第十三章_整式的加减

尤新教育辅导学校 1 第十三章 整式的乘除第十三章 整式的乘除 13 1 13 1 幂幂 乘方 的运算 乘方 的运算 一 知识点 1 同底数幂的乘法 底数不变 指数相加 2 幂的乘方 底数不变 指数相乘 3 积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 4 同底数幂的除法 底数不变 指数相减 二 学习过程 1 按教材的思路讲解并归纳相关的知识点 2 和学生一起完成课后习题 三 例题及习题 教材中的题目 13 2 13 2 整式的乘法整式的乘法 一 知识点 1 单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘 只要将它们的系数 相同字母 的幂分别相乘 对于只在一个单项式中出现的字母 则连同它的指数一起作 为积的一个因式 2 单项式与多项式相乘 只要将单项式分别乘以多项式的每一项 再将所得的 积相加 3 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每 一项 再把所得的积相加 二 学习过程 尤新教育辅导学校 2 1 按教材的思路讲解并归纳相关的知识点 2 和学生一起完成课后习题 三 例题及习题 尤新教育辅导学校 3 教材中的题目 13 3 13 3 乘法公式乘法公式 一 知识点 1 两数和乘以这两数的差 a b a b a 2 b 2 两数和与这两数差的积 等于这两数的平方差 2 两数和的平方 a b 2 a 2 2ab b 2 两数和的平方 等于它们的平方和 加上这两数积的 2 倍 让同学想一下两数差的平方 二 学习过程 1 按教材的思路讲解并归纳相关的知识点 2 和学生一起完成课后习题 三 例题及习题 教材中的题目 整式的乘法整式的乘法 同步练习同步练习 基础能力训练基础能力训练 一 单项式乘以单项式一 单项式乘以单项式 1 判断 1 7a3 8a2 56a6 2 8a5 8a5 16a16 3 3x4 5x3 8x7 4 3y3 5y3 15y3 5 3m2 5m3 15m5 2 下列说法完整且正确的是 A 同底数幂相乘 指数相加 B 幂的乘方 等于指数相乘 C 积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 D 单项式乘以单项式 等于系数相乘 同底数幂相乘 尤新教育辅导学校 4 3 8b2 a2b A 8a2b3 B 8b3 C 64a2b3 D 8a2b3 4 下列等式成立的是 A x2 3 4x 2 2x2 8 B 1 7a2x ax4 1 1a3x5 2 1 7 1 C 0 5a 3 10a3 3 5a4 5 D 2 108 5 107 1016 5 下列关于单项式乘法的说法中不正确的是 尤新教育辅导学校 5 A 单项式之积不可能是多项式 B 单项式必须是同类项才能相乘 C 几个单项式相乘 有一个因式为 0 积一定为 0 D 几个单项式的积仍是单项式 6 计算 xn n 36xn A 36xn B 36xn3 C 36xn2 n D 36x2 n 7 计算 1 2 5x3 2 4x3 2 104 5 105 3 102 3 a2b3c4 xa2b 3 8 化简求值 3a3bc2 2a2b3c 其中 a 1 b 1 c 2 1 二 单项式乘以多项式二 单项式乘以多项式 9 下列说法正确的是 A 多项式乘以单项式 积可以是多项式也可以是单项式 B 多项式乘以单项式 积的次数等于多项式的次数与单项式次数的积 C 多项式乘以单项式 积的系数是多项式系数与单项式系数的和 D 多项式乘以单项式 积的项数与多项式的项数相等 10 判断 尤新教育辅导学校 6 1 3x y x y 3 1 2 3x x y 3x2 3xy 3 3 m 2n 1 3m 6n 1 4 3x 2x2 3x 1 6x3 9x2 3x 5 若 n 是正整数 则 2n 32n 1 32n 1 3 1 3 10 11 若 x 3x 4 2x x 7 5x x 7 90 则 x 等于 A 2 B 2 C 1 2 D 1 2 尤新教育辅导学校 7 12 下列计算结果正确的是 A 6xy2 4x2y 3xy 18xy2 12x2y B x 2x