普通高中数学选修2--1(第三章)学案-3教案

普通高中数学选修 2 1 第第三三 章章 学案 3 1 空间向量及其运算 长铁一中导学长铁一中导学 学案学案 第第 4 课时 空间向量的正交分解及其坐标表示课时 空间向量的正交分解及其坐标表示 年级 高二 班级 姓名 课型 新课 主备人 胡碧银 审核人 罗永义 导学时间 第 周 学习目标 学习目标 1 类比平面向量基本定理推导空间向量基本定理 了解空间向量基本定理的意义 2 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 3 体会在空间图形中选用三个不共面向量作为基底表示其他向量的方法 自主学习自主学习 1 空间向量基本定理空间向量基本定理 定理 如果三个向量不共面 那么对空间任一向量 存在有序实数组 使得 a b c p x y zp 其中叫做空间的一个基底 都叫做基向量 a b c a b c 2 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示 1 单位正交基底 三个有公共起点 O 的 称为单位正交基底 123 e e e 2 空间直角坐标系 以的公共起点 O 为原点 分别以 的方向为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立 123 e e e 3 对于空间任意一个向量 一定可以把它平移 使它的起点与原点 O 重合 得到向量p 存在有序实数组使得 把称为在单位正交基底下的OPp x y z 123 pxeyeze x y z 123 e e e 坐标 知识的运用知识的运用 例例 1 已知向量 a b c 是空间的一个基底 那么向量 a b a b c 能构成空间的一个基底吗 为什么 变式训练 变式训练 以下四个命题中正确的是 A 空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B 若 a b c 为空间向量的一组基底 则 a b c 全不是零向量 C ABC 为直角三角形的充要条件是 0AB AC D 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 例例 2 在平行六面体 ABCD A B C D 中 6 a b c P 是 CA 的中点 M 是 CD OC AD AA 的中点 N 是 C D 的中点 点 Q 是 CA 上的点 且 CQ QA 4 1 用基底 a b c 表示以下向量 1 2 AP AM 3 4 AN AQ 变式训练 变式训练 已知三棱锥 A BCD 1 化简 并标出化简结果的向量 1 2 AB AC AD 2 设 G 为 BCD 的重心 试用 表示向量 AB AC AD AG 例例 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面 M N 分别是 AB PC 的三等分点且 PN 2NC AM 2MB PA AB 1 求 的坐标 MN 变式训练 变式训练 在直三棱柱 ABO A1B1O1中 AOB AO 4 BO 2 2 AA1 4 D 为 A1B1的中点 则在如图所示的空间直角坐标系中 求 的坐标 1 DO A B 课堂小结 课堂小结 1 空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量 空间的基底可以有无穷多个 一个基底是不共面的三个向 量构成的一个向量组 一个基向量指一个基底的某一个向量 2 对于基底 a b c 除了应知道 a b c 不共面 还应明确 1 空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底 基底选定以后 空间的所有向量均可由基底惟一 表示 2 由于 0 可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以 三个向量不共面 就隐含着它们 都不是 0 课堂练习 课堂练习 1 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 O 为 AC1与 BD1的交点 x y z 则AO AB BC CC1 x y z 2 已知 e1 e2 e3 是空间的一个基底 试问向量 a 3e1 2e2 e3 b e1 e2 3e3 c 2e1 e2 4e3是否共 面 并说明理由 3 已知点 A 在基底 a b c 下的坐标为 8 6 4 其中 a i j b j k c k i 则点 A 在基底 i j k 下 的坐标是 A 12 14 10 B 10 12 14 C 14 12 10 D 4 3 2 作业 作业 P98 6 11 小结与反思 小结与反思 普通高中数学选修 2 1 第第三三 章章 学案 3 1 空间向量及其运算 长铁一中导学长铁一中导学 学案学案 第第 5 课时 空间向量运算的坐标表示课时 空间向量运算的坐标表示 年级 高二 班级 姓名 课型 新课 主备人 胡碧银 审核人 罗永义 导学时间 第 周 学习目标 学习目标 1 类比平面向量的运算的坐标表示推导空间向量的运算的坐标表示 2 掌握空间向量的坐标表示的规律 3 利用空间向量的坐标解决一些立体几何中得问题 自主学习 自主学习 设 则 123 aa a a 123 bb b b 1 向量的直角坐标运算 ab ab a b a b ab 2 夹角与距离公式 cos a b 设 则 111222 A x y zB xyzAB 知识的运用知识的运用 例例 1 设 a 1 5 1 b 2 3 5 1 若 ka b a 3b 求 k 2 若 ka b a 3b 求 k 变式训练 变式训练 已知 A 3 3 1 B 1 0 5 求 1 线段 AB 的中点坐标和长度 2 到 A B 两点距离相等的点 P x y z 的坐标 x y z 满足的条件 例例 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为 BB1 CD 的中点 求证 D1F 平面ADE 变式训练 变式训练 已知 A 2 3 1 B 2 5 3 C 8 1 8 D 4 9 6 求证 四边形 ABCD 为平行四边形 例例 3 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 P 为 DD1的中点 O1 O2 O3分别是平面 A1B1C1D1 平面 BB1C1C 平面 ABCD 的中心 1 求证 B1O3 PA 2 求异面直线 PO3与 O1O2所成角的余弦值 3 求 PO2的长 变式训练 变式训练 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面 ABC 中 CA CB 1 BCA 90 AA1 2 N 是 AA1的中点 1 求 BN 的长 2 求 BA1 B1C 所成角的余弦值 课堂练习 课堂练习 1 已知 a sin cos tan b cos sin 有 a b 则 等于 1 tan A B C 2k k Z D k k Z 4 4 2 4 2 若向量 a 1 2 b 2 1 2 cos a b 则 为 8 9 A 2 B 2 C 2 或 D 2 或 2 55 2 55 3 已知 a cos 1 sin b sin 1 cos 则向量 a b 与 a b 的夹角是 A 90 B 60 C 30 D 0 4 模等于 2且方向与向量 a 1 2 3 相同的向量为 7 5 E F 分