第七章数字信号分析(II)——数字滤波

第七章第七章 数字信号分析 数字信号分析 数字滤波数字滤波 早在 20 世纪 40 年代末期 就有人开始讨论数字滤波的可能性 直到 20 世 纪 60 年代中期 数字滤波才形成了一套完整 正规的理论 数字滤波与模拟滤波相比 精度和稳定性高 系统函数容易改变 灵活性高 不存在阻抗匹配问题 便于大规模集成 可实现多维滤波等优点 本章内容 讨论数字离散时间系统的基本知识 介绍数字滤波原理 数字滤 波器结构及设计方法等 第一节 数字滤波与模拟滤波 数字滤波 利用离散时间系统的特性对输入信号波形 或频谱 进行加 工处理 或者说利用数字方法按预定要求对信号进行变换 把输入序列 x n 变 换成一定的输出序列 y n 数字滤波过程 一 数字滤波过程的频谱分析 在满足采样定理的条件下进行 A D 转换 则采样信号的频谱为 k j kX T eX 1 5 其中采样频率 s 2 m 这是一个以 s 为周期的谱图 通过数字滤波器后 其频谱为 jjj eXeHeY 可见 信号通过数字滤波后 仍是周期谱图 为此 经过 D A 转换以后 仍 须采用模拟滤波 若模拟滤波器的频响函数为 G 则输出信号 y t 的频谱 输入信号的频谱 频 宽为 m k jj kXeHG T eHGY 1 5 因 s 2 m X ej 是 X 以 s 为周期的重复 且不产生混叠效应的 函数 若假定模拟滤波器是一个理想低通滤波器 即 其他 c wG 0 1 其中 m c s m 则可以从 y n 的周期性频谱中选出频谱 Y 以 恢复出连续信号 y t 故有 1 XeH T Y j 其中数字滤波器的频率响应 H ej 起着对输入连续信号 x t 的频谱进行滤波改 造的作用 二 数字滤波器与模拟滤波器对比 数字滤波器 数学模型为差分方程式 运算内容为延时 乘法 加法 构成 元器件为加法器 乘法器 延时器等 模拟滤波器 数学模型为微分方程式 运算内容为微 积 分 乘法 加法 构成元器件为电阻 电容 运算放大器等 数字滤波器与模拟滤波器对比 比较项目模拟滤波器数字滤波器 输入 输出 模拟信号数字信号 系统连续时间离散时间 系统特性时不变 叠加 齐次非移变 叠加 齐次 数学模型微分方程式差分方程式 运算内容微 积 分 乘 加延时 乘 加 系统构成 分立元件 电阻 电容 运算放大器等 软件 程序 硬件 乘 加 延时运算模块 系统函数 H s Y s X s s 域 H Y X H z Y z X z z 域 H Y X j e j e j e 数字滤波的实现方法 软件实现方法 按差分方程式或框图所表示的输 出与输入序列的关系 编制计算机程序 在通用计算机上实现 硬件实现方法 用数字电路制成的加法器 乘法器 延时器等 按框图加以联接 构成运 算器 即数字滤波器来实现 例 一阶低通滤波器分析 一阶低通模拟滤波电路的微分方程为 txty dt tdy RC 对激励信号 x t 和响应信号 y t 离散化 且采用间隔 T 或 t 足够小 则有 nxnTxtx nynTyty 故有 T nTyTny t tytty dt tdy 1 令 T 1 1 nxnynynyRC 差分方程 或 1 1 1 1 nx RC ny RC ny 1 nbxnayny 差 分 一阶前向差分定义 x n x n 1 x n 一阶后向差分定义 x n x n x n 1 由一阶微分方程导出了一阶差分方程 它表明模拟系统动态方程的近似方程 可以用差分方程来描述 同样可导出任意阶次的差分方程 第二节第二节 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析 离散时间系统的分析与连续时间系统的分析有着并行的对应性 例如 连续时间系统离散时间系统 数学模型 微分方程式数学模型 差分方程式 卷积方法极其重要卷积和的方法具有同样重要地位 采用变换域 LT 与 FT 方法和 系统函数的概念处理各种问题 采用变换域 Z 变换与 DFT 方法 和系统函数的概念处理各种问题 一 线性离散时间系统 2121 naynaynbxnax输出输入 其中线性离散时间系统满足叠加性与齐次性 倍增性 非时变 或称非移变 离散系统 如果离散系统的参数和特性不随时间而变化 则当输入一个移位为 N 的时间序列 x n N 得到一个相应的输出序列 y n N 并且对任意时移 N 都成立 则此系统为非时变 或称非移变 系统 线性非时变系统的因果性的充要条件为 单位样值响应 h n 0 n 0 线性非时变系统的稳定性充要条件为 单位样值响应绝对可积 或称绝对可 和 即 N nh 既满足因果性又满足稳定性的系统 其单位样值响应是单边的 有界的 即 满足条件 nunhnh n nh 二 系统模型 差分方程式 差分方程式 是处理离散变量函数关系的一种数学工具 其基本运算是延 时 移位 乘法 加法等 构成差分方程的基本单元是延时器 乘法器 加法 器 描述该系统的输出 y n 与输入 x n 的关系式为 1 1 nxnaynynxnayny 或 h nh n u n n h n h nh n u n n h n 一般描述离散时间系统的线性差分方程为 1 1 110 NnyaNnyanyanya NN 1 1 110 MnxbMnxbnxbnxb MM a 和 b 是常数 M 为已知函数 x n 的位移阶次 