x2 1 x3 2x2 1 C 3x2y 2xy 3yz 1 6x3y2 9x2y2z 3x2y D an 1 b 2ab an 2 ab2 4 3 2 1 2 3 13 x y z y z x z x y 的计算结果是 A 2xy 2yz 2xz B 2xy 2yz C 2xy D 2yz 14 计算 1 a 3b 6a 2 xn xn 1 x 1 3 5a a 3 a 3a 13 4 2a2 ab b2 5ab a2 1 2 1 三 多项式乘以多项式三 多项式乘以多项式 15 判断 1 a 3 a 2 a2 6 2 4x 3 5x 6 20 x2 18 3 1 2a 1 2a 4a2 1 4 2a b 3a b 6a2 5ab b2 5 am n m n am2 n2 m n m 0 n 0 且 m n 16 下列计算正确的是 A 2x 5 3x 7 6x2 29x 35 B 3x 7 10 x 8 30 x2 36x 56 C 3x x 3x2 x D 1 x x 1 x 2 x 2 2x2 3 2 1 3 1 2 1 6 1 17 计算结果是 2x2 x 3 的是 A 2x 3 x 1 B 2x 1 x 3 尤新教育辅导学校 8 C 2x 3 x 1 D 2x 1 x 3 18 当 a 时 代数式 a 4 a 3 a 1 a 3 的值为 3 1 尤新教育辅导学校 9 A 34 3 B 10 C 10 D 8 19 计算 1 x 2y x 3y 2 x 1 x2 x 1 3 2x 9y2 x2 5y 4 2a2 1 a 4 a2 3 2a 5 3 1 综合创新训练综合创新训练 一 创新应用一 创新应用 20 已知 x 5 y 4 求代数式 3 x y 3 x y 2 x y 7 4 7 3 2 1 x y 2的值 21 当 x 2 005 时 求代数式 3x2 x2 2x 3 3x x3 2x2 3x 2 005 的值 尤新教育辅导学校 10 二 开拓探索二 开拓探索 22 已知单项式 9am 1bn 1与 2a2m 1b2n 1的积与 5a3b6是同类项 求 m n 的 值 23 解方程 x 1 x 3 x 2x 3 x2 1 24 解不等式 3x 4 3x 4 9 x 2 x 3 三 实际应用三 实际应用 25 求图中阴影部分的面积 图中长度单位 米 26 长方形的长是 a 2b cm 宽是 a b cm 求它的周长和面积 四 生活中的数学四 生活中的数学 27 李老师刚买了一套 2 室 2 厅的新房 其结构如下图所示 单位 米 施工 尤新教育辅导学校 11 方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖 李老师打算把卧室 1 铺上 地毯 其余铺地板砖 问 1 他至少需要多少平方米的地板砖 2 如果这种地砖板每平方米 m 元 那么李老师至少要花多少钱 尤新教育辅导学校 12 五 探究学习五 探究学习 小明找来一张挂历画包数学课本 已经课本长 a 厘米 宽为 b 厘米 高为 c 厘米 小明想将课本封面与底面的每一边都包进去 m 厘米 问小明应在挂历上 裁下一块多大的长方形 答案 答案 基础能力训练 1 1 2 3 4 5 2 C 3 D 4 D 5 B 6 C 7 1 25x9 2 15 1011 3 a10b11c12x3 8 化简得 6a5b4c3 把 a 1 b 1 c 代入得 2 1 4 3 9 D 10 1 2 3 4 5 11 B 12 C 13 B 14 1 6a3 18ab 2 x2n 1 xn 1 xn 3 8a2 2a 4 6a3b 2a2b2 5ab 15 1 2 3 4 5 16 A 17 A 18 D 19 1 x2 xy 6y2 2 x3 2x2 2x 1 3 x3 10 xy 3x2y2 45y3 3 2 4 3a2 7a 19 综合创新运用 20 3 x y 3 x y 2 x y x y 2 2 1 7 2 3 x y 3 x y 4 x y 2 x y 2 尤新教育辅导学校 13 343 2 x y 5 x y 3 尤新教育辅导学校 14 把x 5 y 4 代入得 25 600 000 7 4 7 3 21 3x2 x2 2x 3 3x x3 2x2 3x 2 