统计物理部分课后答案

7 4 解 根据式 6 6 9 处在能量为的量子态 s 上的平均粒子数为 s 1 s s fe 以 N 表示系统的粒子数 粒子处在量子态 s 上的概率为 2 1 ss s ee P NZ 显然 满足归一化条件 s P 3 1 s s P 式中是对粒子的所有可能的量子态求和 粒子的平均能量可以表示为 s 4 ss s EP 根据式 7 1 13 定域系统的熵为 11 1 1 lnln ln ln ss s SNkZZ NkZ NkPZ 5 ln ss s NkPP 最后一步用了式 2 即 6 1 lnln ss PZ 式 5 的熵表达式是颇具启发性的 熵是广延量 具有相加性 式 5 意味着一个粒子 的熵等于 它取决于粒子处在各个可能状态的概率ln ss s kPP 如果粒子肯定处在某个状态 即 粒子的熵等于零 反之 当粒子可能处 s Pr ssr P 在多个微观状态时 粒子的熵大于零 这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的 如果 换一个角度考虑 粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息 粒子以一定的概率 处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息 所以 也可以将熵理解为信息 缺乏的量度 第九章补充题 5 还将证明 在正则系综理论中熵也有类似的表达式 沙农 Shannon 在更普遍的意义上引进了信息熵的概念 成为通信理论的出发点 甄尼斯 Jaynes 提出将熵当作统计力学的基本假设 请参看第九章补充题 5 对于满足经典极限条件的非定域系统 式 7 1 13 给出 11 lnlnln SNkZZkN 上式可表为 7 0 ln ss s SNkPPS 其中 0 ln ln1 SkNNkN 因为 ss fNP 将式 7 用表出 并注意 s f s s fN 可得 8 ln ss s SkffNk 这是满足玻耳兹曼分布的非定域系统的熵的一个表达式 请与习题 8 2 的结果比较 习题习题 7 87 8 气体以恒定的速度沿方向作整体运动 试证明 在平衡状态下分子动量的最概Z 然分布为 222 0 2 3 xyx pppp xyz m Vdp dp dp e h 证证 设能级这样构成 同一中 相同 而与在变化 于是有 l l Z p x p y p 3 0 2 0 1 0 lzlz llll ll apapp aaE aaN 0 papp lz 参照教材玻耳兹曼分布证明 有 EN ln z p 其中 2 22 2 1 Z yxl ppp m 由 1 知 Ndpdpdpe h V zyx pz 3 将代入 并配方得 l zyx pp m dpdpdpe h Vzzyx 2 3 2 Ndpdpdpe h V zyx m p m m zyx 2 2 2 2 3 其中 m p m p y y x x 2 2 2 2 对比 page238 式 7 2 4 得 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 mkT h n mkT h V N e m 整个体积内 分布在 内分子数 zzzyyyxxx dpppdpppdppp 为 zyxzyxzyx m p m dpdpdppppfdpdpdpe mkT N zyx 2 1 2 2 2 3 由条件 3 知 0 Npdpdpdppppfp zyxzyxz 计算得 z m p m zyx dpe mm pdpedpe mkT z y x 2 2 2 3 2 1 z m p m yx dpe m dpdpe mkT z yx 2 2 2 3 2 1 0 p N dpdpfdp m zyx 0 p m 代入得出分布 3 2 2 0 22 h dpdpVdp e zyx pppp m zyx 其中 2 2 m 0 p m 习题习题 7 137 13 试证明 单位时间内碰到单位面积上 速率介于与之间的分子数为 vdvv dvve kT m nd kT mv 3 2 2 3 2 2 证证 在斜圆柱体内 分速度为的方向的分子数为 z vv dtdsvVVvvvnfdn zzyx 圆柱 dsdtdvdvdvve kT m ndsdtnfvdn zyxz vvv kT m z zyx 2 2 3 222 2 对于 0 积分得从对从 zyx vvv 时间碰撞到面积上的分子数 dtdsdvvv 0 2 2 3 222 2 dsdtdvdvdvve kT m nn zyxz vvv kT m zyx dsdtddvdve kT m n kT mv cos 2 2 0 3 2 2 0 2 3 2 得到 若只计算介于分子数则为 只对积分 dvvv dvve kT m nn v kT m 3 2 2 3 2 2 1 2 2 dvve Tk m n kT mv 3 2 2 3 2 2 习题习题 7 157 15 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布 其能量表达式为 其中是常数 求粒子的平均能量 bxaxppp m zyx 2222 2 1 ba 解解 a b a b a bx xa m p 4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 1 2 2222 据均分律四个平方项 a b a b xappp m zyx a b kT a b Tk 4 2 4 2 1 4 22 习题习题 8 18 1 