数列求和练习(奇偶项).docx

数列综合（奇偶项）一选择题（共1小题）1设an是公比为q的等比数列，其前n项的积为Tn，并且满足条件：a11，a99a10010，a99-1a100-10给出下列结论：0q1；T1981；a99a1011；使Tn1成立的最小的自然数n等于199其中正确结论的编号是（）ABCD二填空题（共1小题）2已知函数f（n）=n2(当n为奇数时)-n2(当n为偶数时)，且anf（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+a100等于 三解答题（共20小题）3各项均为正数的等比数列an满足a23，a42a39（1）求数列an的通项公式；（2）设bn（2n1）log3a2n+2（nN*），数列1bn的前n项和为Tn，证明：Tn124已知数列an的前n项和Sn=n2-2kn（kN*），Sn的最小值为9（1）确定k的值，并求数列an的通项公式；（2）设bn=(-1)nan，求数列bn的前2n+1项和T2n+15已知数列an满足a12，an+1+2an=(-1)n（nN*）（）求证：数列an-(-1)n是等比数列；（2）设bn=-2nanan+1，数列bn的前n项和为Tn，若Tnm对任意nN*恒成立，求实数m的取值范围6设Sn是等差数列an的前n项和，满足a25，S535，Tn是数列bn的前n项和，满足Tn2bn1（nN*）（）求数列an，bn的通项公式；（）令cn=2Sn，n=2k-1anbn，n=2k(kN*)，设数列cn的前n项和Pn，求P2n的表达式7等差数列an前n项和为Sn，且S432，S13221（1）求an的通项公式an；（2）数列bn满足bn+1-bn=an(nN*)且b13，求1bn的前n项和Tn8设数列an满足a1=1，an+1=44-an（nN*）（1）求证：数列1an-2是等差数列；（2）设bn=a2na2n-1，求数列bn的前n项和为Tn9设数列an的前项n和为Sn，且满足an-12Sn-1=0(nN*)（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列Sn+（n+2n）为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由10已知数列an为等差数列，公差d0，an的部分项组成下列数列：ak1，ak2，akn，恰为等比数列，其中k11，k25，k317，求k1+k2+k3+kn11已知数列an中a11，且a2ka2k1+（1）k，a2k+1a2k+3k，其中k1，2，3，（I）求a3，a5；（II）求an的通项公式12设数列an的首项a1=12，且an+1=12an(n为偶数)an+14(n为奇数)，记bna2n1-14（nN*）bna2n1-14（nN*）（1）求a2，a3；（2）证明：bn是等比数列；（3）求数列3n+1bn的前n项和Tn13Sn为数列an的前n项和已知an0，2Sn=an+12-an+1-2，且a12（1）求an的通项公式（2）设cn=(-1)nan2，求c1+c2+c2018的值14设等差数列bn的前n项和为Sn，已知b24，S530（）求bn的通项公式；（）设anbncosn，求数列an的前30项和T3015已知数列an中，a11，a24，an+14an3an1（n2）（）证明：an+1an为等比数列，并求an的通项公式；（）设bn=(3n2-an)(-1)nn，求bn的前n项的和Sn16已知数列an，满足a11，2anan+1+3an+13an；（1）求an的通项公式；（2）若cn=(-1)n+11anan+1，求cn的前2n项的和T2n17已知Sn为数列an的前n项和，Sn=2an-2(nN+)，数列bn满足2bn=Sn+1-Sn(nN+)（）分别求数列an，bn的通项公式；（）若cn=an+(-1)nbn，求数列cn的前2n项和T2n18已知等比数列an的前n项和为Sn，数列bnn是公差为1的等差数列，若a12b1，a4a212，S4+2S23S3（I）求数列an，bn的通项公式；（II）设cn=nbn(n+2)(n为奇数)2an(n为偶数)，Tn为cn的前n项和，求T2n19已知等差数列an的前n项和味Sn，a10，a1a2=32，S510（1）求数列an的通项公式；（2）记数列bn=2an，n为奇数an，n为偶数，求数bn的前2n+1项和T2n+120已知等差数列an满足a37，a5+a726（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（1）nanan+1，求数列bn的前2n项的和S2n21已知数列an的前n项和为Sn满足Sn2an1（nN*）（）求数列an的通项公式；（）求数列bn=(-1)n+12an+3（nN*）的前2n项的和T2n22已知数列an满足a13，an+1=2an+(-1)n(3n+1)（1）求证：数列an+(-1)nn是等比数列；（2）求数列an的前10项和S10参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1【解答】解：a99a10010，a12q1971，（a1q98）21a11，q0，又a99-1a100-10a991，a10010q1，即正确，又T198a1198q1+2+197（a99a100）991不正确，a99a101a10021，正确；满足Tn=a1qn-121的最小自然数n满足n-12=99，即n199，正确正确的为故选：D二填空题（共1小题）2【解答】解：anf（n）+f（n+1）由已知条件知，an=n2-(n+1)2=