N 为未知函数 y n 的位移阶次 对于一个可实现系统 N M 差分方程式的阶数 未知序列变量序号的最高与最低值之差 即 N 补充知识 常系数线性差分方程的解法 一般情况下 线性时不变离散系统由常系数线性差分方程描述 方程的求解 方法有下列几种 1 递推解法 迭代法 以 y n ay n 1 x n 为例 设输入 x n n 并假设 y 1 0 从而有 y 0 x 0 ay 1 1 y 1 x 1 ay 0 a y 2 x 2 ay 1 a2 y n x n ay n 1 an 此范围仅限于 n 0 故应将 y n 写作 y n anu n 该方法是解差分方程的一种原始方法 用计算机实现较方便 且方法简单 概念清楚 但一般只能得出有限数值解 而不能直接给出完整的解析解 2 时域经典法 类似于微分方程的经典解法 分别求出方程的齐次解和特解 然后代入边界 条件求待定系数 该法也是基本方法之一 优点 便于从物理概念上说明各响 应分量之间的关系 缺点 但求解过程较繁 在解决具体问题时已较少采用 但其求齐次解的思路则被利用来求解系统的零输入响应和单位样值响应 3 零输入 零状态响应解法 利用线性系统的可分解性 将系统响应分解为零输入与零状态两部分 利用 时域经典法求解零输入响应 用离散线性卷积的方法求解零状态响应 这也是 现今通行的时域解法 4 z 变换法 这是实际应用中简便有效的方法 类似于用拉普拉斯变换解连续时间系统的 微分方程 利用 z 变换求解离散系统的差分方程 不仅可求出差分方程的零状 态解 而且可求出零输入解 更进一步 z 变换法还可以用于研究离散系统的 频率响应等诸多其他特性 并使离散系统的物理意义更清晰 5 状态空间分析法 近代控制理论中常用的方法之一 人们对控制系统不再只满足于研究输入输 出关系或系统的整体外特性 而要同时知道系统内部某些环节的状态或变化过 程参数 以便设计和控制这些内部参数达到预定的控制目的 离散系统的状态 空间描述方法 实质上是用一组一阶线性常系数差分方程组表示系统 通过解 此一阶差分方程组 得出系统的诸多输出或内部环节状态变量 1 1 110 NnyaNnyanyanya NN 1 1 110 MnxbMnxbnxbnxb MM 用求和符号表示为 M r r N k k rnxbknya 00 根据经典解法 上式的解由齐次解 homogeneous solution 和特解 particular solution 组成 上式所对应的齐次方程形式为 齐次方程 该方程的解就是齐次解 N k k knya 0 0 齐次解的求解方法 1 一阶线性齐次差分方程求解 一阶线性其次差分方程0 1 nayny 若0 1 ny 则 表明序列 y n 构成一个以常数 a 为公比的等比级数 1 nynya 其中 C 由边界条件确定的待定常数 设边界条件为 y 0 b n Cany 则齐次解为 n bany 2 N 阶齐次差分方程的解 可以证明式的解是由 N 项形如的指数序列叠加而成 N k k knya 0 0 n Cd N k k knya 0 0 时 n Cdny 0 0 N k kn kCd a 消去常数 C 并逐项除以得 Nn d 0 1 2 2 1 10 NN NNN adadadada 从而得到一个一元 N 次方程 如果 dk是上述一元 N 次方程的根 则 必定满足 N 阶齐次差分方程 n k Cdny N k k knya 0 0 通常 称式 0 1 2 2 1 10 NN NNN adadadada 为式 的特征方程 而称特征方程的根 d1 d2 dN为差分方 N k k knya 0 0 程的特征根 在特征根无重根的情况下 差分方程的齐次解为 n NN nn k dCdCdCny 2211 系数 C1 C2 CN取决于边界条件 在特征方程有重根的情况下 齐次解的形式略有不同 假定 d1 是特征方程式的 K 重 根 那么在齐次解中 相应于 d1 的部分将有 K 项 n K n K nKnK dCndCdnCdnC 1111 2 21 1 1 显然 式中最后一项一定满足式 若分别将其他各项 n Kd C 1 N k k knya 0 0 代入式 容易证明它们满足式 n K nKnK ndCdnCdnC 111 2 21 1 1 N k k knya 0 0 N k k knya 0 0 特解的求解方法 线性非齐次差分方程式的特解很容易求得 首先将激励序列 x n 代入方程式右 端 称为自由项 观察自由项的形式来选择含有待定系数的特解形式 将此特 解代入原非齐次差分方程后 通过与方程右端的自由项比较 求得特解中的待 定系数 一般来讲 已知自由项的形式 则特解形式可按下表确定 但不完全 如此 有特例 自由项特解形式 C 常数 B 常数 nC0 C1n nkC0 C1n Cn2 Ck 1nk 1 Cknk 为实数 k e C k e kj e A A 为复数 kj e sin n 或 cos n C1sin n C2cos n dkCdk d 不是方程的特征根 dk C0 C1n C2n2 Cr 1nr 1 Crnr dk d 是方程的 r 重特征根 例 求差分方程 y n 2y n 1 x n x n 1 的完全解 其中激励信号为 x n n2 且边界条件为 y 1 1 解 1 齐次解为 yh n C 2 n 2 将 x n