或正比例函数表示出来 课后追记 自变量的取值范围 11 2 2 一次函数应用 二 教学目标 1 会画一次函数图象 2 掌握 从特殊到一般 这种研究问题的方法 教学重点 会画一次函数图象 教学难点 会画一次函数图象 教学方法 讲解法 教学过程 一 复习提问 什么是一次函数 请举例说明 二 讲解 例画出函数 y 6x 与 y 6x 5 的图像 比较上面两个函数的图像的相同点与不同点 填上你观察的结果 这两个函数的图像的形状都是一条直线 并且倾斜程度相同 函 数 y 6x 5 的图像与 y 轴交与点 0 5 即它可以看作由直线 y 6x 向上平移 5 个单 位长度而得到 比较两个函数解析式 是解释为什么 容易得出 一次函数 y kx b 图像的形状是一条直线 我们称它为直线 y kx b 它可以看作由直线 y kx 平移 b 个单位长度而得到 例 2某化工厂 1 月到 12 月生产某种产品的统计资料如下 X 月份123456789101112 Y 产品吨数233456665457 1 在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标 以该月的产值作为点的纵坐标画邮对 应的点 把 12 个点画在同一直角坐标系中 2 按照月份由小到大的顺序 把每两个点用线段连接起来 3 解读图象 从图说出几月到几月产量是上升的 下降的或不升不降的 4 如果从 3 月到 6 月的产量是持逐平稳增长的 请在图上查询 4 月 15 日的产量大 约是多少吨 解 1 2 见图 13 26 3 产量上升 1 月到 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月逐月上升 10 月 11 月 12 月 逐月上升 产量下降 8 月到 9 月 9 月到 10 月 产量不升不降 2 月到 3 月 6 月到 7 月 7 月到 8 月 4 过 x 轴上的 4 5 处作 y 轴的平行线 与图象交于点 A 则点 A 的纵坐标约 4 5 所 19 以 4 月 15 日的产量约为 4 5 吨 练习 p31 1 2 小结 一次函数 y kx b 图像的形状是一条直线 我们称它为直线 y kx b 它可以看作由直线 y kx 平移 b 个单位长度而得到 作业 p35 4 板书设计 一次函数 y kx b 图像的形状是一条直线 我们称它为直线 y kx b 它可以看作由直线 y kx 平移 b 个单位长度而得到 课后追记 正确画出图像 11 2 2 一次函数应用 三 教学目标 1 过两点会画一次函数图象 2 掌握 从特殊到一般 这种研究问题的方法 教学重点 过两点会画一次函数图象 教学难点 过两点会画一次函数图象 教学方法 讲解法 教学过程 一 复习提问 1 什么是一次函数 请举例说明 2 一次函数的图像有什么特点 二 讲解 p31 例四 像这样先设出函数解析式 再根据条件确定解析式中未知的系数 从而具体写出这个 式子的方法 叫待定系数法 练习 p32 1 2 小结 一次函数 y kx b 图像的形状是一条直线 有已知两点的坐标可以画出一次函数的图像 过两点有且只有一条直线 作业 p35 5 板书设计 一次函数 y kx b 图像的形状是一条直线 有已知两点的坐标可以画出一次函数的图像 过两点有且只有一条直线 例四 练习 课后追记 求出函数解析式 20 11 2 2 一次函数应用 四 教学目标 1 会用一次函数解决简单的实际问题 2 掌握 从特殊到一般 这种研究问题的方法 教学重点 会用一次函数解决简单的实际问题 教学难点 会用一次函数解决简单的实际问题 教学方法 讨论法 教学过程 一 复习提问 一次函数 y kx b 图像的形状是一条直线 有已知两点的坐标可以画出一次函数的图像 二 讲解 p32 例五 分析 本体 y 随 x 变化的规律分成两段写出函数关系式是要分成两部分 花函数图像 也要分成两段来画 练习 p34 到现在 我们已经学过了表示函数关系的方法有三种 1 解析式法 用数学式子表示函数的关系 2 列表法 通过列表给出函数 y 与自变量 x 的对应关系 3 图象法 把自变量 x 作为点的横坐标 对应的函数值 y 作为点的纵坐标 在直角 坐标系内描出对应的点 所有这些点的集合 叫做这个函数的图象 用图象来表示函 数 y 与自变量 x 对应关系 小结 这节课你学会了什么 分段函数写出函数关系式是要分成两部分 花函数图像也要分成两段来画 作业 p36 10 板书设计 一次函数 y kx b 图像的形状是一条直线 有已知两点的坐标可以画出一次函数的图像 过两点有且只有一条直线 例 练习 21 课后追记 语言表达要清楚 11 2 2 一次函数应用 五 教学目标 1 会用一次函数解决简单的实际问题 2 掌握 从特殊到一般 这种研究问题的方法 教学重点 会用一次函数解决简单的实际问题 教学难点 会用一次函数解决简单的实际问题 教学方法 讨论法 教学过程 一 复习提问 一次函数 y kx b 图像的形状是一条直线 有已知两点的坐标可以画出一次函数的图像 二 讲解 p33 例六 思考 1 影响总运费的变量有哪些 2 由 A B 城分别运往 C D 乡的肥料量共有几个量 3 这些量之间有什么关系 这三种表示函数的方法各有优缺点 1 用解析法表示函数关系 优点 简单明了 能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系 并且适合进行理论分 析和推导计算 缺点 在求对应值时 有时要做较复杂的计算 2 用列表表示函数关系 优点 对于表中自变量的每一个值 可以不通过计算 直接把函数值找到 查询时很方便 缺点 表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出 而且从表中看不出变量间的对应规 律 3 用图象法表示函数关系 优点 形象直观 可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 把抽象的函数概念形 象化 22 缺点 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 