数学美欣赏-3.3--数学中的神秘.doc

数学美欣赏第5讲3. 3 数学中的神秘 数学中有许多新奇、巧妙而又神秘的东西吸引着人们，这是数学的趣味、魅力所在，它们“像甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跳进了数学的深河” 在数学的各种问题中，最显见、最简单、最令人感到神秘的莫过于数的性质问题了 人类社会中，数是一种最独特，但又最富于神秘性的语言生产的计量、进步的评估、历史的编年、科学的构建、自然界的分类、人类的繁衍、生活的规划、学校的教育、， 无不与数有关 远在古代, 人们就已对数产生了某种神秘感. 在古希腊的毕达哥拉斯学派眼中，数包含着异常神奇的内容有些民族根据数的算术属性，对自然界和人类社会的现象给出了神秘的解释，尽管其中不无荒诞、牵强. 这些事实反过来告诉我们, 自古以来, 人们对数就有着特殊的感情数除了用于计量，人们还附加给它许多文化内涵 数字的许多颇具魅力、令人赞赏的性质，使许多大科学家、文学家、艺术家们大为感慨伽利略曾说：“数学是上帝用来书写宇宙的文字” 公元前三百多年，古希腊数学家欧几里得在几何原本的第九章中，有这样一段奇妙的记载：在自然数中，我们把恰好等于自身的全部真因子之和的数，叫做完全数像，和这四个数就是完全数请看：的全部真因子之和恰好等于(也是丢番图方程的唯一解), 而的全部真因子之和同样，和也有相同的性质 多么美妙! 难怪有人把它们称为自然数中的瑰宝宗教学者将它们视为宇宙经纬的一部分：上帝创造世界用了天，月亮绕地一周需天但是，完全数的神奇之处并不仅限于此，数学家们还在这些个稀少的数中发现了更令人惊叹的特性请看：(1)；，;(2);,；(3)除外, ;，；(4)完全数的全部因子的倒数和都等于(其实与上面性质无异，只是另一种表述而已)：对: (用除的两边, 两边再加); 对: ；(用除的两边, 两边再加);具有这些许许多多奇妙的特性，这些数真无愧于完全数的美称! 然而，惊叹之余，数学家们还有更高的“奢望”，那就是如何寻找出新的(甚至全部)完全数这方面的先师仍要首推欧几里得 他在几何原本的第九章中，给出了一个命题：若为质数，则是一个完全数(事实上, 等于其全部真因子之和：)该命题为后人寻找新的完全数提供了信息但是，自然数浩如烟海，而完全数仅沧海一粟. 在这渺茫的数海中，寻求它们(纵然是找型的质数)谈何容易! 人们经过了千余年的探索，结果仍是“上穷碧落下黄泉，两处茫茫皆不见”直至1460年， 人们偶然发现, 在一位无名氏的手稿中, 竟神秘地给出了第个完全数： 此后，法国数学家梅森在寻找型的质数(称为梅森质数)上有了突破，几个新的完全数陆续被发现 1730年, 欧拉又给出一个令人振奋的结论，即: 若是一个偶完全数，则必有的形状这一成就, 使得梅森质数和偶完全数之间建立起了对应关系，也使欧拉和欧几里得在完全数的研究领域中平分秋色令人遗憾的是，到目前为止，人们仅找到了个完全数(它们恰好与梅森质数对应)，并且它们都是偶数是否存在奇完全数? 完全数是否有无穷多个? 这仍是待解之谜 1953年，人们发现, 奇完全数若存在，它必为或型的数(为自然数) 1972年, 有人证明：奇完全数只能在大于的数中找，且它必为形式，其中为奇质数，和为整数(但你仍不敢贸然说它不存在)1990年, 这个下限已增至(具体情况见下表) 1975年, 有人从另一角度研究奇完全数并指出：奇完全数的质因子个数不少于个，且最大质因数不小于到1983年, 质因子个数的下界提高到个(若它不是个的话) 1994年, 英国人布朗还证得：若奇完全数存在且有个因子，则它小于我们再来看看亲和数的奇妙性质纪元前的一些人类部落把和两个数字奉若神明男女青年择偶时，往往先把这两个数分别写在不同的木签上，他们若分别抽到了和，便被确定结为终生伴侣；否则，他们天生无缘，只有分道扬镳这种缔婚方式固然是这些部落的陋俗，但在某种迷信色彩的背后，却隐匿着人们对于这两个数字的敬畏表面上，这两个数字似乎没有什么神秘之处，其实不然：的全部正整数真因子之和恰好等于；而的全部正整数真因子之和又恰好等于这真是绝妙的吻合! 一般地, 若和是两个不同的自然数, 的真因数的和是, 的真因数的和是, 则和就称为一对亲和数. 因此, 和是一对亲和数. 也许有人认为，这种吻合极其偶然, 抹去神秘的面纱，很难有什么规律蕴含于其中其实恰恰相反，这偶然的吻合引起了数学家们的极大关注. 