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函数 2 与抽象函数有关的函数零点问题 例 1 设函数 f x 在 R 上满足 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 则方程 f x 0 在闭区间 2 011 2 011 上的根的个数为 1 设 f x 为偶函数 对于任意的 x 0 都有 f 2 x 2f 2 x 已知 f 1 4 那么 f 3 3 若 f x 为奇函数 且在 0 内是增函数 又 f 2 0 则 xf x 0 其图象如图所示 则方程 f g x 0 根的个数为 6 如图 偶函数 f x 的图象如字母 M 奇函数 g x 的图象如字母 N 若方程 f f x 0 f g x 0 的实根个数分别为 m n 则 m n 7 若对于定义在 R 上的函数 f x 存在常数 t t R 使得 f x t tf x 0 对任意实数 x 均成立 则称 f x 是 t 阶回旋函数 则下列命题正确的是 填序号 f x 2x是 阶回旋函数 1 2 f x sin x 是 1 阶回旋函数 f x x2是 1 阶回旋函数 f x logax 是 0 阶回旋函数 8 设 y f x 是定义在 R 上的偶函数 满足 f x 1 f x 且在 1 0 上是增函数 给出 下列关于函数 y f x 的判断 y f x 是周期函数 y f x 的图象关于直线 x 1 对称 y f x 在 0 1 上是增函数 f 0 1 2 其中正确判断的序号是 9 函数 f x 的定义域为 A 若 x1 x2 A 且 f x1 f x2 时总有 x1 x2 则称 f x 为单函 数 例如 函数 f x 2x 1 x R 是单函数 下列命题 函数 f x x2 x R 是单函数 若 f x 为单函数 x1 x2 A 且 x1 x2 则 f x1 f x2 若 f A B 为单函数 则对于任意 b B 它至多有一个原象 函数 f x 在某区间上具有单调性 则 f x 一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的序号 10 2013 湖南 设函数 f x ax bx cx 其中 c a 0 c b 0 1 记集合 M a b c a b c 不能构成一个三角形的三条边长 且 a b 则 a b c M 所对应的 f x 的零点的取值集合为 2 若 a b c 是 ABC 的三条边长 则下列结论正确的是 写出所有正确 结论的序号 x 1 f x 0 x R 使 ax bx cx不能构成一个三角形的三条边长 若 ABC 为钝角三角形 则 x 1 2 使 f x 0 11 已知定义在区间 0 上的函数 f x 满足 f f x1 f x2 且当 x 1 时 f x 0 x1 x2 1 求 f 1 的值 2 判断 f x 的单调性 3 若 f 3 1 解不等式 f x 2 12 设集合 Pn 1 2 n n N 记 f n 为同时满足下列条件的集合 A 的个
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