-(2n+1)n是奇数-n2+(n+1)2=2n+1n是偶数an=(-1)n(2n+1)，an+an+12（n是奇数）a1+a2+a3+a100（a1+a2）+（a3+a4）+（a99+a100）2+2+2+2100故答案为：100三解答题（共20小题）3【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，q0，由a23，a42a39得3（q22q）9，解得q3或q1因为数列an为正项数列，所以q3，所以，首项a1=a2q=1，故其通项公式为an3n1，nN*；（2）证明：由（1）得bn（2n1）log3a2n+2（2n1）log332n+1（2n1）（2n+1），所以1bn=1(2n-1)(2n+1)12（12n-1-12n+1），即有前n项和Sn=12（1-13+13-15+12n-1-12n+1）=12（1-12n+1）124【解答】满分（12分）解：（1）由已知得Sn=n2-2kn=(n-k)2-k2，因为kN*，当nk时，(Sn)min=-k2=-9，故k3；所以Sn=n2-6n因为Sn-1=(n-1)2-6(n-1)，（n2），所以an=Sn-Sn-1=(n2-6n)-(n-1)2-6(n-1)，得an2n7（n2）当n1时，S14a1，综上，an2n7（2）依题意，bn=(-1)nan=(-1)n(2n-7)，所以T2n+1=5-3+1+1-3+5+(-1)2n(4n-7)+(-1)2n+12(2n+1)-7=5-(2+2+2)n52n5【解答】（）证明：an+1-(-1)n+1an-(-1)n=-2an+(-1)n-(-1)n+1an-(-1)n=-2an+2(-1)nan-(-1)n=-2，（3分）且首项a1+130，数列an-(-1)n是等比数列（解：bn=-2nanan+1=-2n(-1)n-1(32n-1-1)(-1)n(32n-1)=2n(32n-1-1)(32n-1)=23(132n-1-1-132n-1)Tn=23(12-132n-1)13，m136【解答】解：（）an是等差数列S535，S5=5(a1+a5)2=35，a37，a25，d2，ana2+（n2）22n+1当n1时 T12b11，b11当n2时 Tn12bn11又Tn2bn1，bn2bn2bn1bn2bn1bn是以1为首项，2为公比的等比数列bn=2n-1（）Sn=n(a1+an)2=n(n+2)，2Sn=2n(n+2)=1n-1n+2设前2n项中奇数项的和为An，偶数项的和为BnAn=1-13+13-15+15-+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+1Bn=a2b2+a4b4+a2nb2n=521+922+(4n+1)22n-14Bn=522+923+(4n+1)22n+1，得： -3Bn=521+4(23+25+22n-1)-(4n+1)22n+1-3Bn=521+423-22n-141-4-(4n+1)22n+1，-3Bn=521+4(-83+22n+13)-(4n+1)22n+1-3Bn=-23+(13-4n)22n+1Bn=(12n-1)22n+19+29P2n=(12n-1)22n+19+29+2n2n+17【解答】解：（1）等差数列an的公差设为d，前n项和为Sn，且S432，S13221可得4a1+6d32，13a1+78d221，解得a15，d2，可得an5+2（n1）2n+3；（2）由bn+1bnan2n+3，可得bnb1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1）3+5+7+2n+1=12n（2n+4）n（n+2），1bn=12（1n-1n+2），则前n项和Tn=12（1-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2）=12（32-1n+1-1n+2）8【解答】解：（1）由a1=1，an+1=44-an可得2-an2an-4=-12为常数，从而可得数列1an-2是1为首项，-12为公差的等差数列；（2）由（1）知an=2nn+1，则bn=a2na2n-1=4n2(2n-1)(2n+1)，=1+1(2n-1)(2n+1)，所以：Tn=n+12(1-13+13-15+12n-1-12n+1)=n+12(1-12n+1)9【解答】解：（1）当n1时，有an-12Sn-1=0(nN*)，整理得：a1-12S1-1=0，解得：a12，又由an-12Sn-1=0(nN*)，可得an+1-12Sn+1-1=0(nN*)，两式相减得12an+1-an=0，即有an+12an故数列an是以2为首项，2为公比的等比数列an=2n（2）由（1）知q1，所以Sn=a1(1-qn)1-q=2(2n-1)令bn=Sn+(n+2n)=(+2)2n+n-2，为使bn为等差数列，则bn是关于n的一次函数，所以2，此时bn2n2，当n1时，b12124当n2时，bnbn12n22（n1）22，所以Sn+(n+2n)是以4为首项，2为公差的等差数列10【解答】解：设an的首项为a1，ak1，ak2，ak3成等比数列，（a1+4d）2a1（a1+16d）得a12d，q=ak2ak1=3akna1+（kn1）d，又akna13n1，kn23n11k1+k2+kn2（1+3+3n1）n21-3n1-3-n3nn111【解答】解：（I）a2a1+（1）10，a3a2+313a4a3+（1）24，a5a4+3213，所以，a33，a513（II）a2k+1a2k+3ka2k1+（1）k+3k，所以a2k+1a2k13