考前归纳总结：导数中常见的分类讨论

导数中的分类讨论问题导数中的分类讨论问题 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异 分各种不同的情况予以分析解决 分类讨 论题覆盖知识点较多 利于考查学生的知识面 分类思想和技巧 同时方式多样 具有较高 的逻辑性及很强的综合性 树立分类讨论思想 应注重理解和掌握分类的原则 方法与技巧 做到 确定对象的全体 明确分类的标准 分层别类不重复 不遗漏的分析讨论 一 参数引起的分类讨论一 参数引起的分类讨论 例 1 已知函数 当时 讨论函数的单调性 1 1 ln 2 xpxpxf0 p xf 练习 1 已知函数 ln 1 1 1f xxk x 求函数 f x的单调区间 二 判别式引起的分类讨论二 判别式引起的分类讨论 例 2 已知函数 2 lnf xxxax aR 讨论 f x在定义域上的单调性 3 二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论 例 3 已知函数 令 若 32 2 23 3 f xxaxx ln 1 3 g xxfx 在 上单调递增 求实数的取值范围 g x 1 2 a 4 4 二项系数引起的分类讨论二项系数引起的分类讨论 例 4 已知函数 2 1 ln1f xaxax 1 讨论函数的单调性 f x 2 设a 2 求证 对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 三 针对性练习三 针对性练习 1 已知函数 0 3ln aRaaxxaxf且 求函数 xf的单调区间 当2 a时 设函数3 2 2 x ep xpxh 若在区间 1 e上至少存在一个 0 x 使得 00 xfxh 成立 试求实数p的取值范围 2 已知函数 求函数的单调区间 1ln 2 Raxaaxxxf xf 3 若函数 求函数的极值点 x x xxfln 2 xf 变式 1 若函数 试讨论函数的极值存在情况 x x a xxfln xf 变式 2 若函数 求函数的单调区间 x x axxfln 2 变式 3 若函数 求在区间 2 3 上的最小值 xa x axxfln 1 1 x f 三 小结 三 小结 在利用导数求函数极值 最值及单调区间等问题时 若函数中含有参数 我们需对参 数进行讨论 1 1 若导函数的二次项系数为参数 需对二次项系数为正 负或零进行分类讨论 若导函数的二次项系数为参数 需对二次项系数为正 负或零进行分类讨论 2 2 若需考虑判别式 若需考虑判别式 需对 需对 0 0 0 0 00 在 1 恒成立 0 a 1 2 2 2 1 2 2 x a xx xf a 所以的增区间 1 xf 若 故当 1 2 2 0 a a则 2 2 1 a x0 1 2 2 2 x a xx xf 当时 2 2 a x0 1 2 2 2 x a xx xf 所以 a 0 时的减区间为 的增区间为 xf 2 2 1 a xf 2 2 a 3 解 因为 所以 0 ln 2 xx x xxf 0 212 1 2 2 2 x x xx xx xf 令得 舍 或0 x f2 x1 x 列表如下 x 0 1 1 1 x f 0 xf 极小值 由上表知 是函数的极小值点 1 x xf 变式 1 解 0 1 1 2 2 2 x x axx xx a xf 法一 令 因为对称轴 所以只需考虑的正负 axxxg 2 xg0 2 1 x 0 g 当即时 在 0 上 即在 0 单调递增 无极0 0 g0 a0 xg xf 值 当即时 在 0 是有解 所以函数存在极值 0 0 g0 a0 xg xf 综上所述 当时 函数存在极值 当时 函数不存在极值 0 a xf0 a xf 法二 令即 0 x f0 2 axxa41 当即时 在 0 单调递增 无极值0 4 1 a0 x f xf 当即时 解得 或0 4 1 a0 2 axx0 2 411 1 a x 2 411 2 a x 若则0 a0 2 x 列表如下 x 0 2 x 2 x 2 x x f 0 xf 极小值 由上表知 时函数取到极小值 即函数存在极小值 