试证明 对于玻色系统或费米系统 玻耳兹曼关系成立 即 lnSk 解 解 对于理想费米系统 与分布相应的系统的微观状态数为 l a l l lll aa 取对数 并应用斯特令近似公式 得 lnlnlnln llllllll l aaaa 另一方面 根据理想费米系统的熵为 lnln lnlnSkkNU ln ll l ka 其中费米巨配分函数的对数为 lnln 1 l a l l e 由费米分布 1 l l l a e 得 和 1 l l ll e a ln ll l l a a 所以 lnln l l l ll a lnlnlnlnln lll llllllllll ll lll a Skakaaaa a 两式比较可知 lnSk 习题习题 8 28 2 试证明 理想玻色和费米系统的熵可表示为 ln1ln 1 B Essss l Skffff ln1ln 1 F Dssss l Skffff 其中为量子态上的平均粒子数 对粒子的所有量子态求和 s fs s 解 解 我们先讨论理想费米系统的情形 根据上题有 理想费米系统的熵可表示为 lnlnln F Dllllllll l Skaaaa lnln lll lll l ll aa kaa 1ln 1ln llll l l llll aaaa k 式中表示对粒子各能级求和 以表示在能量为的量子态上的平均粒子 s l s l a f l s 数 并将对能级 求和改为对量子态求和 注意到 上式可改写ls l ls 为 ln1ln 1 F Dssss l Skffff 由于 计及前面的负号 上式的两项都是非负的 1 s f 对于理想玻色系统 通过类似的步骤可以证明 ln1ln 1 B Essss l Skffff 由于玻色系统 计及前面的负号 式中的第一项可以取负值 第二项是非负的 由0 s f 于在绝对值上第二项大于第一项 熵不会取负值 在的情形 上面两式中的1 s f 1ln 11 sssss fffff 所以在的情形下 有1 s f ln B EF Dsss s SSkfff 注意到 上式也可表示为 s s fN ln B EF Ds s SSkffNk 习题习题 8 38 3 求弱简并理想费米 玻色 气体的压强和熵 解解 弱简并费米 玻色 气体的内能为 式中上面 3 2 5 2 2 31 1 1 22 2 Nh UNkT g VmkT 的符号适用于费米气体 下面的符号适用于玻色气体 利用理想气体压强与内能的关 系 可直接求出弱简并气体的压强为 2 3 U p V 3 2 5 2 2 1 1 1 2 2 h pnkTn gmkT 式中是粒子数密度 N n V 定容热容量为 3 2 7 2 2 31 1 1 22 2 V V Uh CNkn TgmkT 参照热力学中熵的积分表达式可将熵表示为 0 V C SdTSV T 于是可得 3 2 7 2 2 0 31 1 ln 22 2 h SNkTNknSV gmkT 式中的函数可通过下述条件确定 在的极限下 弱简并 0 S 3 22 3 1 2 Nh n VmkT 气体趋于理想气体 习题习题 8 48 4 试证明 在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色 爱因斯坦凝聚 证明 证明 令玻色气体降温到某有限温度 气体的化学势将趋于 在时 将有宏 C T0 C TT 观量级的粒子凝聚在的基态 称为玻色 爱因斯坦凝聚 临界温度由条件0 C T 确定 0 1 kTc Dd n e 将二维自由粒子的状态密度代入得 2 2 2 L Ddmd h 2 2 0 2 1 kTc Ld mn h e 二维理想玻色气体的凝聚温度由上式确定 令 上式可改写为 C T C x kT 2 2 0 2 1 C x Ldx mkTn he 将被积函数展开有 2 11 1 11 xxx x xx eee eee 则 是发散的 这意味着在有限温度下二维理想玻色气 0 1 111 1 123 x n dx en 体的化学势不可能趋于零 换句话说 在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色 爱因 斯坦凝聚 习题习题 8 78 7 计算温度为时 在体积内光子气体的平均总光子数 并据此估算 T V 1 温度为时的平衡辐射和 1000K 2 温度为的宇宙背景辐射中光子的数密度 3K 解解 在体积内 在到的圆频率范围内光子数为V d 2 23 V Ddd c 温度为时平均光子数为T 1 h kT Dd NT d e 因此温度为时 在体积内光子气体的平均光子数为TV 2 23 0 1 h kT Vd N T c e 引入变量 上式可表示为 h x kT 3 23 3 23233 0 2 404 1 x VkTx dxk N TVT chec h 或 3 3 233 2 404 k n TT c h 在下 有 1000K 163 2 10nm 在下 有 3K 83 5 5 10nm 习题习题 8 88 8 试据普朗克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布 并据此 5 8 1 hc kT hcd u e 证明 使辐射内能密度取极大的波长满足方程 m m hc x kT 55 x ex 这个方程的数值解为 因此 4 9651x 4 9651 m hc T k 温度增加向短波方向移动 m 证证 平衡辐射内能按圆频率的分布为 3 23 1 1 h kT h uT dd c e 根据圆频率与波长的关系 有 2 c 2 2 c dd 于是内能按波长的分布可得 5 8 1 h kT