n2代入差分方程的右端 得自由项为 2n 1 从而特解为 21 DnDnyp 其中 D1 和 D2 为待定系数 代入原方程得 12233D 121 nDDn 得到 D1 2 3 D2 1 9 完全解 9 1 3 2 2 nCnynyny n ph 3 代入边界条件 求出 C 8 9 边界条件1 1 y 完全响应 9 1 3 2 2 9 8 nnynyny n ph 注意 1 利用边界条件确定齐次解中的待定系数 一般情况下 对于 N 阶差 分方程 应给定 N 个边界条件 例如 取 y 0 y 1 y N 1 利用这些条件 代入完全解的表达式中 构成一联立方程组 求得 N 个系数 C1 C2 CN 注意 2 差分方程式和微分方程式之间存在着很多相似之处 微分方程的齐 次解一般具有的形式 而差分方程的齐次解一般具有的形式 它们的特 mt e n m 解都与各自自由项的形式相同 而且齐次解中的待定系数也都是边界条件代入 完全解中求解得到 三 离散系统的卷积和描述及解卷 1 卷积和描述 连续时间系统与卷积 可以运用卷积积分方法求连续时间系统在任意 输入信号下所引起的响应 又称零状态响应 卷积积分的物理意义 将激励信 号 x t 分解为脉冲序列 令每一脉冲作用于系统 求其冲激响应 所有脉冲冲 击响应的叠加 即为系统对此激励信号的零状态响应 离散时间系统与卷积和 由于激励信号与响应信号均为离散时间序列 卷积积分 求卷积和 故有 或 m mnhmxny m mhmnxny 其中 h n 为系统对 n 的单位样值响应 由因果性 有 x n 0 n 0 y n 0 n 0 或 0 m mhmnxny 0 m mhmnxny 要点 1 用卷积和公式求因果系统的输出响应时 只考虑外加激励作用下 的零状态响应 它要求序列输入之前初值为零 即系统初始不贮能 要点 2 离散时间系统的输出与输入的关系 既可用差分方程描述 又可 用离散卷积和描述 不同之处在于后者的即时输出为输入序列的线性组合 即 输出与输入之间存在非递归关系 此外 卷积和运算由于引入表征系统动态特 性的 h n 物理意义明显 2 解卷 卷积和确立了输入 x n y n 和 h n 三者之间的关系 知其二可求另一个 N m NxNnhxnhxnhmnhmxny 0 1 1 0 矩阵形式如下 2 1 0 0 2 1 0 0 1 2 00 0 1 000 0 2 1 0 Nx x x x hNhNhNh hhh hh h Ny y y y XHY 解卷 0 0 0 xyh 0 0 0 hyx 0 1 0 1 1 xxhyh 0 1 0 1 1 hhxyx 0 1 0 x mnxmhny nh n m 0 1 0 h mnhmxny nx n m Nn 2 1 Nn 2 1 第三节 Z 变换 一 Z 变换 连续时间系统 微分方程代数方程 LT 离散事件系统 差分方程代数方程 变换z Z 变换的定义 1 由采样信号的拉普拉斯 Laplace 变换引出 2 直接 对离散信号给予定义 理想采样信号的 LT 连续因果信号 x t 经理想脉冲采样 采样信号为 0 n Ts nTtnTxtxtx 经拉氏变换后 00 0 n stst ss dtenTtnTxdtetxsX 0 0 0 nn snTst enTxdtenTtnTx 引入复变量 z esT 即 s lnz T 通常令 T 1 则 0 n n znTxzX 0 n n znxzX 这是离散信号 x n 的 Z 变换表达式 式表明 X z 是复变量 z 1的幂级数 亦称罗朗级数 其 0 n n znxzX 系数是序列 x n 的值 即 0 2 2 1 0 n n znx z x z x xnxZzX 单边与双边 Z 变换之分 x n 的双边 Z 变换定义为 其中 n 0 为单边 Z 变换 如果 x n 为因果序列 单边 n n znxzX 与双边 Z 变换相同 二 Z 变换 ZL 与 Laplace 变换 LT 1 z 平面与 s 平面的映射关系 采样序列的 Z 变换 X z 就是理想采样信号的拉氏变换 Xs s 两者是 由复变量 s 平面到复变量 z 平面的映射变换 映射关系为 TjTjwssT eezez 其中 T 为采样间隔 矢径 矢角 T 2 s s eer T 2 可见 复变量 z 的模 r 对应了 s 的实部 z 的辐角 对应了 s 的虚部 Z 平面与 S 平面的映射关系如下 2 LT 与 ZT 的周期性 设模拟信号 x t 的 LT 为 X s 其理想采样信号 xs t 的 LT 为 Xs s 可以 证明二者之间的关系为 采样频率 s 2 T T 为 n ss jnsX T sX 1 采样间隔 此式表明 Xs s 在 s 平面上是 X s 沿虚轴的周期延拓 其周期为 s 由 z s 的映射关系 在 s 平面上沿虚轴周期移动 相应于在 z 平面上沿单位圆周期性 旋转 并且 z 平面上的旋转矢 rej 是以 s 为周期的周期函数 因此 在 s 平面 上每移动 s 则在 z 平面为沿单位圆旋转一周 这表明 z s 映射并不是单值的 为了说明这个问题 不妨把 z 平面想象为以原点为中心的无穷层叠在一起的螺 旋面 螺距为无穷小 当 s 平面上沿 j 轴变化时 映射到 z 平面上则是随着 辐角 的增加 沿螺旋面变化 即当 每增加一个采样频率 s 时 辐角 增 加 2 相应螺旋面重复旋转一周 