高二数学选修1--1椭圆练习题

1 时间 60 分钟 满分 81 分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 2012 上海高考 对于常数 m n mn 0 是 方程 mx2 ny2 1 的曲线是椭圆 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 选 B 因为当 m 0 n0 n 0 mn 0 2 已知椭圆 1 的焦距为 4 则 m 等于 x2 10 m y2 m 2 A 4 B 8 C 4 或 8 D 以上均不对 解析 选 C 由Error 得 2 mb 0 的左 右焦点 P 为直 x2 a2 y2 b2 线 x 上一点 F2PF1是底角为 30 的等腰三角形 则 E 的离心率为 3a 2 A B 1 2 2 3 C D 3 4 4 5 解析 选 C 根据题意直线 PF2的倾斜角是 所以 a c PF2 F1F2 2c 3 3 2 1 2 1 2 1 2 解得 e 3 4 二 填空题 本大题共 3 小题 每小题 5 分 共 15 分 7 若椭圆 1 a b 0 与曲线 x2 y2 a2 b2恒有公共点 则椭圆的离心率 e 的 x2 a2 y2 b2 取值范围是 解析 由题意知 以半焦距 c 为半径的圆与椭圆有公共点 故 b c 所以 b2 c2 即 a2 2c2 所以 又 1 所以 eb 0 的左 右顶点分别是 A B 左 右焦点分 x2 a2 y2 b2 别是 F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 解析 依题意得 F1F2 2 AF1 BF1 即 4c2 a c a c a2 c2 整理得 5c2 a2 得 e c a 5 5 答案 5 5 9 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 过右焦点 F 且斜率为 k k 0 的直线与 x2 a2 y2 b2 3 2 椭圆 C 相交于 A B 两点 若 3 则 k AF FB 3 解析 根据已知 可得 a2 c2 则 b2 c2 故椭圆方程为 1 即 c a 3 2 4 3 1 3 3x2 4c2 3y2 c2 3x2 12y2 4c2 0 设直线的方程为 x my c 代入椭圆方程得 3m2 12 y2 6mcy c2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则根据 3 得 c x1 y1 3 x2 c y2 由此得AF FB y1 3y2 根据韦达定理 y1 y2 y1y2 把 y1 3y2代入得 y2 2cm m2 4 c2 3 m2 4 3y 故 9m2 m2 4 故 m2 从而 k2 2 k cm m2 42 2 c2 3 m2 4 1 22 又 k 0 故 k 2 答案 2 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 12 分 共 36 分 10 求以坐标轴为对称轴 一焦点为 0 5 且截直线 y 3x 2 所得弦的中点的横坐标 2 为 的椭圆方程 1 2 解 根据题意设所求椭圆的方程为 1 a b 0 x2 b2 y2 a2 c 5 a2 b2 50 2 由Error 消去 y 得 10 b2 5 x2 12b2x b2 b2 46 0 设直线与椭圆相交于 M x1 y1 N x2 y2 两点 则 x1 x2是上述方程的根 x1 x2 6b2 5 b2 5 x1 x2 2 1 2 6b2 5 b2 5 1 2 b2 25 a2 75 故所求椭圆方程为 1 x2 25 y2 75 11 已知椭圆 G 1 a b 0 的离心率为 右焦点为 2 0 斜率为 1 的直 x2 a2 y2 b2 6 32 线 l 与椭圆 G 交于 A B 两点 以 AB 为底边作等腰三角形 顶点为 P 3 2 1 求椭圆 G 的方程 2 求 PAB 的面积 解 1 由已知得 c 2 解得 a 2 2 c a 6 33 又 b2 a2 c2 4 所以椭圆 G 的方程为 1 x2 12 y2 4 4 2 设直线 l 的方程为 y x m 由Error 得 4x2 6mx 3m2 12 0 设 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x1b 0 点 P在椭圆上 x2 a2 y2 b2 5 5 a 2 2 a 1 求椭圆的离心率 2 设 A 为椭圆的左顶点 O 为坐标原点 若点 Q 在椭圆上且满足 AQ AO 求直线 OQ 的斜率的值 解 1 因为点 P在椭圆上 故 1 可得 5 5 a 2 2 a a2 5a2 a2 2b2 b2 a2 5 8 于是 e2 1 所以椭圆的离心率 e a2 b2 a2 b2 a2 3 8 6 4 2 设直线 OQ 的斜率为 k 则其方程为 y kx 设点 Q 的坐标为 x0 y0 由条件得Error 消去 y0并整理得 x 2 0 a2b2 k2a2 b2 由 AQ AO A a 0 及 y0 kx0 得 x0 a 2 k2x a2 2 0 整理得 1 k2 x 2ax0 0 而 x0 0 故 x0 代入 整理得 1 k2 2 0 2a 1 k2 2 4k2 4 a2 b2 5 由 1 知 故 1 k2 2 k2 4 即 5k4 22k2 15 0 可得 k2 5 k2 舍去 a2 b2 8 5 32 5 3 5 所以直线 OQ 的斜率 k 5 12 2012 天津高考 已知椭圆 1 a b 0 点 P在椭圆上 x2 a2 y2 b2 5 5 a 2 2 a 1 求椭圆的离心率 2 设 A 为椭圆的左顶点 O 为坐标原点 若点 Q 在椭圆上且满足 AQ AO 求直线 OQ 的斜率的值 解 1 因为点 P在椭圆上 故 1 可得 5 5 a 2 2 a a2 5a2 a2 2b2 b2 a2 5 8 于是 e2 1 所以椭圆的离心率 e a2 b2 a2 b2 a2 3 8 6 4 2 设直线 OQ 的斜率为 k 则其方程为 y kx 设点 Q 的坐标为 x0 y0 由条件得Error 消去 y0并整理得 x 2 0 a2b2 k2a2 b2 由 AQ AO A a 0 及 y0 kx0 得 x0 a 2 k2x a2 2 0 整理得 1 k2 x 2ax0 0