圆形有界磁场问题的分类及解析

圆形有界磁场问题的分类及解析圆形有界磁场问题的分类及解析 1 1 对心飞入问题 对心飞入问题 例1 电视机的显像管中 电子束的偏转是用磁偏转技术实现的 电子束经过电压为U的加 速电场后 进入一圆形匀强磁场区 如图1所示 磁场方向垂直于圆面 磁场区的中心为O 半径为r 当不加磁场时 电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点 为了让电子束射到屏幕 边缘 需要加磁场 使电子束偏转一已知角度 此时磁场的磁感应强度B应为多少 解析解析 如图2所示 电子在磁场中沿圆弧ab运动 圆心为C 半径为R 可证三角形 CaO CbO 则 CbO 90 电子离开磁场时速度的反向延长线经过 O点 由几何关系可知 tan 2 r R 又有 eU mv2 evB m 1 2 v2 R 三式联立解 B tan 1 r 2mU e 2 点评点评 粒子沿半径方向飞入圆形匀强磁场 必沿半径方向飞出磁场 2 2 圆心出发问题 圆心出发问题 例2 一匀强磁场 磁场方向垂直于xOy平面 在xOy平面上 磁场分布在以O点为中心的 一个圆形区域内 一个质量为m 电荷量为q的带电粒子 由原点O开始运动 初速度为v 方 向沿x轴正方向 后来粒子经过y轴上的P点 此时速度方向与y轴的夹角为30 P到O的距离 为L 如图3所示 不计重力的影响 求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径 R 解析解析 如图4所示 粒子在磁场中轨迹的圆心C必在y轴上 且P点在磁场区之外 粒子从A点 离开磁场区 设轨迹半径为r 则 L r 3r r sin30 又 qvB m v2 r 可求得 B 3mv qL 磁场区域的半径 R 2rcos30 r L 3 3 3 点评点评 画轨迹时可先画一个完整的圆 然后分析粒子从圆周上哪一点离开 速度方向才会与 题意相符 只要找到了离场点 问题就能解决了 3 3 最长时间 最大偏角 问题 最长时间 最大偏角 问题 例3 如图5所示 在真空中半径r 3 0 10 2m的圆形区域内 有磁感应强度B 0 2 T 方 向垂直纸面向里的匀强磁场 一束带正电的粒子以初速度v0 1 0 106 m s 从磁场边界直径 ab的a端沿各个方向射入磁场 且初速方向都垂直于磁场方向 若该束粒子的比荷 1 0 108C kg 不计粒子重力 求粒子在磁场中运动的最长时间 q m 解析解析 如图6所示 由 qv0B m v2 R 得 R 5 0 10 2 m r mv0 Be 要使粒子在磁场中运动的时间最长 应使粒子在磁场中运动的圆弧最长 即所对应的弦 最长 则以磁场圆直径 为弦时 粒子运动的时间最长 设该弦对应的圆心角为2 而 T 2 m qB 则最长运动时间 tmax T 2 2 2 m qB 又 sin 故 tmax 6 5 10 8s r R 3 5 点评点评 粒子穿过圆形磁场时 以磁场圆直径为弦时 粒子运动时间最长 偏转角最大 4 4 最小半径问题 最小半径问题 例4 如图7所示 一带电质点 质量为m 电荷量为q 以平行于x轴的速度v从y轴上的a点 射入图中第一象限所示的区域 为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出 可 在适当的地方加一个垂直于xy平面 磁感应强度为B的匀强磁场 若此磁场仅分布在一个圆形 区域内 试求这圆形磁场区域的最小半径 重力忽略不计 解析解析 质点在磁场区中的轨迹弧MN是 圆周 1 4 由 qvB m 得轨迹半径 R v2 R mv Bq 在通过M N 两点的不同的圆周中 最小的一个是以MN连线为直径的圆周 故所求的圆形磁场区域的最小半径为 r MN R 1 2 2 2 2mv 2qB 所求磁场区域如图8中实线圆所示 点评点评 粒子穿过圆形磁场时 若轨迹是确定的 则以轨迹圆弧对应的弦为直径时 磁场圆最 小 5 5 会聚一点问题 会聚一点问题 例5 如图9所示x轴正方向水平向右 y轴正方向竖直向上 在xOy平面内有与y轴平行的匀 强电场 在半径为R 的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场 