关于二次函数与图形变换的学习指南

关于关于 函数图像与图形变换函数图像与图形变换 的学习指南的学习指南 2014 年陕西中考数学试题特点之一 加大图形变换的理解和运用 其中 第 14 题考查图形的 旋转 第 18 题考查图形的 全等 第 20 和 23 2 题 考查图形的 相似 第 24 3 题考查图形的 平移 由此可见图形变换在 中考中具有举足轻重的地位 伴随着 二次函数图像与性质 的学习 同学们经常会遇到求求通过 平移 对称 旋转 等图形变换的抛物线解析式 绝大多数同学对此很迷茫 现就这 类问题的解决方式归纳出以下几点与同学们共享 1 明确二次函数图像的决定因素 经过大量的作图训练 同学们不难发现 所有抛物线主要取决于两个因素 开口和顶点 在二次函数的三种解析式中能直观反映这两个因素的是顶点式 y a x h 2 k a 0 解析式中的 a 决定抛物线的开口方向和开口大小 h k 组 合在一起可以决定图像的顶点 任何一种图形变换均不改变抛物线的开口大小 因而在解决此类问题时同学们只需关注开口方向 顶点横纵坐标的改变情况 2 熟记平面坐标系中各种图形变换的坐标特征 在平移 轴对称 旋转三种图形变换的学习过程中 教材都安排了探究 坐标系中图形变换的坐标特征 同学们在理解每类图形变换 坐标特征 的 基础上必须熟记 坐标特征 具体内容如下 1 已知点 P a b 则 点 P 关于 x 轴的对称点 P1的坐标为 a b 即横坐标相同 纵坐标互为 相反数 点 P 关于 y 轴的对称点 P2的坐标为 a b 即纵坐标相同 横坐标互为 相反数 点 P 关于原点的对称点 P3的坐标为 a b 即横 纵坐标均互为相反数 2 平面坐标系中的平移规律 左加右减 左右改变横坐标 即对 x 加减 上加下减 上下改变纵坐标 即对 y 加减 3 典例示范 例 1 已知抛物线 y x2 2x 3 写出下列图形变换后所得抛物线的解析式 1 向左平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度后的抛物线 2 它关于 x 轴对称的抛物线 3 它关于 y 轴对称的抛物线 4 它绕顶点旋转 180 后的抛物线 5 它绕原点旋转 180 后的抛物线 分析 解决二次函数的图形变换最好在顶点式 y a x h 2 k a 0 基础上 此题已 知解析式为一般式 所以应先把已知解析式变形为顶点式 具体变形过程如下 y x2 2x 3 x2 2x 1 1 3 x 1 2 4 即对二次三项式进行配方 1 根据平移规律可知结果为 y1 x 1 3 2 4 1 x 2 2 3 左 3 x 3 上 1 y 1 2 结合图 1 两条抛物线关于 x 轴对称时 开口方向改变 a 变 顶点横坐标不变 h 不变 顶点纵坐标改变且互为相反数 k 变 所以 y2 x 1 2 4 3 结合图 1 两条抛物线关于 y 轴对称 时 开口方向不变 a 不变 顶点横坐 标改变且互为相反数 h 变 顶点纵坐 图 1 标不变 k 不变 所以 y3 x 1 2 4 4 结合图 2 原抛物线绕顶点旋转 180 时 开口方向改变 a 变 顶点坐标不变 h k 不变 所以 y4 x 1 2 4 5 结合图 2 原抛物线绕坐标原点旋转 180 时 开口方向改变 a 变 顶点 坐标改变且横纵坐标均互为相反数 h k 变 所以 y5 x 1 2 4 图 2 4 拓展延伸 拓展 1 二次函数图形变换的相关规律适用于一次函数 例 2 已知直线 y 2x 1 求经过下列图形变换后的直线解析式 1 向下平移 4 个单位长度的直线 2 向右平移 3 个单位长度的直线 3 关于 x 轴对称的直线 4 关于 y 轴对称的直线 解 1 y1 2x 1 4 2x 5 2 y2 2 x 3 1 2x 7 下 4 y 4 右 3 x 3 3 y3 2x 1 2x 1 4 y4 2 x 1 2x 1 x 不变 y 变成相反数 y 不变 x 变成相反数 以上结论同学们可以通过具体作图验证 千万不要盲目信服 记住 事实更 具有说服力 拓展 2 对称轴为坐标系中任意一条平行于 x 轴或 y 轴的直线 旋转中心为坐 标系中任意一个点 随着数学能力的提高 同学们很容易感受到数学的学习贵在学习数学方法 数学思想 转化思想是数学学习中一种非常重要的思想 这种思想能帮大家把 陌生的知识转化为熟悉的知识 把未知的知识转化为已知的知识 今天提到的 拓展 2 就要用到这一思想 当对称轴和旋转中心发生改变时 同学们可以利用转化思想把此时的对称 轴当做 x 轴 y 轴 把旋转中心当做坐标原点 即改变原图像所在的坐标系 当然随着坐标系的改变 已知图像中点的坐标发生了改变 解析式也发生了改 变 同学们可以用新坐标系中图像的解析式按照例题的相关规律得出图形变换 后各图