第一章空间几何体

空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 第一章第一章 空间几何体空间几何体 本章教材分析本章教材分析 柱体 锥体 台体和球体是简单的几何体 复杂的几何体大都是由这些简单的几何体 组合而成的 有关柱体 锥体 台体和球体的研究是研究比较复杂的几何体的基础 本章研究 空间几何体的结构特征 三视图和直观图 表面积和体积等 运用直观感知 操作确认 度 量计算等方法 认识和探索空间几何图形及其性质 本章中的有关概念 主要采用分析具体实例的共同特点 再抽象其本质属性空间图形 而得到 教学中应充分使用直观模型 必要时要求学生自己制作模型 引导学生直观感知模 型 然后再抽象出有关空间几何体的本质属性 从而形成概念 本章内容是在义务教育阶段学习的基础上展开的 例如 对于棱柱 在义务教育阶段直 观认识正方体 长方体等的基础上 进一步研究了棱柱的结构特征及其体积 表面积 因此 在教材内容安排中 特别注意了与义务教育阶段 空间与图形 相关内容的衔接 值得注意的是在教学中 要坚持循序渐进 逐步渗透空间想象能力面的训练 由于受有 关线面位置关系知识的限制 在讲解空间几何体的结构时 少问为什么 多强调感性认识 要准确把握这方面的要求 防止拔高教学 重视函数与信息技术整合的要求 通过电脑绘制 简单几何体的模型 使学生初步感受到信息技术在学习中的重要作用 为了体现教材的选择性 在 练习题安排上加大了弹性 教师应根据学生的实际 合理地进行取舍 本章教学时间约需 7 课时 具体分配如下 仅供参考 1 1 1柱 锥 台 球的结构特征约 1 课时 1 1 2简单组合体的结构特征约 1 课时 1 2 1中心投影与平行投影 1 2 2空间几何体的三视图 约 1 课时 1 2 3空间几何体的直观图约 1 课时 1 3 1柱体 锥体 台体的表面积与体积约 1 课时 1 3 2球的体积和表面积约 1 课时 本章复习约 1 课时 1 1 空间几何体的结构空间几何体的结构 1 1 1 柱 锥 台 球的结构特征柱 锥 台 球的结构特征 整体设计整体设计 教学分析教学分析 本节教材先展示大量几何体的实物 模型 图片等 让学生感受空间几何体的结构特 征 从整体上认识空间几何体 再深入细节认识 更符合学生的认知规律 值得注意的是 由于没有点 直线 平面的有关知识 所以本节的学习不能建立在严 格的逻辑推理的基础上 这与以往的教材有较大的区别 教师在教学中要充分注意到这一 点 本节教学尽量使用信息技术等手段 向学生展示更多具有典型几何结构特征的空间物体 增强学生的感受 三维目标三维目标 1 掌握柱 锥 台 球的结构特征 学会观察 分析图形 提高空间想象能力和几何直观 能力 2 能够描述现实生活中简单物体的结构 学会建立几何模型研究空间图形 培养数学建模 的思想 重点难点重点难点 教学重点 柱 锥 台 球的结构特征 空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 教学难点 归纳柱 锥 台 球的结构特征 课时安排课时安排 1 课时 教学过程教学过程 导入新课导入新课 思路思路 1 从古至今 各个国家的建筑物都有各自的特色 古有埃及的金字塔 今有各城市大 厦的旋转酒吧 旋转餐厅 还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等 它们都是独具匠心 整体协调的建筑物 是建筑师们集体智慧的结晶 今天我们如何从数学的角度来看待这些建 筑物呢 引出课题 柱 锥 台 球的结构特征 思路思路 2 在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物 你能举出一些例子吗 这些建 筑的几何结构特征如何 引导学生回忆 举例和相互交流 教师对学生的活动及时给予评价 引出课题 柱 锥 台 球的结构特征 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 1 观察下面的图片 请将这些图片中的物体分成两类 并说明分类的标准是什么 图 1 2 你能给出多面体和旋转体的定义吗 活动 活动 让学生分组讨论 根据初中已有的知识 学生很快就能分成两类 对没有思路的学 生 教师予以提示 1 根据围成几何体的面是否都是平面来分类 2 根据围成几何体的面的特点来定义多面体 利用动态的观点来定义旋转体 讨论结果 讨论结果 1 通过观察 可以发现 2 5 7 9 13 14 15 16 具有同样的特点 组成几何体的每个面都是平面图形 并且都是平面多边形 像这样的几何体称为多面体 1 3 4 6 8 10 11 12 具有同样的特点 组成它们的面不全是平 空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 