三 Z 变换与 Fourier 变换 FT 是 LT 在 s 平面虚轴上的特例 即 s j 因此 连续信号的 FT X 与理想采样信号 FT Xs 的关系为 n ss jnjX T X 1 即 Xs 是 X 沿虚轴的延拓 由于 s 平面上的虚轴映射到 z 平面上是单 位圆 因此 采样序列的 Z 变换 n s ez j jnjX T zXeX Tj 1 此式表明 采样序列在单位圆上的 ZT 就等于理想采样信号的 FT 即其频 谱 已知理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓 这种频谱周期重复 的现象 体现在 ZT 中则是 ej T 为 的周期函数 即 ej T 是 的变化而表现 在单位圆上的重复循环 亦可想象为直径等于 1 而螺距为无穷小的螺旋线 理 想采样信号 xs t 理想采样信号的频谱 Xs 采样序列的 Z 变换 X ej 之间 的关系如上图 四 Z 变换与离散 Fourier 变换 DFT 是 ZT 的一种特例 因为 ZT 是采样序列 x n 的复频谱 X z 当 ZT 值 限定在 z 平面的单位圆 z ej T 上时 X z 就转化为该序列的 FT X ej T 如果在 该单位圆上按等分角进行频率抽样 即 T 2 k N k 0 1 2 N 1 则相应采 样点的 FT 值 X ej2 k N 就是序列的 DFT X k 它表示序列 x n 的稳态谱或实频 谱 五 逆 Z 变换 IZT x nX zA ZT Z x n IZT Z 1 x n 补充知识 1 Z 变换的收敛问题 只有当收敛 z 变换才有意义 n n znxzX 任意有界序列 x n 其 z 变换收敛的充要条件为 n n znx 判别正项级数收敛性的常用方法有比值判定法和根值判定法 1 比值判定法 达朗贝尔 D Alembert 判定法 设正项级数的后项与前项比值的极限等于 则当 n n a lim 1 n n n a a 1 时级数发散 1 时级数可能收敛也可能发散 2 根值判定法 达朗贝尔 D Alembert 判定法 设为正项级数 如果 则当 1 n n a n n n a lim 时级数发散 1 时级数可能收敛也可能发散 补充知识 2 幂级数及其收敛性 1 定义 形如 的级数称为幂级数 an为幂级数系数 0 2 0 n n xxa 2 收敛性 例如级数当 x 1 时收敛 当 x 1 时发散 收敛域 2 0 1xxx n n 1 1 发散域 1 和 1 定理 1 Abel 定理 如果级数在 x x0 x0 0 处收敛 则它在满足不等式 x x0 的一切 2 0 xa n n x 处发散 证明 1 因为收敛 则 存在 M 使 anx0n M n 0 1 2 2 0 0 xa n n n n n xa 0 lim 如果数列的极限存在 则该数列有界 nn n n n n n n n n x x M x x xa x x xaxa 00 0 0 因为当 x x0 x0 使级数收敛 由 1 中结论 则级数当 x x0 时应收敛 这与所设矛盾 推论 如果幂级数不是仅在 x 0 一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 0n n nx a 则必有一个完全确定的正数 R 存在 它具有下列性质 1 当 x R 幂级数发散 3 当 x R 与 x R 幂级数可能收敛也可能发散 R 为收敛半径 收敛区间的四种可能的情况 R R R R R R R R 规定 1 幂级数只在 x 0 处收敛时 R 0 2 幂级数对一切 x 都收敛 R 问题 如何求幂级数的收敛半径 定理 2 如果幂级数的所有系数 an 0 0n n nx a 设 或 lim 1 n n n a a n n n a lim 则 1 当 0 时 R 1 2 当 0 时 R 3 当 时 R 0 补充知识 3 利用根值判定法讨论几类序列的 z 变换的收敛域 1 有限长序列 有限长序列是指只在有限的区间 如 n1 n n2 具有非零的有限值的时间序 列 此时 其 z 变换为 2 1 n nn n znxzX 由于 n1 n2 是有限整数 因而上式是一个有限项级数 当 n1 0 时 X z 除了 z 0 点外 在 z 平面上处处收敛 其收敛域可表示为 z 0 当 n2 0 时 X z 除了 z 点外 在 z 平面上处处收敛 从而收敛域可表示 为 z 当 n10 时 X z 除了在 z 0 和 z 两点外 在 z 平面上处处收敛 因 而收敛域可表示为 0 z 所以有限长序列的 z 变换的收敛域至少为 0 z 但可能还包括 z 0 或 z 这由序列的形式所决定 2 右边序列 又称有始无终序列 右边序列是当 nRx1 如果 n1 0 则收敛域不包括 z 即收敛域为 Rx1 z Rx1 3 左边序列 又称无始有终序列 左边序列是当 n n2 时 x n 0 此时 z 变换为 2 1 n nn n znxzX nm令 2 nn m zmxzX nm 2 nn n znxzX 则该级数收敛 可见 左边序列的收敛域是半径为 Rx2的收敛圆的内部 如果 n2 0 则收敛域不包括 z 0 原点 即 0 z Rx2 如果 n2 0 则收敛域包括 z 0 即 z Rx2 4 双边序列 又称无始无终序列 双边序列是从 n 延伸到 n 