005 3x4 6x3 9x2 3x4 6x3 9x2 2 005 2 005 不用再将 x 2 005 代入了 无论 x 取何值 该代数式都等于 2 005 22 9am nbn 1 2a2m 1b2n 1 9 2 am 1 a2m 1 bn 1 b2n 1 18a3mb3n 因与 5a3b6是同类项 所以 3m 3 3n 6 解得 m 1 n 2 23 去括号 得 x2 3x x 3 2x2 3x x2 1 移项得 x2 3x x 2x2 3x x2 1 3 合并同类项得 5x 4 系数化为 1 得 x 5 4 24 去括号 得 9x2 12x 12x 16 9x2 27x 18x 54 移项 得 27x 18x 54 16 合并同类项 得 9x 38 x1 B x 2 C x 1 或 x 2 C x 1 且 x 2 24 与 anb2相乘的积为 5a2n 3b2n 3的单项式是 二 二 开放探索开放探索 25 若 xm x2n 3 xm n与 4x2为同类项 且 2m 5n 7 求 4m2 25n2的值 26 化简求值 x4y7 x3y8 x2y6 xy3 2 其中 x 1 y 2 4 3 2 1 9 1 3 1 尤新教育辅导学校 21 尤新教育辅导学校 22 27 2006 年 9 月 我国新发射的实验卫星 进入预定轨道后 2 102 秒走过的路 程是 1 58 107米 那么该卫生绕地球运行的速度是多少 答案 答案 基础能力训练 1 D 2 C 3 C 4 D 5 A 6 1 m6 2 a3 3 8 4 6m 3 7 1 a8 2 a b 3 8 1 7 10 5 2 4 025 10 3 3 1 537 102 4 8 57 108 9 1 1 2 10 3 13 2 10 A 11 A 12 B 13 A 14 1 25a2b6c10 2 64a8b5c 15 20 000 16 A 17 B 18 A 19 1 mn 12m3 n 2 2 8x3 4x2 2x 2 3 2 1 20 2 1013秒 21 4ab 4a 6b 综合创新应用 22 1 xm n xm xn 8 5 5 8 2 先求得 103m 10m 3 33 27 102n 10n 2 22 4 所以 103m 2n 103m 102n 27 4 4 27 23 D 解析 若保证 x 1 0 3 x 2 0有意义 必须满足 x 1 0 且 x 2 0 即 x 1 且 x 2 24 5an 3b2n 1 解析 用 5a2n 3b2n 3 anb2 5an 3b2n 1 25 xm x2n 3 xm n xm 2n 3 xm n x3m 6n xm n x2m 5n 因它与 4x2为同类项 所以 2m 5n 2 又 2m 5n 7 所以 4m2 25n2 2m 2 5n 2 2m 5n 2m 5n 7 2 14 26 化简 得 x2y xy2 1 把 x 1 y 2 代入得 4 27 2 9 2 11 27 速度 1 58 107 2 102 0 79 105 7 9 104 m s 尤新教育辅导学校 23 13 5 13 5 因式分解因式分解 一 知识点 1 因式分解过程正好与整式的乘法相反 它是把一个多项式化为几个整式的积 的形式 2 把一个多项式化为几个整式的积的形式 叫做多项式的因式分解 factorization 3 提公因式法 多项式 ma mb mc 中的每一项都含有一个相同的因式 m 我 们称之为公因式 common factor 把公因式提出来 多项式 ma mb mc 就可 以分解成两个因式 m 和 a b c 的乘积了 像这种因式分解的方法 叫做提公 因式法 4 公式法 将乘法公式反过来用 对多项式进行因式分解 可以运用整式乘法来检验因式分解的正确性 5 按系数分解 6 按次数分组 7 展开后再分组 8 拆 添项后再分组 9 换元法 二 学习过程 1 按教材的思路讲解并归纳相关的知识点 2 和学生一起完成课后习题 3 知识拓展 三 例题及习题 教材中的题目 按系数分解 例例 分解因式 x3 3x2 3x 9 分析分析 第 1 2 项和 3 4 项的系数之比 1 3 把它们按系数分组 解解 原式 x3 3x2 3x 9 x2 x 3 3 x 3 x 3 x2 3 按次数分组 