解三角形的基本题型

WORD 完美格式 专业知识编辑整理 解三角形的基本题型解三角形的基本题型 睢县回族高级中学睢县回族高级中学 杨少辉杨少辉 解三角形问题是高考的一种基本问题 可以说是常考 下面就这类问题来做个总结 有不对的地方希望大家指正 一 与解三角形有关的公式 定理 结论 1 正弦定理 2 RABC sinsinsin abc R ABC 是的外接圆半径 正弦定理的变形 sinA sinB sinCa b c 根据合比定理 2 RABC sinsinsinA sinB sin ababc R ABC 是的外接圆半径 2 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 余弦定理的变形 222 sinsinsin2sinBsinCcosABCA 222 sinsinsin2sinsinCcosBACAB 222 sinsinsin2sinsincosCABABC 3 三角形面积公式 1 1 2 ABC S 底高 2 两边及夹角 111 sinsinsin 222 ABC SabCbcAacB 3 两角及夹边 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 222 1sinB sinC1sin sinC1sin sin 2sin B C 2sin 2sin ABC AAB Sabc ACAB 4 两角及对边 222 sin sinCsin sinA1sin A B sin11 2sin2sin2sin ABC BCACB Sabc ABC 5 三边 2 ABC abc Sp papbpcp 其中 6 代入正弦定理 2 2sinAsinBsin 4 ABC abc SRC R 7 1 r 2 ABC Sabc r 其中为内切圆半径 4 三角形中的边角关系 1 A BC 222 ABC ABC 2 转化为三角函数 sinsin coscosCABCAB sincos cossin 2222 ABCABC 3 大边对大角 sinAsinBcosAcosBabAB sinAsinBcosAcosBabAB 4 锐角与钝角的判定 角 A 为锐角 222 sinA cosA1abc 角 A 为直角 222 sinA cosA1abc 角 A 为钝角 222 sinA cosA1abc 5 锐角三角形中的边角关系 sinAcosB 22 ABAB WORD 完美格式 专业知识编辑整理 二 解三角形的常见题型 题型一 已知两边及对角 判断三角形解的个数 例 1 根据已知条件 判断下列解的个数 ABC 1 2 0 7 14 30abA 0 4 5 30bcB 3 4 0 25 3 150bcC 0 1 3 60abB 解析 显然应使用正弦定理 1 故 解得 sinAsinB ab 714 1 sin 2 B sin1B 5 0 6 B 由图形可知 直线与只有唯一的交点 所以 只有唯一解 1y sinyB 2 由解得 实际就是研究 sinBsinC bc 5 sin 8 C 5 0 6 C 图像交点的个数 由图像知 5 8 5 sin 0 6 y yx x WORD 完美格式 专业知识编辑整理 有两个交点 即 有两个解 3 由解得 这样的角 B 不存在 无解 sinBsinC bc 25 sin 6 B 4 由解得 又 故 sinAsinB ab 1 sin 2 A 2 0 3 A 6 A 变式 1 已知中 若此三角形有两个解 ABC 3 A 23 a 求边 的取值范围 b 分析 由正弦定理知 只需 sinAsinB ab 3sinbB 有两个不同的交点即可 由图像可知 2 3sinx x0 3 y yb 3 3 2 b 变式 2 1 在中 求 ABC 4 sin 5 A 5 cos 13 B cosC 2 在中 求 ABC 4 sin 5 A 12 cos 13 B cosC 分析 1 由于 关键 coscossinAsinB cosAcosBCAB 12 sin 13 B 是的正负 也就是分析角 A 是锐角还是钝角 即 cos A WORD 完美格式 专业知识编辑整理 交点的情况 如图 只有一个交点 角 A 4 5 sin 0 y yx xB 是一个锐角 即 3 cos 5 A 4 125 333 cos 5 1313 565 C 2 类似分析可知 故 3 cos 5 A 3356 cos 6565 C 或 总结 解决这类问题一般用正弦定理 转化成图像交点的 个数问题 题型二 利用正弦定理求外接圆半径 例 