的序列 其 z 变换可写成 0 1 n n n n n n znxznxznxzX 显然 可以把它看成是左边序列与右边序列 z 变换的叠加 上式右边第一个 级数是左边序列的 z 变换 其收敛域为 z Rx1 因而双边序列的收敛域是左边序列与右边序列两个收敛域 的交叠部分 如果 Rx2 Rx1 则双边序列 x n 的 z 变换 X z 的收敛域是 Rx1 z Rx1 补充知识 4 求 X z 的逆变换 x n 1 幂级数法 因为 x n 的 ZT 为 z 1的幂级数 即 n n znxzX 只要在给定的收敛域内将 X z 展成幂级数 则级数的系数就是序列 x n 一般情况下 X z 是有理函数 有理函数 通过多项式的加减乘除得到的 函数 令分子多项式和分母多项式分别为 B z 和 A z 1 如果 X z 的收敛域是 z Rx1 则 x n 必然是因果序列 此时将 B z 和 A z 按 z 的降幂 或 z 1 的升幂 次序进行排列 2 如果收敛域是 z 1 和 2 z 1 x n 是因果序列 这时 X z 按 z 1的升幂次序进行 排列 并列写长除式如下 所以 0 21 13 741 n n nzzzX 从而得到 13 nunnx 2 若收敛域 z 0 5 的逆变换 x n 解 将 X z z 展开成部分分式为 3 05 0 5 0 3 0 1 15 0 8 0 1 2 z C z B z A zzzzzzz zX 其中 3 20 15 0 1 0 z z z zX A 10 5 0 5 0 z z z zX B 3 50 06 0 1 3 0 3 0 z z z zX C 所以 3 0 350 5 0 10 3 20 z z z z zX 因为收敛域为 z 0 5 因此对应的 x n 为因果序列 得到 1 3 0 5 0 5 3 0 3 50 5 0 10 3 20 11 nununnx nnnn 例 2 求函数 X z 12 z 1 z 2 z 3 1 z 2 的逆变换 x n 解 将 X z z 展开成部分分式为 3 1 2 2 1 12 3 2 1 12 zzzzzzzzz zX 2 0 32 2 1 2 z z z z z z z zX 根据给定的收敛域 1 z 1 因而它们对应的逆变换应是右边序列 而后两者的收敛域都满足 z 4 可知 X z 对应的逆变换 x n 是因果序列 查表求出其逆变 换 2 2 1 162424 21 nu nn nnx nnnn 2 212 42 12 22 nunnun nnnn 3 留数定理法 X z 的逆变换可由围线积分给出 即 C n dzzzX j zXZnx 11 2 1 C 是包围 X z zn 1 所有极点的逆时针闭合积分路线 通常选择 z 平面收 敛域内以原点为中心的圆 公式推导 由 z 变换定义 n n znxzX 式两边各乘以 zm 1 沿 C 积分 CC m n nm dzzznxdzzzX 11 C n C nmm dzznxdzzzX 11 该围线积分只有当 n m 时为 2 j 而对其余的 n 均为零 故等号右边只剩 下 2 jx m 根据复变函数理论中的柯西定理 0 0 0 2 1 m mj dzz C m 即 C m mjxdzzzX 2 1 C n dzzzX j nx 1 2 1 因为上述推导过程中 并未规定 m 及 n 的正负 故上式对正与负的 n 值都 是正确的 利用留数定理求逆 z 变换 借助于复变函数的留数定理 可将式的积分 表示为围线 C 内所包含 X z zn 1的各极点留数之和 即 m m C n zzXdzzzX j nx C 2 1 11 内极点的留数在 或 m zz n m zzXsnx Re 1 式中 Res 表示极点的留数值 z zm为 X z zn 1的极点 如果 X z zn 1在 z zm处有 s 阶极点 它的留数由下式确定 m m zz ns m s s zz n zzXzz dz d s zzXs 1 1 Re 1 1 1 1 若只含一阶极点 即 s 1 mm zz n mzz n zzXzzzzXs Re 11 在应用上述公式时 应注意围线所包围的极点情况 特别是对于不同 的 n 值 在 z 0 处的极点可能具有不同的阶次 留数与留数定理 留数定义 设函数 f z 在区域 0 z z0 R 内解析 取 r 满足 0 r R 作圆 C z z0 r 则称积分为 f z 在孤立极点 z0 的留数 记作 Res f z0 C dzzfj 21 C 取正向 易知 Res f z0 与 r 无关 在 0 z z0 R 设在 C 上一致收敛 逐项可积 所以 n n n zzzf C n n C n jdzzzdzzf 10 2 因此 Res f z0 1 当 z0为 f z 可去极点时 Res f z0 0 留数定理 设 D 是在复平面上的一个有界区域 其边界是一条或有限条 简单闭曲线 C 设函数 f z 在 D 内除去有孤立极点 z1 z2 zn外 在每一点都 解析 并且它在 C 上每一点也解析 则有 n k k C zzfsjdzzf 1 Re2 这里 沿 C 的积分是按关于 D 正向取的 第四节 离散时间系统的 z 域分析 一 系统函数 线性非移变离散系统的差分方程式为 N k M r rk rnxbknya 00 令 a0 1 M r N k kr