探索多边形的内角和与外角和(二)

1 探索多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和 二二 教学目标教学目标 一 知识目标 多边形的外角及外角和公式的推导 二 能力训练目标 1 经历探索多边形的外角和公式的过程 进一步发展学生的合情推理意识 主动探究的习惯 进 一步体会数学与现实生活的紧密联系 2 探索并了解多边形的外角和公式 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力 三 情感与价值观目标 培养学生勇于实践 大胆创新的精神和积极探求客观真理的科学态度 渗透数学中普遍存在的 相互联系 相互转化及数学来源实践 又反过来作用于实践的观点 教学重点教学重点 多边形的外角和公式及其应用 教学难点教学难点 多边形的外角和公式的应用 教学方法教学方法 探究式教学法 教学过程教学过程 一 巧设情景问题 引入课题一 巧设情景问题 引入课题 师 大家清早跑步吗 小明每天坚持跑步 他怎样跑步呢 看大屏幕 清晨 小明沿一个五边形广场周围的小跑 按逆时针方向跑步 1 小明每从一条街道转到下一条街道时 身体转过的角是哪个角 在图中标出它们 2 他每跑完一圈 身体转过的角度之和是多少 3 在上图中 你能求出 1 2 3 4 5 吗 你是怎样得到的 师 同学们来分组讨论 演示一下 学生 6 人一组 可实地做一做 让学生体会数学与现实生活的联系 生甲 1 小明每从一条街道转到下一街道时 身体转过的角 如图中 是 1 2 3 4 5 2 我们五个人做为五边形的顶点 围成一个五边形 由 伴为小明进行跑步 跑完一圈后 他的身体转过的角度之和是 360 3 由上述知道 1 2 3 4 5 分别是小明从一条街道转到下一条街道时 身体转 过的角 而他跑一圈 身体转过的角度是 360 因此得 1 2 3 4 5 360 生乙 我们讨论的结果和甲同学的一样 只不过求 1 2 3 4 5 的和时 我们 组是先画了一个如投影所示的五边形 然后把 1 2 3 4 5 这五个角剪下 将它们的顶 点拼在一起 即各角的顶点重合 这时发现这五个角正好组成了一个周角 由此得到 1 2 3 4 5 360 师 很好 下面大家来看小亮的思考 2 如图所示 过平面内一点 O 分别作与五边形 ABCDE 各边平行的射线 OA OB OC OD OE 得到 其中 1 2 3 4 5 恰好组成一个周角 这样 1 2 3 4 5 的和等于 360 师 小亮也验证了大家得到的结论 好 大家看图 1 2 3 4 5 不是五边形 的角 那是什么角呢 它们的和叫什么呢 生 这五个角是五边形的外角 它们的和叫外角和 师 很好 我们这节课就来探讨多边形的外角 外角和 二 讲授新课二 讲授新课 师 那什么是多边形的外角 外角和呢 我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角 exterior angle 在每个顶点处取这个多边形的一个外角 它们的和叫做这个多边形的外角和 一般地 在多边形的任一顶点处按顺 逆 时针方向可作外角 n 边形有 n 个外角 那多边形的外角和是多少呢 我们来回忆一下 三角形的外角和为多少 生齐 360 师 好 刚才我们又研究了五边形的外角和 它为 360 那大家想一想 出示投影片 4 7 2 C 如果广场的形状是六边形 八边形 它们的外角和也等于 360 吗 学生讨论 得出结论 生甲 通过讨论 演示得到 六边形的外角和是 360 八边形的外角和是 360 生乙 老师 能不能由此得出 多边形的外角和都等于 360 呢 师 谁来解决这个问题呢 生丙 由五边形 六边形和八边形的外角和都等于 360 不能得出所有多边形的外角和都 等于 360 只能是猜想 多边形的外角和都等于 360 师 能得证吗 生丁 因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角 所以 n 边形的外角和加内角和等于 n 180 内角和为 n 2 180 因此 外角和为 n 180 n 2 180 360 师 很好 由此我们得到了多边形的外角和公式 出示投影片 4 7 2 D 3 多边形的外角和都等于 360 师 由此可知 多边形的外角和与多边形的边数无关 它恒等于 360 下面大家来想一想 议一议 出示投影片 利用多边形外角和的结论 能不能推导多边形内角和的结论呢 生 可以 因为对于 n n 是大于或等于 3 的整数 边形 每个顶点处的内角及其一个外角恰好 组成一个平角 因此 n 边形的内角和与外角和的和为 n 180 所以 n 边形的内角和就等于 n 180 360 n 180 2 180 n 2 180 师 好 学完了外角和公式 现在我们来应用一下 以熟悉巩固外角和公式 出示投影片 例 1 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍 它是几边形 分析 这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用 根据题意 可列方程解答 让学生动手解答 解 设这个多边形是 n 边形 则它的内角和是 n 2 180 外角和等于 360 所以 n 2 180 3 360 解得 n 8 这个多边形是八边形 师 好 通过同学们的解答 知道大家基本掌握了多边形的外角和公式 接下来我们通过练 习进一步巩固外角和公式 三 课堂练习三 课堂练习 一 课本随堂练习 1 一个多边形的外角都等于 60 这个多边形是 n 边形 解 因为多边形的外角和等于 360 所以根据题意 可知道这个多边形的边数是 360 60 6 2 下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分 这种多边形是几边形 为什么 解 这种正多边形是正六边形 理由是 设 这个正多边形的一个内角为 x 则由题图得 3x 360 x 120 再根据多边形的内角和公式得 n 120 n 2 180 解得 n 6 二 试一试 1 是否存在一个多边形 它的每个内角都等于相邻外角的 为什么 5 1 解 不存在 理由是 如果存在这样的多边形 设它的一个外角为 则对应的内角为 180 于是 180 解得 150 5 1 这个多边形的边数为 360 150 2 4 而边数应是整数 因此不存在这样的多边形 2 在四边形的四个内角中 最多能有几个钝角 最多能有几个锐角 4 解 最多能有三个钝角 最多能有三个锐角 理由是 设四边形的四个内角的度数分别为 则 360 的值最多能有三个大于 90