函数的三种基本表示方法 各有各的优点和缺点 因此 要根据不同问题与需要 灵 活地采用不同的方法 在数学或其他科学研究与应用上 有时把这三种方法结合起来 使用 即由已知的函数解析式 列出自变量与对应的函数值的表格 再画出它的图象 三 练习 p35 9 四 小结 这节课你学会了什么 解决含有多个变量的问题时 可以分析这些变量的关系 选取其中某个变量作为自变 量 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数 五 作业 p36 11 六 板书设计 解决含有多个变量的问题时 可以分析这些变量的关系 选取其中某个变量作为自变 量 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数 例 练习 课后追记 要符合实践情况 11 3 1 一次函数与一元一次方程 教学目标 1 会用图象法一元一次方程 2 理解一元一次方程与函数图像之间的关系 教学重点 会用图象法一元一次方程 教学难点 会用图象法一元一次方程 教学方法 讨论法 教学过程 一 复习提问 一次函数 y kx b 图像的形状是一条直线 二 讲解 方程 2x 20 0 函数 y 2x 20 观察思考 二者之间有 什么联系 从数上看 方程 2x 20 0 的解 是函数 y 2x 20 的值为 0 时 对应自变量的值 从形上看 函数 y 2x 20 与 x 轴交点的横坐标即为方程 2x 20 0 的解 关系 23 由于任何一元一次方程都可转化为 kx b 0 k b 为常数 k 0 的形式 所以解 一元一次方程可以转化为 当一次函数值为 0 时 求相应的自变量的值 从图象上看 这相当于已知直线 y kx b 确定它与 x 轴交点的横坐标值 例 1 一个物体现在的速度是 5m s 其速度每秒增加 2m s 再过几秒它的速度为 17m s 用两种方法求解 解法一 设再过 x 秒物体速度为 17m s 由题意可知 2x 5 17 解之得 x 6 解法二 速度 y m s 是时间 x s 的函数 关系式为 y 2x 5 当函数值为 17 时 对应的自变量 x 值可通过 解方程 2x 5 17 得到 x 6 解法三 由 2x 5 17 可变形得到 2x 12 0 从图象上看 直线 y 2x 12 与 x 轴的交点为 6 0 得 x 6 练习 p42 1 小结 本节课从解具体一元一次方程与当自变量 x 为何值时一次函数的值为 0 这两个问题入 手 发现这两个问题实际上是同一个问题 进而得到解方程 kx b 0 与求自变量 x 为何 值时 一次函数 y kx b 值为 0 的关系 并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反 映 作业 p45 1 板书设计 一次函数与一元一次方程 例题 解法一 解法二 解法 三 小结 课后追记 准确画出函数的图像 用函数图像找出方程的解 11 3 1 一次函数与一元一次方程 教学目标 1 会用图象法一元一次方程 2 理解一元一次方程与函数图像之间的关系 教学重点 会用图象法一元一次方程 教学难点 会用图象法一元一次方程 教学方法 讨论法 教学过程 一 复习提问 24 方程 kx b 0 与求自变量 x 为何值时 一次函数 y kx b 值为 0 的关系 二 讲解 例 2 利用图象求方程 6x 3 x 2 的解 并笔算检验 解法一 由图可知直线 y 5x 5 与 x 轴交点为 1 0 故可得 x 1 我们可以把方程 6x 3 x 2 看作函数 y 6x 3 与 y x 2 在何时两函数值相等 即可从两 个函数图象上看出 直线 y 6x 3 与 y x 2 的交点 交点的横坐标即是方程的解 解法二 由图象可以看出直线 y 6x 3 与 y x 2 交于点 1 3 所以 x 1 小结 本节课从解具体一元一次方程与当自变量 x 为何值时一次函数的值为 0 这两个问 题入手 发现这两个问题实际上是同一个问题 进而得到解方程 kx b 0 与求自变量 x 为何值时 一次函数 y kx b 值为 0 的关系 并通过活动确认了这个问题在函数图象上 的反映 经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法 虽然用函数解决方程 问题未必简单 但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用 练习 用不同种方法解下列方程 1 2x 3 x 2 2 x 3 2x 1 补充练习 1 某单位急需用车 但又不准备买车 他们准备和一个体车主或一国有出租 车公司其中一家签让合同 设汽车每月行驶 x 千米 应付给个体车主的月费用是 y1 元 应付给出租车公司的月费用是 y2 元 y1 y2 分别是 x 之间函数关系如下图所示 每月 行驶的路程等于多少时 租两家车的费用相同 是多少元 25 2 42 练习 1 2 课后作业 习题 11 3 2 题 板书设计 一次函数与一元一次方程 例题 解法一 解法二 解法 三 小结 课后追记 准确画出函数的图像 用函数图像找出方程的解 26 11 3 1 一次函数与一元一次方程 教学目标 教学知识点 用函数观点认识一元一次方程 2 用函数的方法解一元一次方程 3 加深理解数形 结合思想 能力训练目标 培养多元思维能力 2 拓宽解题思路 3 加深数形结合思想的认识与应用 情感与价值观要求 经过活动 会从不同方面认识事物本质的方法 2 培养学生实事求是 一分为二的分析 思维习惯 重点 1 函数观点认识一元一次方程 2 应用函数求解一元一次方程 难点 用函数观点认识一元一次方程 教学过程 提出问题 创设情境 我们来看下面两个问题 1 解方程 2 20 0 2 当自变量 为何值时 函数 2 20 的值为 0 这两个问题之间有什么联系吗 揭示课题 板书节名 导入新课 我们先来思考上面提出的两个问题 在问题 1 中 解 方程 2 20 0 得 10 解决问题 2 就是要 考虑当函数 2 20 的值为 0 时 所对应的自变 量 为何值 这可以通过解方程 2 20