2 xx xf0 a xf 若 则 所以在 0 单调递减 函数不存在极值 0 4 1 a0 21 xx xf 综上所述 当时 函数存在极值 当时 函数不存在极值0 a xf0 a xf 变式 2 解 0 212 2 2 2 x x xax xx axf 设axaxxh81 2 2 1 当时 因为 0 a02 0 0 2 1 h a x 若时 在上即 所以在 0 单调递 8 1 0 a即 0 0 xh0 x f xf 减 若时 或0 8 1 0 a即 xh得令0 a a x 2 811 1 a a x 2 811 2 列表如下 x 0 x1 x1 x1 x2 x2 x2 x f 0 0 xf 极小值 极大值 由上表知 的减区间为 xf 2 a811 0 2 a811 增区间为 2 a811 2 a811 2 当时 即 所以在 0 2 单调递减0 a0 2 0 xhx0 x f xf 即 所以在 2 单调递增0 2 xhx0 x f xf 3 当时 因为 4 所以有一正一负两根 解得 0 a02 0 0 2 1 h a x0 xh 或0 2 811 1 a x0 2 811 2 a x 列表如下 x 0 2 x 2 x 2 x x f 0 xf 极小值 由上表知 的减区间为 增区间为 xf 2 811 0 a 2 811 a 综上所述 时 的减区间为 0 a xf 2 811 0 a 2 811 a 增区间为 2 811 2 811 aa 时 递减区间为 0 2 递增区间为 2 0 a xf 时 的递减区间为 增区间为 0 a xf 2 811 0 a 2 a811 变式 3 解 0 1 1 11 2 2 2 x x xaax x a x axf 设 解得 或1 1 2 xaaxxp0 xp1 x 0 1 a a x 1 当时 即 所以在 0 1 单调递增0 a0 1 0 xpx0 x f xf 即 所以在 1 单调递减0 1 xpx0 x f xf 所以在 2 3 上单调递减 所以 xf3ln 1 3 1 3 3 min aafxf 2 当时 若即时 即 所以0 a2 1 0 a2 1 a 3 2 x0 xp0 x f 递增 所以 xf2ln 1 2 1 2 2 min aafxf 若即时 即 所以3 1 2 a2 1 3 1 a 1 2 a x 0 xp0 x f 递减 即 所以递增 xf 3 1 a x 0 xp0 x f xf 所以aaa a fxfln 1 1 1 min 若即时 即 所以递减 3 1 a3 1 0 a 3 2 x0 xp0 x f xf 所以3ln 1 3 1 3 3 min aafxf 综上所述 2 1 2ln 1 2 1 2 2 1 3 1 ln 1 1 3 1 3ln 1 3 1 3 min aaa aaaa aaa xf 近些年年高考模拟题及真题 1 1 解析 解析 当a0 时 在 x 3 2 上 当x 2 时取得最大值 得a 答案 D 3 8 2 解析 本题是不等式恒成立问题 可以构造函数 把函数转化为y x 型 通过求解函 a x 数的最值得到结论 由不等式x2 a x 1 0 对一切实数恒成立 当x 0 时 则 1 0 显 然成立 当x 0 时 可得不等式a x 对x 0 的一切实数成立 令f x x 1 x 2 当且仅当 x 1 时 成立 f x max 2 故a f x max 2 1 x x 1 x 答案 B 3 解 函数的定义域为 f x 0 1 a fx x 当时 2 a 2ln f xxx 2 1 0 fxx x 1 1 1 1 ff 在点处的切线方程为 即 yf x 1 1 Af1 1 yx20 xy 由可知 1 0 axa fxx xx 当时 函数为上的增函数 函数无极值 0 a 0 fx f x 0 f x 当时 由 解得 0 a 0 fx xa 时 时 0 xa 0 fx xa 0 fx 在处取得极小值 且极小值为 无极大值 f x xa ln f aaaa 综上 当时 函数无极值 0 a f x 当时 函数在处取得极小值 无极大值 0 a f x xaln aaa 4 答案 解 32 11 0 32 f xxaxxb