他们花费了大量的精力进行研究、探索，终于发现，亲和数对不唯一，它们在自然数中构成了一个独特的数系 第一对亲和数也是最小的一对，是毕达哥拉斯于2000多年前发现的第二对亲和数是1636年由法国业余数学家费马找到的第三对亲和数于1638年被法国数学家笛卡儿发现(真正的第二对亲和数的发现者为意大利人帕格尼尼，时间是1866年)1750年，数学大师欧拉一连气竟找出了对亲和数! 迄今为止，人们已经找出了如和，和，和等大约对亲和数 到1974年为止， 人们所知的一对最大的亲和数是和. 从两个数字偶的相关性竟引出了数论中的一个丰富的数系，这确实令人惊叹不已! 这也是这些数字自身的神秘之美使然其实，在数学史上，类似亲和数对这样的趣谈不胜枚举 寻求亲和数有许多办法，阿拉伯数学家们叙述了这样一个办法：对于, 若，只要、全是质数，则数偶即为亲和数对 比如, 时, , , , 于是, , 这样就产生了亲和数对此公式仅给出两个数皆为偶数的亲和数对. 是否存在一个数为奇数、一个数为偶数的亲和数对，至今未有定论 正像人们对美的追求从不间断、从不停歇一样，人们对数学中的许多美妙概念也不断翻新. 人们已把亲和数对推广成亲和数链，链中每一个数的真因子之和等于下一个数，而最后一个数的真因子之和等于第一个数(因而形成封闭的链)比如, 、和是三环链的亲和数链又如，和是五环链的亲和数链. 再如：、和、是两条四环亲和数链 1965年, 滑铁卢大学的福赖尔发现了一个以打头的有环的亲和数链此外人们还研究了半亲和数等问题 说来道去，数论中最古老、最年轻、最有活力的话题便是质数了质数与合数的研究自古以来就为人们所偏爱，这也正是数论这门学科至今不衰的缘由质数有无穷多，这点早为古希腊学者欧几里得发现并证得然而，人们一直试图努力的是，找到表示质数的解析式 ，当是合数时它是合数；反过来，当是质数时，它却不一定是质数为了完全数的寻找，有人将目光移到型质数(梅森质数)的寻找上1644年，法国一个名叫梅森的人宣称(刊于1644年出版的物理学与数学的深思一书)：当，时，都是质数这一发现曾轰动当时的数学界，据说连欧拉对此也极感兴趣其实梅森本人只验算了前面七个，后面四个虽未经验算(它的计算量很大)，但人们似乎对之笃信不疑1903年，在纽约的一次科学报告会上，哥伦比亚大学的数学家科尔做了一次无声的报告， 他在黑板上先算出，接着又算出，两个结果相同他一声不响地回到了座位上，会场上却立刻响起了热烈的掌声(据说这是该会场中的第一次)他否定了是质数这个两百年来为人们所坚信的结论 短短的几分钟，花去了这位数学家三年的全部星期天！无独有偶，波兰数学大师施坦因豪斯曾在其所著的数学一瞥中写道：有七十八位的数是合数，可以证明，它有因子，但其因子尚不知道这个结论是克拉奇科在1922年1923年间花了近个小时才证出来的. 类似的例子还有, 如是个位数，知道它有两个质因子(其中一个至少有位)，但人们却不知道它是什么又如，人们知道了它的一个最小的质因子(它有位)，但人们仍不知它的其它因子是什么) 计算机问世(1946年)之后，情况有些改变. 对于某些单调、重复而繁琐的计算，可让机器去完成1952年，人们在SWAC计算机上仅花了秒时间，便找到的一个因子 如前所述, 质数虽是一个古老的数学概念，但至今仍有许多有关质数的性质人们还没有认识，比如, 某些特殊形状的数中的质数问题就一直引吸着许多研究者 若用()表示个组成的位数，请问其中有无质数? 若有，其中最大的是多少? 对前一个问号回答是肯定的，例如11就是一个后一问实际上是说：形如的质数是有限个还是无穷个，这是人们正在探索的一个课题 有人对的所有数进行检验后发现，除了，和外都是合数读者也许注意到，2，19，23，317都是质数，这里是否是巧合? 不，我们可以证明，只有是质数时，才有可能是质数. 换句话讲，是合数时，一定是合数(质数在整数中分布稀少，而某些特殊质数则更稀少，这也是此类问题更有诱惑力的原因). 20世纪80年代初，人们已知的形如的最大质数是，这是美国的威廉斯发现的，它是在质数发现之后五十年才找到的，这一发现曾轰动一时质数是一个人们永远也谈不完的话题形如的质数实在有一种自身的美感(整齐、单一)，而下面形状的质数(它由形状的数构成)也同样给人一种美的享受(顺序、规则，既是形式上的，也是诗一般的)： ， ， ， . 