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文档简介

2 矩阵在初等变换下的标准形 3不变因子 1 矩阵 4矩阵相似的条件 6若尔当 Jordan 标准形的理论推导 5初等因子 第八章 矩阵 1 一 行列式因子 二 不变因子 8 3不变因子 2 1 定义 一 行列式因子 注意 级行列式因子 determinantdivisor 的首项系数为1的最大公因式称为的 中必有非零的级子式 中全部级子式 设 矩阵的秩为 对于正整数 若秩 则有个行列式因子 3 各级行列式因子 1 定理3 等价矩阵具有相同的秩与相同的 即初等变换不改变 矩阵的秩与行列式因子 2 有关结论 4 证 只需证 矩阵经过一次初等变换 秩与行 列式因子是不变的 设经过一次初等变换变成 与 分别是与的k级行列式因子 下证 分三种情形 5 此时的每个级子式 或者等于的某个级子式 或者与的某个 因此 是的级子式的公因式 1 从而 级子式反号 6 2 或者等于的某个级子式 此时的每个级子式 因此 是的级子式的公因式 从而 或者等于 级子式的c倍 的某个 7 此时中包含两行的和不包含 3 级子式与中对应的级子式相等 中包含行但不包含行的级子式 按行分成的一个级子式与另一个级子式 的倍的和 即为的两个级子式的组合 行的那些 8 从而 因此是的级子式的公因式 同理可得 9 2 若矩阵的标准形为 其中为首1多项式 且 则的级行列式因子为 10 证 与等价 完全相同 则这个级子式为零 在中 若一个级子式包含的行 列指标不 与有相同的秩与行列式因子 级子式 所以只需考虑由行与列组成的 即 11 而这种级子式的最大公因式为 所以 的级行列式因子 12 证 设矩阵的标准形为 3 定理4 矩阵的标准形是唯一的 其中为首1多项式 且 13 于是 即由的行列式因子所唯一确定 由 2 的级行列式因子为 所以的标准形唯一 14 4 秩为的矩阵的个行列式因子满足 15 1 定义 二 不变因子 矩阵的标准形 称为的不变因子 invariantdivisor 的主对角线上的非零元素 16 1 定理5 矩阵 等价 有相同的不变因子 2 有关结论 有相同的行列式因子 17 有相同的标准形 证 必要性显然 只证充分性 所以与等价 若与有相同的行列式因子 则 与也有相同的不变因子 从而与 18 则 为一非零常数 的第n个行列式因子 证 若可逆 因子全部为1 的标准形为单位矩阵 即 与等价 2 若的矩阵可逆 则的不变 19 又的n个行列式因子满足 从而不变因子 所以 的标准形为 20 注意可逆与等价 21 矩阵的乘积 3 定理6 可逆可表成一些初等 证 可逆与等价 22 存在一个可逆矩阵与一个可逆 推论两个的矩阵 等价 矩阵 使 23 例1求矩阵的不变因子 解 的非零1级子式为 24
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