2 直三棱柱中 求其外接 111 ABCABC 1 2 1 A 6 BBBC 球的表面积 分析 此题的关键是确定球心的位置并求球的半径 如图 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 为的外接圆半径 由正弦定理 解得 1 o cABC 1 2 sin BC CO A 球的半径 故 球的表面积为 1 1CO 1 1oo 2oc 8 变式 二面角为 点 P 为二面角内部一点 点 Pl 3 到面 和面 的距离分别为 1 和 2 求点 P 到直线 的距离 l 分析 先作出 P 到直线 的距离 然后放入一个三角形求解 l 过点 P 作于点 A 过点 P 作于点 B 过点 A 作PA PB 于点 C 可得 为所求距离 显然 A B C P 四ACl PC 点共圆 PC 为外接圆直径 ABC WORD 完美格式 专业知识编辑整理 中 由余弦定理知 ABC 222 2 cosABACBCAC BCACB 3AB 3 2 sin3 2 AB PC C 题型三 判断三角形的形状 例 3 在中 已知 判断的形状 ABC 22 tanBtanAab ABC 分析 判断三角形的形状 一般有两条思路 1 证明角 的关系 2 证明边的关系 法一 将角转化成边 原式转化为 代入正弦定理 22 sinBsinA cosBcosA ab cosBcosA ab 应用余弦定理可得 进一步化简得 222222 22 bcaacb ab bcac 422422 0aa cbb c 故 或 即 为等腰 22222 0abcab 222 abc ab ABC 三角形或直角三角形 法二 将边转化成角 原式可化为 代入正弦定理得 coscosaAbB 即 sincossincosAABB 故 或 为等腰三角形或sin2sin2AB 22AB 22AB ABC 直角三角形 变式 在中 已知 判ABC 2222 sinsinabABabAB 断的形状 ABC 题型四 已知三角形中的边角混合式 解三角形 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 例 4 在中 已知 且 求 ABC 22 2acb sinAcosC3cossinAC b 解析 由于要求的是边 应将角转化为边 可化为 sinAcosC3cossinAC cos3 cosaCcA 继续应用余弦定理转化可得 222222 3 22 abcbca ac abbc 化简得 结合 可得 解得 222 2 acb 22 2acb 2 2bb 2b 例 5 在中 已知 求 ABC 2 3 coscos 2 ACBbac B 解析 由于要求的是角 应尽量将所有的边转化为角 故 解得 即 2 3 coscos 2 sinsinAsinC ACAC B 2 3 sin B0 4 B 解得 由 3 sin 2 B 2 33 B 或 3 coscos0 2 BAC 3 B 例 6 在中 已知 ABC cos3 sin0aCaCbc 1 求角 A 2 若 求 2 3 ABC aS b c 解析 1 边化角 sinAcosC3sinAsinC sinB sinC0 统一角 sinAcosC3sinAsinC sinsinC0AC 化简得 3sinAsinC sincossinC0CA 进一步化简可得 解得 1 sin 0 62 AA 3 A WORD 完美格式 专业知识编辑整理 2 从第一问得到启发 面积公式应用 3 A 1 sin3 2 ABC SbcA 可以解出 从再联想到余弦定理 4bc 4bc 代入数据可得 两式联立解得 222 2cosabcbcA 22 8bc 2 2bc 变式 在中 已知 且成等比数列 ABC 5 sin 13 B a b c 1 求的值 11 tantanAC 2 若 求的值 cos12acB ac 总结 解决此类问题 变角转化是关键 统一变量是目的 题型五 三角形中的取值范围问题 例 7 在中 已知 ABC 1 cos 2 aCcb 1 求角 A 的大小 2 若 求 周长及面积的取值范围 1a ABC 解析 1 即 1 sincossinCsinB 2 AC 1 sincossinCsin 2 ACAC 化简得 角 1 cos 2 A 3 A 2 法一 转化为边 由余弦定理 周长 只需要 222 1abcbc 1labcbc 求的取值范围即可 由三角形的性质知 由 bc 1bca 基本不等式可得 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 