hcd uT d e 令使取极大的波长由下式确定 hc x kT uT m 5 0 1 x dx dx e 于是有 55 x ex 利用图解法可以解出 精确的数值解给出 x4 9651x 所以使为极大的满足右方是常量 说 uT m 3 2 898 10 4 9651 m hc Tm K k 明随温度的增加向短波方向移动 称为维恩位移定律 m 习题习题 8 108 10 试根据热力学公式及光子气体的热容量求光子气体的 V C SdT T V V U C T 熵 解解 光子气体的内能为 24 4 33 15 k UVT c h 由此易得其定容热容量为 24 3 33 4 15 V V Uk CVT Tc h 根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式有 0 V V Cp SdTdVS TT 积分沿任意一条积分路径进行 如果取积分路线为由到的直线 即有 0 V T V 2424 23 3333 0 44 1545 T kk SVT dTVT c hc h 习题习题 9 19 1 证明在正则分布中熵可表为其中是系统处在态 s ss kS ln s E s e Z 1 s 的概率 证证 多粒子配分函数 ln ln Z ZkS 1 1 ss E s E eZeZ 由 1 知 sssss E ZEZEZe s lnln 1 lnln 代至 2 得 s sss s s ZZ Z ln 1 ln 1 lnln 1ln 于是 s ss k Z ZkS ln ln ln 2 ln k E k E k k k e eE Z 习题习题 9 29 2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程 内能和熵 证证 222 12 1 iziyix N i s s E ppp m EeZ s 符号 i iziyix dpdpdpdp 符号 i iii dzdydxdq 2 3 3 2 3 2 33 2 1 222 1 222 1 222 2 N N N N ppp m N N ppp m N N ppp N m hN V Zdpe hN V dpe hN V dpdqe hN Z zyx N i iziyix N i iziyix m 利用式 9 5 3 类似求 V NTk V Z Z Z P 1ln1 SU 习题习题 9 69 6 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体 考虑分子间的相互作用 试用 正则分布证明 二维气体的物态方程为 其中 SBNTkpS 1 为液体的面积 为两分子的互作用势 Srdre N B kT 21 2 解解 二维气体 ii iy ix pp N dydxdpdpe hN Z ji iiyix m 2 22 2 1 1 Q m N dpdqedqehN N r N iy p ix p m ji ij 2 1 1 22 2 1 2 其中 定义 n r drdrdreQ ji ij 21 1 ij r ij ef n ji ijn ji ij drdrfdrdrdrfQ 121 1 1 只保留前部分 2112 2 11 drdrfVdrdrfdrdrfS N nij ji nij N 其中 变量代换 2112 2 2 2 drdrfS N SQ NN 1221 2 rrrrrR drfS N SQ NN 12 1 2 2 据式 9 5 3 drf S N SNdrf V N SNQ 12 2 12 2 2 ln 2 1lnlnln S B kNTdrf S N NTkPV S QZ P1 2 1 ln1ln1 12 习题习题 9 99 9 利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数 从而求内能和熵 Zln 解解 式 3 9 4 i e e eZ 1 lnlnln 2 0 德拜频谱 B N D 9 3 对于振动 1 ln 1 lnlnln 2 0 2 0 0 2 0 xd e e B dD e e eZ D D 代换 dxxe B dB DD x2 00 3 2 0 1ln 2 3 4 0 3 4 0 1 5153 1 D N U B U 计算略S 高温近似 T0 3 ln 1 lnln 3 0 0 2 0 0 dBdBZ DD D dB ab 0 2 0 3 0 3 1 ln 3 BB DD 9 ln 3 33 0 计算略 NN ln3 0 习题习题 9 79 7 仿照三维固体的地拜理论 计算长度为的线形原子链在高温和低温下的内能和L 热容量 解解 一维线形原子链 1 0 2 nLnkck 共有个振动 存在最大频率 cLddDLdkdn2 2 N D LNcNd c L NdD D D 2 2 0 令 d e c L Ud e DUU kTkT 1 00 2 kTdxdxkT 12 1 2 22 0 22 0 xx e xdx c kLT U e dxxTk c L UU 高温近似 kNTUdx c kLT UUx 0 22 0 2 1 低温近似其中 D e x kNTUdx c kLT UU x 6 2 22 0 1 22 0 DD k 习题习题 9 89 8 仿照三维固体的德拜理论 计算长度为L L的线形原子链 一维晶体 在高温和低 温下的内能和热容量 解解 二维 面积S S内 波矢范围内辐射场振动自由度为 yxdk dk 22 44 skdkd dksdk yx 横波按频率分布为 d c S d Skdk 2 1 2 0 2 24 纵波按频率分布为 d