尤新教育辅导学校 24 例例 分解因式 m2 2m n 3m 3n n2 分析分析 第 1 2 5 项是二次项 第 3 4 项是一次项 按次数分组后能用公式和提 取公因式 解解 原式 m2 2m n n2 3m 3n m n 2 3 m n m n m n 3 按乘法公式分组 分析 第分析 第 1 3 4 项结项结合正好是完全平方公式 分合正好是完全平方公式 分组组后又与第二后又与第二项项用平方差公式 用平方差公式 展开后再分组 例例 分解因式 ab c2 d2 cd a2 b2 分析分析 将括号展开后再重新分组 解解 原式 abc2 abd2 cda2十 cdb2 abc2 cda2 cdb2 abd2 ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd 拆项后再分组 例例 分解因式 x2 y2 4x 2y 3 分析分析 把常数拆开后再分组用乘法公式 解解 原式 x2 y2 4x 2y 4 1 x2 4x 4 y2 2y 1 x 2 2 y 1 2 x y 1 x y 3 添项后再分组 例例 分解因式 x4 4 分析分析 上式项数较少 较难分解 可添项后再分组 解解 原式 x4 4x2 4x2 4 x2 2 2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 换原法 例例 8 分解因式 x2 3x 2 x2 3x 4 16 分析分析 将令 y x2 3x 则原式转化为 y 2 y 4 16 再分解就简单了 解解 令 y x2 3x 则 原式 y 2 y 4 16 y2 2y 24 y 6 y 4 因此 原式 x2 3x 6 x2 3x 4 x 1 x 4 x2 3x 6 经经典典练习练习 10 道道题题 尤新教育辅导学校 25 例 1 下列从左到右的变形 属于因式分解的有 A x 3 x 2 x2 x 6B ax ay 1 a x y 1 C 8a2b3 2a2 4b3D x2 4 x 2 x 2 分析 本题考查因式分解的意义 考查学生对概念的辨析能力 要将各个 选择项对照因式分解的定义进行审查 A 是整式乘法 显然不是因式分解 B 的右端不是积的形式 也不是因式分解 C 的左端是一个单项式 显然不是因 式分解 D 是将一个多项式化成两个整式的积 符合因式分解的定义 所以 选 D 尤新教育辅导学校 26 2把 3ay 3by 3y 分解因式 解 原式 3y a b 1 3把 4a3b2 6a2b 2ab 分解因式 解 原式 4a3b2 6a2b 2ab 2ab 2a2b 2ab 3a 2ab 1 这一步要记得变号 2ab 2a2b 3a 1 这一步不要漏提最后 的 1 4把 2p2 p2 q2 6pq p2 q2 分解因式 解 原式 2p p2 q2 p 3q 这里很容易漏掉 p 5把 5 x y 2 10 y x 3分解因式 解 原式 5 x y 2 10 x y 3 公式 x y n y x n n 为奇数 x y n y x n n 为偶数 5 x y 2 1 2 x y 因式分解要彻底 最后的答案要化简 5 x y 2 1 2x 2y 6把下列各式分解因式 1 4x2 9 2 x xy2 3 x4 1 4 n2 2m2 2 1 解 1 原式 2x 2 32 2x 3 2x 3 2 原式 x 1 y2 要先提公因式 x 1 y 1 y 然后再用公式 3 原式 x2 1 x2 1 分解一定要彻底 x2 1 x 1 x 1 所以 4 原式 n2 4m2 提出 后出现符合平方差公式的式子 2 1 2 1 n 2m n 2m 2 1 7把下列各式因式分解 尤新教育辅导学校 27 1 x2 4x 4 2 a b 2 2 a b 1 3 x2 y2 2 4x2y2 解 1 原式 x2 4x 4 x 2 2 2 原式 a b 1 2 3 原式 x2 y2 2xy x2 y2 2xy 先用平方差公式 x y 2 x y 2 再用完全平方公式 8分解因式 7x2 3y xy 21x 解法 1 7x2 3y xy 21x解法 2 7x2 3y xy 21x 7x2 xy 3y 21x 7x2 21x xy 3y x 7x y 3 7x y 7x x 3 y x 