当且仅当时取等号成立 2 22 2 22 2 bcbc bc bc bc 故 即 周长的取值范围是 2 22 1 4 bc bcbc 12bc 2 3 由于且 所以 13 sin 24 ABC SbcAbc 2 31bcbc 2 14bc 01bc 即 面积的取值范围是 3 0 4 法二 转化为角 由正弦定理知 周长 2 3 sin3sinBsinC abc A 2 3 1sinB sinC 3 将代入并化简得 周长 2 3 BC 12sin 6 B 2 0 3 B 周长的取值范围是 2 3 面积的取 133 112 sinsin 2 0 2432643 ABC SbcAbcBB 值范围是 3 0 4 变式 1 将例 7 中的 改为 锐角 ABC ABC 法一 将很难解决这个问题 而 法二 仅仅需要改变 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 一下角 B 的取值范围即可 将代入可得 0 2 0 2 B C 2 3 CB 后面同上法 62 B 变式 2 在 中 已知求的取值范ABC 3 3 BAC 2ABBC 围 解析 由正弦定理知 22sinC 4sinA2 3cosC 4sinCABBC 由辅助角公式得 23 22 7sin C0 tan 32 ABBCC 故 2 3 C 2 min 2 7sin 2 7sin22 7 3 ABBC 的取值范围是 2ABBC 3 2 3 题型六 解三角形的应用题 例 8 如图 A B 是海面上位于东西方向相距 海里的 5 33 两个观测点 现位于 A 点北偏东 B 点北偏西 的 D 点 0 45 0 60 有一艘轮船发出求救信号 位于 B 点南偏西且与 B 点相距 0 60 海里的 C 点的救援船立即前往营救 其航行速度为 3020 3 海里 小时 该救援船到达 D 点需要多长时间 解析 WORD 完美格式 专业知识编辑整理 解 根据题意知 海里 5 33AB 0 30DBA 0 45DAB 0 105ADB 在中 由正弦定理得 DAB sinsin DBAB DABADB 海里 10 3DB 又 海里 0 60DBCDBAABC 20 3BC 在中 由余弦定理得DBC 222 2 cos900CDBDBCBD BCDBC 所以 救援船到达 D 点需要 1 小时 例 9 福州青运会开幕式上举行升旗仪式 在坡度的看台 0 15 上 同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分 别为 60 和 30 第一排和最后一排的距离为米 如10 6 下图所示 则旗杆的高度为 米 A B C 20 D 3010 320 3 分析 000 45 105 30PCBPECCPB 在中 PBCA WORD 完美格式 专业知识编辑整理 即 米 sinsin BCPB CPBBEP 20 3BP 所以 在中 米RT BOP 30OP 例 10 如图 在中 已知点 在边上 ABC DBCACAD 则的长为 23 3 22 sin ABBAC3 ADBD 分析 在中 由余弦定理可知 ABD 2 2 cos 3 BAD 解得 222 2 cosBDABADAB ADBAD 19BD 例11 2013年高考新课标1 理 如图 在 ABC中 ABC 90 AB BC 1 P为 ABC内一点 BPC 90 3 1 若 PB 求 PA 2 若 APB 150 求 tan PBA 1 2 解析 1 由已知得 PBC o 60 PBA 30o 在 PBA 中 由 余弦定理得 2 PA o 11 323cos30 42 7 4 PA 7 2 2 设 PBA 由已知得 PB sin 在 PBA 中 由正弦定理 得 oo 3sin sin150sin 30 化简得 3cos4sin tan 3 4 tanPBA 3 4 例 11 在中 角 A 的角平分线 AD 交边 BC 于ABC 0 120A WORD 完美格式 专业知识编辑整理 点 D 且 AB 2 CD 2DB 求 AD 的长 解析 如图 在中用正弦定理得 ABD 0 sin60sin BDAB ADB 在中用正弦定理得 ACD 0 sin60sin CDAC ADC 两式联立得 1 2 ACBD ABDC 解得 00 13 sin1203 sin60 22 ABCABD SAB ACSAB AD 4 3 AD 例 12 在中 AB 2 D 是 AC 上一点 且ABC 1BC AD 2CD 求 BD 的长 3