面图形 像这样的几何体称为旋转体 2 多面体 一般地 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 围成多面体的各个多边 形叫做多面体的面 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱 棱与棱的公共点叫做多面体的 顶点 按围成多面体的面数分为 四面体 五面体 六面体 一个多面体最少有 4 个 面 四面体是三棱锥 棱柱 棱锥 棱台均是多面体 旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转 体 这条定直线叫做旋转体的轴 圆柱 圆锥 圆台 球均是旋转体 提出问题提出问题 1 与其他多面体相比 图片中的多面体 5 7 9 具有什么样的共同特征 2 请给出棱柱的定义 3 与其他多面体相比 图片中的多面体 14 15 具有什么样的共同特征 4 请给出棱锥的定义 5 利用同样的方法给出棱台的定义 活动 活动 学生先思考或讨论 如果学生没有思路时 教师再提示 对于 1 3 可根据围成多面体的各个面的关系来分析 对于 2 利用多面体 5 7 9 的共同特征来定义棱柱 对于 4 利用多面体 14 15 的共同特征来定义棱锥 对于 5 利用图片中的多面体 13 16 的共同特征来定义棱台 讨论结果 讨论结果 1 特点是 有两个面平行 其余的面都是平行四边形 像这样的几何体称为棱柱 2 定义 两个平面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互 相平行 由这些面围成的多面体称为棱柱 棱柱中 两个互相平行的面叫做棱柱的底面 其 余各面叫做棱柱的侧面 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱 侧面与底面的公共顶点叫做棱 柱的顶点 表示法 用表示底面各顶点的字母表示棱柱 分类 按底面多边形的边数分为三棱柱 四棱柱 五棱柱 3 其中一个面是多边形 其余各面是三角形 这样的几何体称为棱锥 4 定义 有一面为多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 这些面围成的多面体 叫做棱锥 这个多边形面叫做棱锥的底面或底 有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 表示法 用顶点和底面各顶点的字母表示 分类 按底面多边形的边数分为三棱锥 四棱锥 五棱锥 5 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部分叫做棱台 原棱锥 的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面 其他各面叫做棱台的侧面 相邻侧面的公共边 叫做棱台的侧棱 底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点 表示法 用表示底面各顶点的字母表示棱台 分类 按底面多边形的边数分为三棱台 四棱台 五棱台 提出问题提出问题 1 与其他旋转体相比 图片中的旋转体 1 8 具有什么样的共同特征 2 请给出圆柱的定义 3 其他旋转体相比 图片中的旋转体 3 6 具有什么样的共同特征 4 请给出圆锥的定义 5 类比圆锥和圆柱的定义方法 请给出圆台的定义 6 用同样的方法给出球的定义 空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 讨论结果 讨论结果 1 静态的观点 有两个平行的平面 其他的面是曲面 动态的观点 矩形绕其一边旋转形 成的面围成的旋转体 像这样的旋转体称为圆柱 2 定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴 其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体 叫做圆柱 旋转轴叫做圆柱的轴 垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面 平行 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 圆柱的侧面又称为圆柱面 无论转到什么位置 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 表示 圆柱用表示轴的字母表示 规定 圆柱和棱柱统称为柱体 3 静态的观点 有一平面 其他的面是曲面 动态的观点 直角三角形绕其一直角边旋转 形成的面围成的旋转体 像这样的旋转体称为圆锥 4 定义 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴 其余两边旋转而形成的面所围 成的旋转体叫做圆锥 旋转轴叫做圆锥的轴 垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的 底面 不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面 圆锥的侧面又称为圆锥面 无论转到什么位置 这条边都叫做圆锥侧面的母线 表示 圆锥用表示轴的字母表示 规定 圆锥和棱锥统称为锥体 5 定义 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴 其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫做圆台 还可以看成是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥 截面与底面之 间的部分 旋转轴叫做圆台的轴 垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面 不垂 直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面 无论转到什么位置 这条边都叫做圆台 侧面的母线 表示 圆台用表示轴的字母表示 规定 圆台和棱台统称为台体 6 定义 以半圆的直径所在的直线为旋转轴 将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面 球 面所围成的旋转体称为球体 简称球 半圆的圆心称为球心 连接球面上任意一点与球心的 线段称为球的半径 连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径 表示 用表示球心的字母表示 知识总结 知识总结 1 棱柱 棱锥 棱台的结构特征比较 如下表所示 结构特征棱柱棱锥棱台 定义 两个平面互相平行 其余 各面都是四边形 并且每 相邻两个四边形的公共边 都互相平行 这些面围成 的几何体称为棱柱 有一面为多边形 其 余各面是有一个公共 顶点的三角形 这些 面围成的几何体叫做 棱锥 用一个平行于棱锥底 面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部 分 这样的多面体叫 做棱台 底面两底面是全等的多边形多边形 两底面是相似的多边 形 侧面平行四边形三角形梯形 侧棱平行且相等相交于顶点延长线交于一点 平行于底面的 截面 与两底面是全等的多边形 与底面是相似的多边 形 与两底面是相似的多 边形 过不相邻两侧 棱的截面 平行四边形三角形梯形 空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 2 圆柱 圆锥 圆台 球的结构特征比较 如下表所示 结构特征圆柱圆锥圆台球 定义 以矩形的一边所在 的直线为旋转轴 其余各边旋转而形 成的曲面所围成的 几何体叫做圆柱 以直角三角形 的一条直角边 为旋转轴 其 余各边旋转而 形成的曲面所 围成的几何体 叫做圆锥 以直角梯形垂直于 底边的腰所在的直 线为旋转轴 其余 各边旋转而形成的 曲面所围成的几何 体叫做圆台 以半圆的直径所 在的直线为旋转 轴 将半圆旋转 一周所形成的曲 面称为球面 球 面所围成的几何 体称为球体 简 称球 底面 两底面是平行且半 径相等的圆 圆 两底面是平行但半 径不相等的圆 无 侧面展开 图 矩形扇形扇环不可展开 母线平行且相等相交于顶点延长线交于一点无 平行于底 面的截面 与两底面是平行且 半径相等的圆 平行于底面且 半径不相等的 圆 与两底面是平行且 半径不相等的圆 球的任何截面都 是圆 轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆 3 简单几何体的分类 球 圆台 圆锥 圆柱 旋转体 棱台 棱锥 棱柱 多面体 简单几何体 应用示例应用示例 思路思路 1 例 1 下列几何体是棱柱的有 图 2 A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 活动 活动 判断一个几何体是哪种几何体 一定要紧扣柱 锥 台 球的结构特征 注意定义 空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 中的特殊字眼 切不可马虎大意 棱柱的结构特征有三方面 有两个面互相平行 其余各面是平行四边形 这些平行四边形 面中 每相邻两个面的公共边都互相平行 当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时 这个几何体才是棱柱 很明显 几何体 均不符合 仅有 符合 答案 答案 