3 7x y x 3 x 3 7x y 总结 分组的方法不是唯一的 但也并不是任意的 分组时要目标明确 首先应当使分组后每组都可以分解因式 其次每组分解因式后各组合在一 起又可以分解因式 9把下列各式分解因式 1 1 x2 4xy 4y2 2 x2 4xy 4y2 3x 6y 解 1 原式 1 x2 4xy 4y2 1 x 2y 2 1 x 2y 1 x 2y 2 原式 x2 4xy 4y2 3x 6y 分成两组后一组用完全平方公 式 x 2y 2 3 x 2y 另一组可提公因式 x 2y x 2y 3 10 思维训练 分解因式 x2 2xy y2 2x 2y 1 解 原式 x2 2xy y2 2x 2y 1 分成三组 x y 2 2 x y 1 形成完全平方式的形式 x y 1 2 直击中考 知识考点 因式分解是代数的重要内容 它是整式乘法的逆变形 在通分 约分 解方程以 及三角函数式恒等变形中有直接应用 重点是掌握提取公因式法 公式法 分组 分解法 十字相乘法 学了一元二次方程后掌握 四种基本方法 难点是根据题 尤新教育辅导学校 28 目的形式和特征恰当选择方法进行分解 以提高综合解题能力 精典例题 例 1 分解因式 1 33 xyyx 2 xxx27183 23 3 11 2 xx 4 32 24xyyx 分析 因式分解时 无论有几项 首先考虑提取公因式 提公因式时 不仅注 意数 也要注意字母 字母可能是单项式也可能是多项式 一次提尽 当某项完全提出后 该项应为 1 注意 nn abba 22 1212 nn abba 尤新教育辅导学校 29 分解结果 1 不带中括号 2 数字因数在前 字母因数在后 单项式在前 多 项式在后 3 相同因式写成幂的形式 4 分解结果应在指定范围内不能再分解 为止 若无指定范围 一般在有理数范围内分解 答案 1 yxyxxy 2 2 33 xx 3 21 xx 4 yxyx 22 2 例 2 分解因式 1 22 103yxyx 2 3223 1222xyyxyx 3 2 2 2 164xx 分析 对于二次三项齐次式 将其中一个字母看作 末知数 另一个字母视为 常数 首先考虑提公因式后 由余下因式的项数为 3 项 可考虑完全平方式或 十字相乘法继续分解 如果项数为 2 可考虑平方差 立方差 立方和公式 3 题 无公因式 项数为 2 项 可考虑平方差公式先分解开 再由项数考虑选择方法继 续分解 答案 1 yxyx52 2 yxyxxy232 3 22 22 xx 例 3 分解因式 1 222 44zyxyx 2 babaa 23 22 3 3222 22 yxyxyx 分析 对于四项或四项以上的多项式的因式分解 一般采用分组分解法 四项式 一般采用 二 二 或 三 一 分组 五项式一般采用 三 二 分组 分组后再试用 提公因式法 公式法或十字相乘法继续分解 答案 1 zyxzyx 22 三 一分组后再用平方差 尤新教育辅导学校 30 2 112 aaba 三 二分组后再提取公因式 3 13 yxyx 三 二 一分组后再用十字相乘法 例 4 已知a b c是 ABC 的三边 且满足 acbcabcba 222 求证 ABC 为等边三角形 分析 此题给出的是三边之间的关系 而要证等边三角形 则须考虑证 cba 从已知给出的等式结构看出 应构造出三个完全平方式 尤新教育辅导学校 31 0 222 accbba 即可得证 将原式两边同乘以 2 即可 略证 0 222 acbcabcba 0222222 222 acbcabcba 0 222 accbba cba 即 ABC 为等边三角形 探索与创新 问题一 1 计算 2222 10 1 1 9 1 1 3 1 1 2 1 1 分析 此题先分解因式后约分 则余下首尾两数 解 原式 10 1 1 10 1 1 9 1 1 9 1 1 3 1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 1 10 11 10 9 9 10 8 9 4 3 3 2 2 3 2 1 20 11 2 计算 2222222 1219981999200020012002 分析 分解后 便有规可循 再求 1 到 2002 的和 解 原式 