a 2 1fxxax 在处切线方程为 各 1 f x 1 0 33yx 1 3 1 0 f f 1 a 6 11 b 分 ax fx g x e 2 1 ax xax e xR g x 2 2 2 1 axax ax xa ea xaxe e 2 2 ax x axae 当时 0a 2g xx x 0 0 0 g x 0 g x A 极小值A 的单调递增区间为 单调递减区间为 g x 0 0 当时 令 得或 0a 0g x 0 x 2 xa a 当 即时 2 0a a 02a x 0 0 2 2 0 a a 2 2a a 2 2 a a g x 0 0 g x A 极小值A极大值A 的单调递增区间为 单调递减区间为 g x 2 2 0 a a 0 2 2 a a 当 即时 2 0a a 2a g x 22 20 x x e 故在单调递减 g x 当 即时 2 0a a 2a x 2 a a 2 a a 2 0 a a 0 0 g x 0 0 g x A 极小值A极大值A 在上单调递增 在 上单调递减 g x 2 2 0 a a 0 2 2 a a 综上所述 当时 的单调递增区间为 单调递减区间为 0a g x 0 0 当时 的单调递增区间为 单调递减区间为 02a g x 2 2 0 a a 0 当 的单调递减区间为 2a g x 当时 的单调递增区间为 单调递减区间为 2a g x 2 0 a a 0 2 a a 5 答案 解 1 因为 故 2 lnf xxax 2 a fxx x 函数在处的切线垂直轴 所以 xf1x y 1 202faa 2 函数在为增函数 所以当时 恒成立 分离 xf 1 1 x 20 a fxx x 参数得 从而有 2 2ax 2a 3 2 2 2 lng xf xaxxaxax 2 2 2 1 2 2 2 axaxaxxa g xxa xxx 令 因为函数的定义域为 所以 12 01 2 a g xxx g x 0 1 当 即时 函数在上递减 在上递增 0 2 a 0a g x 0 1 1 2 当 即时 函数在上递增 01 2 a 02a g x 0 2 a 在上递减 在上递增 1 2 a 1 3 当 即时 函数在上递增 1 2 a 2a g x 0 4 当 即时 函数在上递增 在上递减 在上递增 1 2 a 2a g x 0 1 1 2 a 2 a 6 解 1 求导可得 函数的递增区间是 递减区间是 1 k 1 k 2 当时 函数在单调递增 此时函数的最小值为 1 k f x 0 1 kf 0 当时 由 1 可知 函数在上单调递减 在上递增 21 k f x 1 0 k 1 1 k 所以在上的最小值为 当时 函数在单调递减 f x 0 1 1 1 k ekf2 k f x 0 1 此时的最小值为 ekf 1 1 7 解析 2 cxbxc fxxb xx 又 1 0f 所以 1 xxc fx x 且 1c 10bc 4 分 I 因为 1x 为 f x 的极大值点 所以 1c 当0 1x 时 0fx 当1 xc 时 0fx 当x c 时 0fx 所以 f x 的递增区间为 0 1 c 递减区间为 1 c 7 分 II 若 0c 则 f x 在 0 1 上递减 在 1 上递增 0f x 恰有两解 则 1 0f 即 1 0 2 b 所以 1 0 2 c 若0 1c 则 2 1 ln 2 fxf ccccbc 极大 1 1 2 fxfb 极小 因为 1bc 则 22 ln 1 ln0 22 cc fxccccccc 极大 1 2 fxc 极小 从而 0f x 只有一解 若 1c 则 22 ln 1 ln0 22 cc fxccccccc 极小 1 2 fxc 极大 则 0f x 只有 一解 综上 使 0f x 恰有两解的c的范围为 1 0 2 c 15 分 8 解 函数 f x 的定义域为 0 1 fxk x 当 0 k 时 1 0fxk x 则 f x 在 0 上是增函数 当 0 k 时 若 1 0 x k 则 1 0fxk x 若 1 x k 则 1 0fxk x 所以 f x 在 1 0 k 上是增函数 在 1 k 上是减函数 由 知 0 k 时 f