在圆的左边放置一带电微粒发射 装置 它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m 电荷量q q 0 和初速度v的带电微粒 发射 时 这束带电微粒分布在0 y 0 点评 点评 一束带电粒子以平行的初速度v垂直射入圆形匀强磁场 若带电粒子的轨道半径与磁场 圆半径相同 则这些带电粒子将会聚于初速度方向与磁场圆的切点 6 6 平行离开问题 平行离开问题 例6 电子质量为m 电荷量为e 从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限 射人时速度方 向不同 速度大小均为v0 如图11所示 现在某一区域加方向向外且垂直于xOy平面的匀强 磁场 磁感应强度为B 若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上 荧光屏与y轴平行 求荧光屏上光斑的长度 解析 解析 这些电子只有从O点进入圆形匀强磁场 偏转后才能成平行线离开磁场 如图12所示 初速度沿x轴正方向的电子 沿弧OB运动到P 初速度沿y轴正方向的电子 沿弧OC运动到 Q 设电子轨迹半径为R 则ev0B m 即 R v2 R mv0 Be 荧光屏上光斑的长度 PQ R mv0 Be 点评点评 速度大小相等的一束带电粒子从圆周上同一点沿不同方向垂直射入圆形匀强磁场 若 粒子的轨道半径与磁场圆半径相同 那么所有粒子成平行线离开磁场 而且与磁场圆在入射 点的切线方向平行 7 7 最小面积问题 最小面积问题 例7 如图13所示 ABCD 是边长为a的正方形 质量为m 电荷量为e的电子以大小为v0的 初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域 在正方形内适当区域中有匀强磁场 电子从BC边 上的任意点入射 都只能从A点射出磁场 不计重力 求 1 此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小 2 此匀强磁场区域的最小面积 解析解析 1 让平行粒子束射入圆形匀强磁场 若轨道半径与磁场圆半径a相同 则这些带电粒 子将会聚于初速度方向与磁场圆的切点A 由 ev0B m 得所加匀强磁场的磁感应强度大小B 方向垂直于纸面向外 v2 a mv0 ea 2 如图14所示 以D为圆心 a为半径的 圆周与电子最上边轨迹CEA 圆弧所围的区域 1 4 就是所求的最小磁场区域 其面积为 S 2 a2 1 4 a2 1 2 a2 2 1 点评点评 此题也属会聚一点问题 圆形磁场内刚好能覆盖粒子轨迹范围的部分 就是所要求的 磁场最小面积 8 8 先散后聚问题 先散后聚问题 例8 某平面内有M N两点 距离为L 从M点向此平面内各个方向发射速率均为v的电子 请设计一种匀强磁场分布 使得由M点发出的电子都能汇聚到N点 要求画出匀强磁场分布图 并加以必要的说明 电子质量为m 电荷量为e 解析解析 加上四个磁感应强度B大小相等的圆形匀强磁场 磁场方向如图15所示 磁场圆半径R 要和轨迹圆半径相等 故要满足RB 的条件 而且2R L 矩形M1 N1 N2 M2 区域外的磁 mv e 场可向外围区域扩展 点评点评 此题是平行离开和会聚一点问题的综合 需要较好的空间想象能力 9 9 回归起点问题 回归起点问题 例9 如图16所示 半径为R的圆筒形区域内 分布着磁感应强度为B 方向垂直纸面向里 的匀强磁场 一带正电的微粒从圆筒壁上小孔A点沿半径方向射入磁场 且初速度方向垂直 于磁场方向 若该微粒与筒壁碰撞时不损失电荷量 并能以大小相等的速度反向弹回 问初 速度大小满足什么条件时 微粒能回到A点 并求出微粒回到A点所经历的时间 已知微粒质 量为m 电荷量为q 不计微粒重力 解析解析 如图17所示 设微粒经n 1次碰撞 飞行n段圆弧后回到A 点 设 AOC 则 2 2n n 微粒轨迹半径r Rtan Rtan n 再由qvB m可得初速度满足v tan 的条件时 微粒能回到A点 其中n取大于2的整 v2 r qBR m n 数 设微粒回到A点所经历的时间为t 周期为T 圆弧AB 对应圆心角 ACB 则 2 T t T 2 n 2 r v 2 m qB n 2 三式联立可得 t n 2 m