knyarnybny 01 对于因果系统 初始为零状态 式两边取 Z 变换 M r N k k k r r zYzazXzbnY 01 令 H z Y z X z 1 10 N k k k M r r r zazb zX zY zH 分子分母分解因式 N k k M r r zd zc AzH 1 1 1 1 1 1 H z 为系统函数 表示系统的零状态响应与激励的 Z 变换之比值 cr 是 H z 在 z 平面的零点 dk 是 H z 在 z 平面的极点 因此 除了比例 常数 A 外 整个系统函数可以由它的全部零极点来唯一确定 0 nmr r n rm x nr zx m zz z X z 0 1 n n M r r n k n N n kn Y zy n z b ay nk z x nr z 二 系统的频率响应 对稳定的因果系统 若输入频率为 0 的复正弦序列 其输出 0 jn enx m mnxmhnhnxny 00000 jjmjm m jn m mnj eheemheemh 复数 00 jjj eeHeH 系统对正弦激励的输出响应 其频率与输入频率相同 幅度等于输入 的幅度乘以系统函数在激励信号频率下的幅度 相移等于系统函数的相角 由于 H ej 0 是系统对频率为 0的正弦激励的响应 所以系统函数在 z 平面单位圆上的值 就是系统的频率响应 这一点也可对卷 0 0 j ez eHzH j 积式两端直接取离散傅氏变换得到 即 其中 nhnxFnyF jjj eHeXeY nhFeH j 结论 单位圆上的系统函数就是系统的频响 系统的频响也就是系统单 位样值响应的傅氏变换 三 系统频响的几何确定方法三 系统频响的几何确定方法 N k k M r r zd zc AzH 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 k k j r r j j ez de ce AzHeHzH j 系统的函数的零极点表示和系统的频率响应如上式所示 在 z 平面上 ej cr可用一根由零点 cr指向单位圆上 ej 点的向量 Cr 又称 零矢量 来表示 ej dk可用一根由极点 dk指向单位圆上 ej 点的向量 Dk 又 称极矢量 来表示 由此得到 N k j kkk j k j rrr j r k M r r j k r eDDdeD eCCceC DCAeH 11 极坐标表示 极坐标表示 极矢量 零矢量 由得 00 jjj eeHeH M r N k kr 11 N k k M r r j DCAeH 11 系统频率响应的幅度可由零点 极点指向 ej 点的向量的幅度来确定 而频率响应的相位则由这些向量的辐角来确定 当频 率 由 0 2 时 这些向量的终端沿单位圆反时针方向旋转一周 可以估算出 整个系统的频响 图示分析 具有两个极点 一个零点的系统的频率响应 1 极点 当 ej 在某个极点 dk附近时 Dk 最短 因而频响 H ej 在这附 近出现峰值 极点 dk距离单位圆的 Dk 值越小 频率响应出现的峰值越尖锐 显然 当极点 dk处在单位圆上时 Dk 值为零 这时在 dk所在点的频响将出现 无穷大 这相当于在该频率点出现无耗 Q 谐振 当极点越出单位圆时 系 统将处于不稳定状态 2 零点 零点 ck的位置与频响的关系则正好相反 当 ej 点越靠近某零 点 ck时 频响就越低 这时频率响应 H ej 将出现谷点 零点越靠近单位圆 谷点越接近零 当零点处在单位圆上时 谷点为零 例 一阶系统分析 一阶系统的差分方程式为 1 1 nxnyany 10 1 a 由得 1 1 zXzYzazY 1 1 1 1 1 az z za zH 可见 该系统有一个零点 z 0 一个极点 z a1 系统的单位样值响应 1 1 nuazHZnh n 系统的频率响应 sin cos1 1 111 jaaae e eH j j j 幅度响应 cos211 1 2 1 aaeH j 相位响应 cos1 sin arctan 1 1 a a 几何方法分析 因为零点 z 0 位于中心 故零矢量的 Cr 1 是一个定 值 所以频响 H ej 值决定于极矢量变化 当 0 2 4 时 极点 a1最靠近单位圆 此时 H ej 具有最大值 峰值 当 3 时 H ej 具有最小值 谷值 显然 为保证该系统稳定 要求 a1 1 即极点在圆内 进一步分析可知 如果 0 a1 1 则系统呈 低通 特性 若 1 a1 0 则系统呈 高通 特性 若 a1 0 则呈 全通 特性 第五节 数字滤波器的原理与结构 一 数字滤波器的分类 1 按频率响应特性 分低通 高通 带通 带阻滤波器 2 按单位样值响应 h n 的时间特性 分无限冲激响应 有限冲激响应滤波 器 其中输入为单位样值函数 n h n 包含无限个非零值 持续时间无限长 其他 21 0 0 nnn nh 1 无限冲激响应 Infinite impulse response 简称 IIR 滤波器 2 有限冲激响应 Finite impulse response 简称 FIR 滤波器 3 按可实现滤波的方法 分递归滤波器与非递归滤波器 1 递归滤波器 其差分方程式为 M r N k kr knyarnxbny 01 y n 不仅取决于输入值 包括即时输入与过去的输入 而且取决于以前的输 出值 N k k k