诗，以其简练的语言，深邃的意境，给人以无穷的暇想人们爱诗是因为它美诗的形式多种多样，古诗中有五言、七言，又有律诗、绝句等等古人还喜欢以文字做游戏，回文诗便是其中的一种. 这种诗正念反读，均成篇章如晚秋即景七绝： 正 念 反 读烟霞映水碧迢迢 萧萧冷树古城边暮色秋声一雁遥 晚照残辉落岑前前岑落辉残照晚 遥雁一声秋色暮边城古树冷萧萧 迢迢碧水映霞烟 有趣的是, 在数学中也有回文质数的研究. 回文质数是指这样的数, 该数为质数，而该数的各数字倒过来写(逆序)也是质数. 例如, 倒过来写是，而和都是质数，这便是一对回文质数人们还找到了和，和，和，和等回文质数. 可是，究竟有多少回文质数, 至今仍是未揭开的谜 如果回文质数中无相同的数字，则称它为无重回文质数. 如和，和等都是无重回文质数但和不是无重回文质数. 质数在分布上有何性质? 人们已对此问题作过深入的研究: 它无限多，且分布越来越稀疏此外，还有无别的分布性质? 当然有! 下面, 我们来看看质数分布的乌拉姆现象美国数学家乌拉姆在一次不感兴趣的科学报告会上，为了消磨时间, 便在一张纸上把，按反时针方向排成螺旋状. 当他把图表上的全部质数都画出来时，惊奇地发现：这些质数都排在一条条直线上! 大于的整数是否也有这种现象? 散会之后，他用计算机把的全部整数按反时针螺旋式地打印在纸上，当他把其中的质数标出的时候，上述现象仍然存在这便是有名的乌拉姆现象数学家们还从乌拉姆现象中发现了质数的许多有趣性质 合数可唯一分解成质因数的乘积，那么合数用质数的和表示，会有什么结论呢? 这便是数论中的堆垒质数问题比如哥德巴赫猜想等问题即属此类这类问题貌似简单，因而不少人曾跃跃欲试(当然, 从这一点本身，也说明问题的奇妙与魅力)，但其涉及的内容似乎远大于人们的想象 1742年, 德国人哥德巴赫写信给住在俄国彼得堡的数学家欧拉，问：“是否每个不小于的偶数均可表为两个奇质数之和，任何不小于的奇数均可表为三个奇质数之和？”，欧拉在复信中写道：任何大于的偶数都是两个奇质数之和，虽然我不能证明它，但我确信这个结论是完全正确的 这便是哥德巴赫猜想它虽貌似简单，但在整个19世纪, 人们对猜想的研究没有任何进展，尽管有人做了许多具体的验证工作(经计算, 已发现以内的偶数均无例外) 数学的力量是抽象，但是抽象只有覆盖了大量的特例时才是有用的1912年, 德国数学家兰道在一次国际数学大会的报告中说：即使要证明任何大于的正整数，都能表示成个质数之和，也是现代数学力所不能及的下面, 我们罗列一些让人百看不厌，又百思不得其解的奇妙等式：上面列举的仅是数字中的奇妙现象的某些特例，这只是沧海一粟、冰山一角而已其一般情形如何? 人们尚不得而知然而仅就这些，就足以令我们感叹，足以说明数本身蕴涵着无穷的奥秘. 人们所认识的永远仅仅是奥妙的点滴、魅力的些微!下面的两组数字及它们变换后的有趣现象，让你看后会为其中的奥妙赞叹不已(婉如魔术般神奇和美妙)!注意以下的两组和相等的六位数：.它们同时又满足：抹掉两组数中每个数的首位数，结果仍有下面的等式：,.重复上面的作法, 我们依然有：,;, ;, ;, .更使人惊奇的是：若将上面每次抹去首位数字改为抹去末位数字，这种结论依然成立：, ;, .再看和两组数字，它们的次方、次方、次方幂和都相等:,它们的次方幂和如下. 下面，我们再介绍一种新近发现、鲜为人知的数史密斯数说起它的发现，也是一个偶然的机会美国数学家威兰斯基在与其姐夫史密斯打电话时，发现他的电话号码是一个怪数：(素因子分解)，因而的各位数字之和恰好等于它的全部素因子的各位数字之和：.数学家潜心于此类数的研究，发现还有不少自然数有此性质，于是便将这类数命名为史密斯数最小的史密斯数是，接下来的几个史密斯数是，：经计算后人们发现：之间共有个史密斯数；之间共约有个史密斯数密苏里大学的麦克唐纳证明：史密斯数有无穷多个最近，有人给出能产生史密斯数的公式(当然它不能产生全部史密斯数)波多黎各大学的奥尔蒂卡和韦兰德还利用大质数，给出了一个万位以上的史密斯数这种数的研究据悉与全部由1组成的数有关，即若()是质数，则是一个史密斯数人们期望着从中可以获得这类数的更多信息史密斯数还有哪些性质? 它又有何用途? 人们正在研究中我们再来看看分数分数与整数一样，其中也存在着许多奇妙而有趣的现象，它们当然也为数学之美添上浓重的一笔在算术里, 我们学过循环小数，这种小数