121219992000199920002001200220012002 2002 2001 1999 1998 3 1 2 200212002 2 005 003 跟踪训练 尤新教育辅导学校 32 一 填空题 1 2 2 9 n 2 2 2 a caba mm 1 2 分解因式 22 2yxyx 尤新教育辅导学校 33 187 2 xyx 2510 2 yxyx 3 计算 1998 2002 22 23274627 4 若 01 2 aa 那么 199920002001 aaa 5 如果 n 222 108 为完全平方数 则n 6 m n满足 042 nm 分解因式 nmxyyx 22 二 选择题 1 把多项式 baab 1 因式分解的结果是 A 11 ba B 11 ba C 11 ba D 11 ba 2 如果二次三项式 1 2 axx 可分解为 bxx 2 则 ba 的值为 A 1 B 1 C 2 D 2 3 若 22 169ymxyx 是一个完全平方式 那么m的值是 A 24 B 12 C 12 D 24 4 已知 1248 可以被在 60 70 之间的两个整数整除 则这两个数是 A 61 63 B 61 65 C 61 67 D 63 65 三 解答题 1 因式分解 1 11 8146 nnn xxx 2 8323 2 2 2 xxxx 3 1222 22 ababba 4 14321 xxxx 5 abba411 22 2 已知 02586 22 yyxx 求 yx32 的值 尤新教育辅导学校 34 3 计算 222222 12979899100 尤新教育辅导学校 35 4 观察下列等式 23 11 233 321 2333 6321 23333 104321 想一想 等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系 猜一猜可引出 什么规律 用等式将其规律表示出来 5 已知a b c是 ABC 的三边 且满足 224224 cabcba 试判断 ABC 的形状 阅读下面解题过程 解 由 224224 cabcba 得 222244 cbcaba 2222222 bacbaba 即 222 cba ABC 为 Rt 试问 以上解题过程是否正确 若不正确 请指出错在哪一 步 填代号 错误原因是 本题的结论应为 参考答案 一 填空题 1 n3 a2 caba m 2 2 yx 29 xx 2 5 yx 3 3 999 996 610 4 0 5 10 或 4 6 22 yxyx 二 选择题 DADD 尤新教育辅导学校 36 三 解答题 1 1 4312 1 xxxn 2 1421 xxxx 3 2 1 ba 4 2 2 55 xx 5 baabbaab 11 2 23 3 5050 尤新教育辅导学校 37 4 2 33333 2 1 4321 nn n 5 不正确 等式两边除以了可能为零的数 等腰或直角三角形 尤新教育辅导学校 38 整式的乘除单元测试整式的乘除单元测试 一 填空一 填空题题 每空 每空 3 分 共分 共 36 分 分 1 计算 53 aa 2 计算 2 23 a 3 计算 214 2 aba 4 计算 12 2 x 5 计算 3 2 xx 6 因式分解 25 2 xx 7 因式分解 4 2 x 8 因式分解 44 2 xx 9 计算 保留三个有效数字 1098 5 109 1 2427 10 有三个连续的自然数 中间一个是 x 则它们的积是 11 若多项式恰好是另一个多项式的平方 则 k 44 2 kxx 12 一块边长为 a 米的正方形广场 扩建后的正方形边长比原来长 2 米 问 扩建后的广场面积增大了 平方米 二 二 选择题选择题 每小 每小题题 4 分 共分 共 24 分 分 13 下列运算中正确的是 尤新教育辅导学校 39 A B C D 43 xxx 43 xxx 532 xx 236 xxx 14 计算 的结果是 3 4 3 42 yxyx 尤新教育辅导学校 40 A B C D 26 yxyx64 26 4yx yx8 3 5 15 下列从左边到右边的变形 属于因式分解的是 A B 1 1 1 2 xxx1 2 12 2 xxxx C D 4 4 4 22 yxyxyx 3 2 6 2 xxxx 1