M r r r zazbzH 10 1 特点 其系统函数一般包含零点和极点 因系统含有反馈环路 系统 在一定条件下才稳定 且 h n 通常是无限长的 此类滤波器一般属于 IIR 滤波 器 2 非递归滤波器 转换为 M r r rnxbny 0 M r r rz bzH 0 H z 除 z 0 点外 只有零点 没有极点 它属于全零点数字滤波器 所 以这个系统是稳定的 由得 0 r rnxrhnhnxny 其他 Mrb nh r 0 0 其 h n 等于差分方程的系数 且为有限长 故此类滤波器属于 FIR 滤波 器 此外 按滤波器可实现的方法 分数字网络方法与 FFT 方法 递归与非递 归滤波均属数字网络方法 快速卷积即为 FFT 方法 二 数字滤波器的结构 1 数字滤波器的硬件 软件实现 实现数字滤波器的两种方法 硬件实现 用数字硬件组装成专用设 备 称为数字信号处理机 软件 计算机 将所需运算编程 用软件实现 例 数字滤波器的差分方程和系统函数如下 其硬件实现方法见图 M r N k kr knyarnxbny 01 1 10 N k k k M r r r zazbzH 的软件实现 1 1 110 nyanxbnxbny 2 数字滤波器的运算结构图 数字滤波器的运算结构图 数字 滤波 系统 差分方程式表示 h n 表示 H z 表示 运算结构图表示 方块图 特鲁克萨尔 Truxal 信号号 流图流图 图中的一阶数字滤波器信号流程图 是具有六节点的简单图 每个节点的 信号值 x n x n 1 y n 1 b1x n 1 a1y n 1 b0 x n b1x n 1 a1y n 1 y n 用信号流程图法分析 IIR 滤波器及 FIR 滤波器的运算结构 1 IIR 滤波器的结构 特点 其 H z 在有限 z 平面上有极点存在 h n 延续到无限长 其结构特 点 属递归型结构 存在反馈回路 而且 具体实现起来 结构并不是唯一 的 同一个系统函数 H z 可以有各种不同结构形式 例 差分方程和系统函数如下 M r N k kr knyarnxbny 01 1 10 N k k k M r r r zazbzH 直接型结构 y n 由两部分组成 1 对 x n 的 M 节延时链的横向结构网络 每节延时抽头后加权相加 2 对 y n 的 N 节延时链的横向结构网络 它是一个 反馈网络 这两部分相加构成输出 实现这种直接型结构 需用 2N N M 级延时单元 2 FIR 滤波器的结构 特点 其 h n 为有限长序列 y n 只与输入 x n x n 1 有关 H z 除 z 0 点外 只有零点没有极点 是全零点数字滤波器 系统稳定 M r r rnxbny 0 M r r rz bzH 0 由于系统的稳定性 滤波器的输出可用卷积和来描述 即 h n 是有限长的滤波因子 它与所要滤波的信号卷积 即可实现滤波过 程 故 FIR 滤波器又称卷积滤波器 其输出是有限个输入信号取样值的加权线 性和 直接型 FIR 滤波器结构 其差分方程式也就是信号的卷积形式 其中 M r rnxrhny 0 其他 Mrb rhnh r 0 0 这里的 y n x n h n 是有限长序列的线卷积问题 可转化为圆卷积来 求解 而圆卷积可利用 FFT 技术实现快速运算 故可得到图 6 27 所示的快速卷 积型 FIR 滤波器结构 这种结构首先通过增添零值的方法延长序列 x n 和 h n 的长度 然后分别求延长了的 x n 和 h n 的 FFT 得 X k 和 H k 最后求 X k H k 的 IFFT 便得到系统的输出 y n 该结构的特点是能对信号进行高速处 理 第六节 数字滤波器的设计方法概述 设计过程大致分三步 1 确定滤波器的性能要求 2 利用因果性系 统函数去逼近性能要求 3 利用有限精度算法去实现系统函数 一 IIR 滤波器设计方法的特点 1 IIR 滤波器设计的基本条件 设计数字滤波器的关键是根据给定的技术指标来确定可实现的 H z 因为 H z 不仅描述系统的传输特性 而且可用来估计系统的数学模型能否实现 根据数字滤波器的采样性质 其频响 H ej 是一个以 2 为周期的连 续函数 频谱延拓 这与模拟滤波器不同 一般情况下 具有实系数而可实现 的传输函数 其幅频特性是频率的偶函数 相位特性是频率的奇函数 即 jj eHeH 数字滤波器的设计应满足 因果性条件 h n 0 n 0 稳定性条件 或 0 n nh0 lim nh n 说明 1 为满足因果条件 H z 应为有限函数 分母多项式的阶次必须大 于或至少等于分子多项式的阶次 即 N M 因为只有这样 才能使与它相应 的差分方程式代表因果系统 2 为满足稳定性条件 H z 的极点必须分布在 z 平面的单位圆内 同时要求 H z 是具有实系数的有理分式 极点的分布具有共 轭对称性 否则 序列的延迟单元 加法器等 因不是实数而难以实现运算 2 IIR 滤波器的设计方法 主要有两种方法 1 利用模拟滤波器的理论来设计 该方法又分为 脉冲响应不变法和双线性变换法等 2 计算机辅助设计 即采用最优技术进行 设计 这里只介绍第一种方法 1 脉冲响应不变法 又称为时域采样法 设计原则 使 h n 与所参照的模拟滤波器的冲激响应的取样值完全一样 即 h n ha nT T 为采样周期 基本思路 先根据给定的滤波指标 设计一模拟滤波器 