D 点评 点评 本题主要考查棱柱的结构特征 本题容易错认为几何体 也是棱柱 其原因是忽视了 棱柱必须有两个面平行这个结构特征 避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体 的结构特征放在一起对比 并且和图形对应起来记忆 要做到看到文字叙述就想到图 看 到图形就想到文字叙述 变式训练变式训练 1 下列几个命题中 两个面平行且相似 其余各面都是梯形的多面体是棱台 有两个面互相平行 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴 将矩形旋转 所得到的两个圆柱是两个不 同的圆柱 其中正确的有 个 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 分析 中两个底面平行且相似 其余各面都是梯形 并不能保证侧棱会交于一点 所以 是错误的 中两个底面互相平行 其余四个面都是等腰梯形 也有可能两底面根本就 不相似 所以 不正确 中底面不一定是正方形 所以 不正确 很明显 是正确的 答案 答案 A 2 下列命题中正确的是 A 有两个面平行 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D 棱台各侧棱的延长线交于一点 答案 答案 D 3 下列命题中正确的是 A 以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C 圆柱 圆锥 圆台都有两个底面 D 圆锥的侧面展开图为扇形 这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 分析 分析 以直角梯形垂直于底的腰为轴 旋转所得的旋转体才是圆台 所以 B 不正确 圆锥 仅有一个底面 所以 C 不正确 圆锥的侧面展开图为扇形 这个扇形所在圆的半径等于圆 锥的母线长 所以 D 不正确 很明显 A 正确 答案 答案 A 思路思路 2 例 1 2007 宁夏模拟 理 6 长方体 AC1的长 宽 高分别为 3 2 1 从 A 到 C1沿长 方体的表面的最短距离为 A B C D 31 102 2332 活动 活动 解决空间几何体表面上两点间最短线路问题 一般都是将空间几何体表面展开 转 化为求平面内两点间线段长 这体现了数学中的转化思想 空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 解 解 如图 3 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 3 BC 2 BB1 1 图 3 如图 4 所示 将侧面 ABB1A1和侧面 BCC1B1展开 图 4 则有 AC1 即经过侧面 ABB1A1和侧面 BCC1B1时的最短距离是 2615 22 26 如图 5 所示 将侧面 ABB1A1和底面 A1B1C1D1展开 则有 AC1 即经过侧面 ABB1A1和底面 A1B1C1D1时的最短距离是 2333 22 23 图 5 如图 6 所示 将侧面 ADD1A1和底面 A1B1C1D1展开 图 6 则有 AC1 即经过侧面 ADD1A1和底面 A1B1C1D1时的最短距离是 5224 22 52 由于 23522326 所以由 A 到 C1在正方体表面上的最短距离为 23 答案 答案 C 点评 点评 本题主要考查空间几何体的简单运算及转化思想 求表面上最短距离可把图形展成平 面图形 变式训练变式训练 1 图 7 是边长为 1 m 的正方体 有一蜘蛛潜伏在 A 处 B 处有一小虫被蜘蛛网粘住 请制 作出实物模型 将正方体剪开 描述蜘蛛爬行的最短路线 空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 图 7 图 8 分析 分析 制作实物模型 略 通过正方体的展开图 8 可以发现 AB 间的最短距离为 A B 两点 间的线段的长 由展开图可以发现 C 点为其中一条棱的中点 具体爬行路线512 22 如图 9 中的粗线所示 我们要注意的是爬行路线并不唯一 解 解 爬行路线如图 9 1 6 所示 图 9 2 2006 江西高考 理 15 如图 10 所示 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 1 高为 8 一质点自 A 点出发 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长为 图 10 分析 分析 将正三棱柱 ABC A1B1C1沿侧棱 AA1展开 其侧面展开图如图 11 所示 则沿着三 棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长就是图 