qB 点评点评 由于微粒轨迹有无数种可能 关键是理清几何关系找到通式 1010 粒子束缚问题 粒子束缚问题 例l0 如图l8所示 环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子 但由于环状 磁场的束缚 只要速度不很大 都不会穿出磁场的外边缘 设环状磁场的内半径R1 0 5m 外半径R2 1 0m 磁感应强度B 1 0 T 方向垂直纸面 若被束缚的带电粒子的比荷为 4 107 C kg 中空lI区域中带电粒子具有各个方向的速度 试计算 q m 1 粒子沿环状半径方向射入磁场 不能穿越磁场的最大速度 2 所有粒子不能穿越磁场的最大速度 解析解析 1 如图19 a 所示 粒子沿圆弧AD运动时 刚好没有出磁场外沿 C点为轨迹的的圆心 对直角三角形 OAC 由勾股定理有 R2 r 2 R r2 与qvB m 联立可求得粒子不 v2 r 能穿越磁场的r最大速度为 v 1 5 10 7m s 2 如图19 b 所示 当沿内圆切线方向射入磁场的粒子也飞不出磁场外沿时 所有粒子都 不能穿越磁场 由几何关系有2r R2 R1 再由qvB m 可解得所有粒子不能穿越磁场的 v2 r 最大速度为 v 1 0 107 m s 点评点评 应分析粒子的可能轨迹 从中找到刚好不出磁场的临界轨迹 1111 循环运动问题 循环运动问题 例l1 如图20所示 三个圆半径分别为R 2R 3R 中心圆和外环区域分布着相同的匀强 磁场 磁感应强度为B 方向垂直纸面向里 内环是无磁场区 从圆心O点沿着纸面射出一带 正电的粒子 初速度大小v 问此粒子能否逃出两个磁场的束缚冲出圆环外 若能 2qBR 2m 请求出粒子从圆心到冲出圆环所需的时间 若不能 请求出粒子完成一次周期性运动的时间 已知粒子的质量为m 电荷量为q 不计粒子重力 解析解析 由qvB m求得粒子的轨迹半径r R 粒子从O点沿纸面向不同方向射出时 v2 r mv qB 2 2 轨迹不同 但轨迹形状是一样的 如图21所示 粒子先完成 圆周到A点离开磁场 沿AB做匀 1 4 速直线运动 在B点进入外环磁场 容易判断粒子没有冲出外环 而是做了半个圆周运动后 到E点回到里侧无磁场区 E到F做匀速直线运动 从F点进入圆形磁场 做 圆周运动后回到 1 4 O点 完成一次周期性运动 设AB CD EF d 在 OBD 中 由勾股定理有 r d 2 r2 2R 2 解得 d R 14 2 2 则从A到B的时间为 tAB d v 2 R 7 R 2 m 2qB 粒子在磁场中做圆周运动的周期为 T 2 r v 2 m qB 故粒子完成一次周期性运动的时间为 t T 2tAB 2 2 R 7 2 m qB 点评点评 分析粒子的入场点和出场点从而确定轨迹是关键 1212 电磁综合问题 电磁综合问题 例12 1932年 劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器 回旋加速器的工作原理如图22所示 置于高真空中的D形金属盒半径为R 两盒间的狭缝很小 带电粒子穿过的时间可以忽略不计 磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直 A 处粒子源产生的粒子 质量为m 电荷量为q 在 加速器中被加速 加速电压为U 加速过程中不考虑相对论效应和重力作用 1 求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比 2 求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间 3 实际使用中 磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制 若某一加速器磁感应强度和 加速电场频率的最大值分别为Bm fm 试讨论粒子能获得的最大动能Ekm 解析解析 1 设粒子第1次经过狭缝后的半径为rl 速度为v1 则qU mv qv1B m 解得 r1 1 2 v r1 1 B 2mU q 同理 粒子第2次经过狭缝后的半径r2 则r2 r1 1 1 B 4mU q 2 2 设粒子到出口处被加速了n圈 有2nqU mv2 qvB m T t nT 1 2 v2