k+（1）k，同理a2k1a2k33k1+（1）k1，a3a13+（1）所以（a2k+1a2k1）+（a2k1a2k3）+（a3a1）（3k+3k1+3）+（1）k+（1）k1+（1），由此得a2k+1a1=32（3k1）+12（1）k1，于是a2k+1=3k+12+12(-1)k-1.a2ka2k1+（1）k=3k2+12（1）k11+（1）k=3k2+12（1）k1an的通项公式为：当n为奇数时，an=3n+122+(-1)n-1212-1；当n为偶数时，an=3n22+(-1)n212-1.12【解答】解：（1）a2=a1+14=34，a3=12a2=38（2）证明：因为bn=a2n-1-14，所以bn+1=a2n+1-14=12a2n-14=12(a2n-1+14)-14=12(a2n-1-14)即bn+1=12bn而b1=a1-14=140，所以bn是以14为首项，公比为12的等比数列（3）bn=b1(12)n-1=(12)n+1，所以3n+1bn=（3n+1）2n+1所以Tn=(31+1)22+(32+1)23+(3n+1)2n+12Tn=(31+1)23+(32+1)24+(3n-2)2n+1+(3n+1)2n+2 两式相减得：Tn=(3n+1)2n+2-3(23+24+2n+1)-16即Tn=(3n-2)2n+2+813【解答】解：（1）可得2Sn-1=an2-an-2（n2）两式相减得，2an=an+12-an2-an+1+an，即（an+1+an）（an+1an1）0，又an0，an+1an10，即an+1an1（n2）由已知可得a22-a2-6=0，a23，a2a11，故an为等差数列，ann+1（2）ann+1，cn=(-1)nan2=（1）2（n+1）2c1+c2+c2018=-22+32-42+52-+201925+9+13+4037=5+403721009=203918914【解答】解：（）等差数列bn的公差设为d，前n项和为Sn，b24，S530，可得b1+d4，5b1+10d30，解得b1d2，可得bn2n，nN*；（）anbncosn=2n，n为偶数-2n，n为奇数，则数列an的前30项和T30（26215）+（4+8+230）=1215（230）+1215（4+60）24015【解答】证明：（）：数列an中，a11，a24，an+14an3an1（n2），an+1an3an3an13（anan1），a2a1413数列an+1an是首项为3，公比为3的等比数列，an+1an3n，a2a131，a3a232，anan13n1，ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）1+3+32+33+3n1=1-3n1-3=3n-12，（）bn（3n2-3n-12）（1）nn=12（1）nn，当n为偶数时，Sn=12（1+2）+（3+4）+（5+6）+（n+1+n）=12n2=n4，当n为偶数时，Sn=12（1+2）+（3+4）+（5+6）+（n+2+n1）n=12（n-12-n）=-n+14，Sn=n4，n为偶数-n+14，n为奇数16【解答】解：（1）由2anan+1+3an+13an，得1an+1=1an+23，所以1an+1-1an=23，所以数列1an是首项为1，公差为23的等差数列，所以1an=1+23(n-1)=23n+13，即an=32n+1（2）设c2n-1+c2n=1a2n-1a2n-1a2na2n+1=(1a2n-1-1a2n+1)1a2n，所以1a2n-1-1a2n+1=-43，即c2n-1+c2n=-431a2n，T2n=1a1a2-1a2a3+1a3a4-1a4a5+1a2n-1a2n-1a2na2n+1 =-43(1a2+1a4+1a2n)=-43n(53+43n+13)2=-89n2-43n17解：（I）Sn=2an-2(nN+)n2时，anSnSn12an2（2an12），化为：an2an1n1时，a12a12，解得a12数列an是等比数列，首项与公比都为2an2n数列bn满足2bn=Sn+1-Sn(nN+)2bn=an12n+1，bnn+1（II）cn=an+(-1)nbn=2n+（1）n（n+1），数列cn的前2n项和T2n=2(22n-1)2-1+（32）+（54）+（2n+12n）22n+12+n18【解答】解：（I）等比数列an的公比设为q，前n项和为Sn，数列bnn是公差为d1的等差数列，即有bnn=t+n1，即bnn（t+n1），若a12b1t，a4a212，S4+2S23S3，可得tq3tq12，S4S32（S3S2），即为a42a3，即q=a4a3=2，解得t2，可得an2n；bnn2；（2）cn=nbn(n+2)(n为奇数)2an(n为偶数)，即为cn=1n(n+2)，n为奇数21-n，n为偶数，T2n（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）113+135+1(2n-1)(2n+1)+（12+18+122n-1）=12（1-13+13-15+12n-1-12n+1）+12(1-14n)1-14 =12-12n+112+23（1-14n）=76-12n+112-2314n19【解答】解：（1）由条件可得：a1(a1+d)=325a1+542d=10a1(a1+d)=32a1+2d=2消去d得：a12+2a1-3=0，解得a11或a13（舍），所以d=12，所以an=n+12（2）由（1）得：bn=2n+12，n为奇数n+12，n为偶数，所以数列bn的前2n+1项和为：T2n+1=b1+b2+b3+b4+b2n+b2n+1=2+32+