11 中 AD DA1 延长 A1F 至 M 使得 A1F FM 连接 DM 则 A1D DM 如图 12 所示 图 11 图 12 空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 则沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长就是图 12 中线段 AM 的长 在图 12 中 AA1M 是直角三角形 则 AM 10 222 1 2 1 111111 8 MAAA 答案 答案 10 知能训练知能训练 1 2007 广东中山二模 文 2 如图 13 观察四个几何体 其中判断正确的是 图 13 A 1 是棱台 B 2 是圆台 C 3 是棱锥 D 4 不是棱柱 分析 分析 图 1 不是由棱锥截来的 所以 1 不是棱台 图 2 上下两个面不平行 所以 2 不是圆台 图 4 前后两个面平行 其他面是平行四边形 且每相邻两个四边形的 公共边平行 所以 4 是棱柱 很明显 3 是棱锥 答案 答案 C 2 下面几何体中 过轴的截面一定是圆面的是 A 圆柱 B 圆锥 C 球 D 圆台 分析 分析 圆柱的轴截面是矩形 圆锥的轴截面是等腰三角形 圆台的轴截面是等腰梯形 球 的轴截面是圆面 所以 A B D 均不正确 答案 答案 C 3 2007 山东菏泽二模 文 13 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图 如图 14 所示 A B C 是展开图上的三点 则在正方体盒子中 ABC 图 14 分析 分析 如图 15 所示 折成正方体 很明显点 A B C 是上底面正方形的三个顶点 则 ABC 90 图 15 答案 答案 90 4 2007 山东东营三模 文 13 有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母 如图 16 所示 从 3 种不同角度看同一粒骰子的情况 请问 H 反面的字母是 空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 图 16 分析 分析 正方体的骰子共有 6 个面 每个面都有一个字母 从每一个图中都看到有公共顶点 的三个面 与标有 S 的面相邻的面共有四个 由这三个图 知这四个面分别标有字母 H E O p d 因此只能是标有 p 与 d 的面是同一个面 p 与 d 是一个字母 翻转图 使 S 面调整到正前面 使 p 转成 d 则 O 为正下面 所以 H 的反面是 O 答案 答案 O 5 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍 轴截面的面积等于 392 cm2 母线与轴的 夹角是 45 求这个圆台的高 母线长和底面半径 分析 分析 这类题目应该选取轴截面研究几何关系 解 解 圆台的轴截面如图 17 图 17 设圆台上 下底面半径分别为 x cm 和 3x cm 延长 AA1交 OO1的延长线于 S 在 Rt SOA 中 ASO 45 则 SAO 45 所以 SO AO 3x 所以 OO1 2x 又 6x 2x 2x 392 解得 x 7 2 1 所以圆台的高 OO1 14 cm 母线长 l OO1 cm 而底面半径分别为 7 cm 和 21 cm 2214 即圆台的高 14 cm 母线长cm 底面半径分别为 7 cm 和 21 cm 214 6 2005 全国高中数学竞赛浙江预赛 4 正方体的截平面不可能是 钝角三角形 直角三角形 菱形 正五边形 正六边形 下述选项正确的是 A B C D 分析 分析 正方体的截平面可以是锐角三角形 等腰三角形 等边三角形 但不可能是钝角三 角形 直角三角形 证明略 对四边形来讲 可以是梯形 等腰梯形 平行四边形 菱 形 矩形 但不可能是直角梯形 证明略 对五边形来讲 不可能是正五边形 证明略 对六边形来讲 可以是六边形 正六边形 答案 答案 B 拓展提升拓展提升 1 有两个面互相平行 其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗 分析 分析 如图 18 所示 此几何体有两个面互相平行 其余各面是平行四边形 很明显这个几 何体不是棱柱 因此说有两个面互相平行 其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱 空间几何体空间几何体 备课人 刘老师备课人 刘老师 图 18 由此看 判断一个几何体是否是棱柱 关键是紧扣棱柱的 3 个本质特征 有两个面 互相平行 其余各面都是四边形 每相邻两个四边形的公共边都互相平行 这 3 个特征 缺一不可 图 18 所示的几何体不具备特征 2 有一个面是多边形 其余各面都