对模拟滤波器的 脉冲响应作均匀采样 求得数字滤波器的系统函数 即 zHnhnththsH ZT aa ILT a 采样 根据采样序列的 Z 变换与模拟信号拉氏变换的关系 得到 n ez T jns T zH sT 2 1 显然 将模拟滤波器变为数字滤波器 就是从 s 平面到 z 平面的变换过 程 由于是均匀采样 所以数字滤波器的频响是模拟滤波频响的周期延拓 即 n a j TjnjHTeH 2 1 根据 s 平面到 z 平面的影射关系 j 轴上每一个周期间隔 s 2 T 都 对应于 z 平面上绕单位圆转一周 见图 因此 如果模拟滤波器的频响是带限 于折叠频率以内 c s 2 的 则有 0 TjHa 这时才可能使数字滤波器的频响不失真地重现模拟滤波器的频响 即 1 TjHTeH a j 任一实际模拟滤波器的频响都不可能是真正带限的 这就不可避免地 要出现频谱交叠 即频混现象 这时 数字滤波器的频响就不同于模拟滤波器 的频响 产生失真 模拟滤波器的频响在折叠频率以上衰减越大 此失真就越 小 采用脉冲响应不变法设计数字滤波器方能得到较好效果 故这种方法仅适 于设计带通有限的窄带滤波器 模拟滤波器频响模拟滤波器频响 数字滤波器频响数字滤波器频响 2 双线性变换法 出发点 克服脉冲响应不变法的频率混叠 产生混叠的原因 从 s 平面到 z 平面影射变换 z esT 的多值对应关系 基本思路 分两步进行变换 第一步 先将整个 s 平面压缩到 s1 平面的 一条横带里 第二步 将此横带变换到整个 z 平面上去 使 s 平面与 z 平面建 立一一对应的单值关系 即可消除频率混叠现象 如何将 s 平面的 j 轴压缩到 s1 平面的 j 1 轴上的 T T 一段上 方法 正切变换 即 tan 1T 2 将这个关系解析延拓到整个 s 平面 则得到 s 平面到 s1 平面的映射关系 Ts Ts e eTs ths 1 1 1 1 2 1 双曲正切 xxxx eeeethx 22 22 1 1 11 11 2cos 2sin TjTj TjTj ee ee T Tj js s 平面 s1 平面的映射 Ts Ts e eTs ths 1 1 1 1 2 1 s1 平面 z 平面的映射 ts ez 1 s 平面 z 平面的单值映射 此式称为线性分式变换 1 1 11 zzs 此式也为线性分式函数 1 1 ssz 上述变换符合前面所提出的映射变换的总要求 因为 当时 ts ez 1 jj e e s Ts Ts 2 tan 1 1 1 1 1 即 s 平面的虚轴影射到 z 平面正是单位圆 当时 js j j z 1 1 22 22 1 1 z 因此 当 0 z 1 s 平面的 j 轴映射到 z 平面的单位圆上 当 0 z 0 s 平面的右半 部分映射到 z 平面的单位圆以外 注意 1 双线性变换法是一个代数变换 只要将 s 平面与 z 平面之间存在的 简单代数关系直接代人模拟滤波器传递函数中 就可求得相应数字滤波器的系 统函数和频响 因此 模拟滤波器所具有的优良特性就得以保留 2 从 s s1平面的变换过程中 频率关系不是线性的 只有在低频段 近似于线性 而频率 1越高 被压缩得越厉害 因而会出现非线性畸变现 象 一般运用 预畸 方法加以校正 二 FIR 滤波器设计的特点 问题 IIR 滤波器的设计方法能够使 IIR 滤波器具有优良的幅频特性 但忽略了相位条件 例如 用巴特沃兹 切比雪夫函数逼近 就属于这一情况 但在实际应用中 如数据传输 图像处理等系统 对数字滤波器既要求有线性 相移 又要满足给定的幅频特性 这时 IIR 滤波器设计方法不能满足设计的预 定要求 FIR 滤波器的设计方法 最大特点是与模拟滤波器设计无关 相移特性 可以设计成具有严格的线性 而幅频特性则是任意的 1 FIR 滤波器具有线性相位的充要条件 对对 FIR 滤波器 有滤波器 有 1 0 N i i iz bzH 其他q Ninb nh i 0 1 2 1 0 1 0 1 0 N n n N n n n znhzbzH 又 j ez 则或 1 0 N n njj enheH jjj eeHeH 与模拟滤波器相似 数字滤波器的相频特性与滤波器对离散信号的时延 有密切的关系 按相时延与群时延的定义有 相时延 群时延 p dd g 当要求滤波器具有严格线性相位特性 或者说具有相位不失真条件 应有 const gp 或 1 0 N n njj enheH jjj eeHeH 1 0 1 0 cos sin arctan N n N n nnhnnh 1 0 1 0 cos sin cossintan N n N n nnhnnh 0cossin sincos 1 0 1 0 N n N n nnhnnh 0 sin 1 0 N n nnh 此式具有傅里叶级数的形式 根据傅氏级数的性质 若能找到解 则这个 解是唯一的 利用数学归纳法 可以得到此式的解为 10 1 2 1 NnnNhnhN 由此得 这就是 FIR 滤波器具有严格线性相位的充要条件 单位样值响应为偶对称 性序列 h n h N 1 n 相位延时等于 h n 长度的一半 即 N 1 2 个采样周期 对于只要求具有恒定的群时延的滤波器 应满足的相位条件为 1 2 1 2 00 nNhnhN 这时的相频特性仍是一条直线 但信号通过滤波器不仅有 N 1 2 个采样周 期的