文科立体几何用空间向量坐标法解决的题目收集

1 一 求异面直线所成的角 1 2015 届天府教育大联考 6 文 第 13 题 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起 使点 C 到达 C1 且平面 ABD平面 C1BD 此时异面直线 AB 与 C1D 所成角的度数为 答 60 注 本题若用作 证 求 答的步骤来解 学生作异面直线所成角有困难 正确率为 0 3 可考虑用向量坐标法来解 思路更顺畅 2 2015 届用黑按钮课时作业 P42 第 4 题 3 2015 届用黑按钮课时作业 P42 第 7 题 4 2015 届用黑按钮课时作业 P42 第 10 题 5 2015 届用黑按钮课时作业 P43 附加题 二 证线线平行 1 2011 安徽理 17 文 19 如图 ABCDEFG为多面体 平面ABED与平面AGFD垂 直 点O在线段AD上 1 2 OAOD OAB OAC ODE ODF都 是正三角形 证明直线BC EF II 求棱锥 F OBED 的体积 本题考查空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 空间直线平行的证 明 多面体体积的计算等基本知识 考查空间想象能力 推理论证能力和运算求解能 力 I 综合法 证明 设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点 由于 OAB 与 ODE 都是正三角形 所 以 OB DE 2 1 OG OD 2 2 同理 设 G 是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点 有 2 ODGO 又由于 G 和 G 都在线段 DA 的延长线上 所以 G 与 G 重合 在 GED 和 GFD 中 由OB DE 2 1 和 OC DF 2 1 可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中点 所以 BC 是 GEF 的中位线 故 BC EF II 解 由 OB 1 OE 2 2 3 60 EOB SEOB知 而 OED 是边长为 2 的正 三角形 故 3 OED S 所以 2 33 OEDEOBOBED SSS 过点 F 作 FQ AD 交 AD 于点 Q 由平面 ABED 平面 ACFD 知 FQ 就是四棱 锥 F OBED 的高 且 FQ 3 所以 2 3 3 1 OBEDOBEDF SFQV 注 1 本题第一问证明涉及到同一法 有技巧 不容易想到证 G 与 G 重合 可用空间向量 坐标法来证明更方便 2 本题已整理到必修二题目 2008 2014 年高考新课标文科立体几何部分题型题目收 集 证线线平行文档中 2 2015 届用黑按钮课时作业 P42 第 9 题 设 E 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1所在棱上的中点 求 E F G H P Q 共面 注 本题中涉及到证明线线平行 如证明直线 EF 平行于 QG 用定理证明较为麻烦 可 用坐标法证明 过程较为简单 三 证线线垂直 1 2015 届天府教育大联考 6 文 第 20 题 四棱锥 A BCDE 中 等边三角形 ABC 所在 平面与正方形 BCDE 所在平面垂直 F 为 CD 的中点 求证 AEBF 求 AE 与平面 BCDE 所成角的余弦值 注 本题 问用线面垂直证线线垂直 则想到找一个过 AE 的平面以及如何让找这 样的平面稍有技巧 证明过程中需证明 BF 垂直于 GE 点 G 为线段 BC 的中点 则还 要先证明三角形 BGE 与三角形 BFC 全等较为麻烦 考虑用向量坐标法更为方便 38 2012 高考陕西文 18 本小题满分 12 分 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB A A1 CAB 2 3 证明 11 BACB 已知 AB 2 BC 求三棱锥的体积5 11 CAAB 解析 如图 连结 1 AB 111 ABCABC 是直三棱柱 CAB 2 来源 AC 平面 11 ABB A 故 1 ACBA 又 1 ABAA 四边形 11 ABB A是正方形 11 BAAB 又 1 CAABA 1 BA 平面 1 CAB 故 11 CBBA 1 2ABAA 5BC 11 1ACAC 由 知 11 AC 平面 1 ABA 11 1 3 CABA V S 1 ABA 11 AC 12 2 1 33 注 本题第一问通过证明线面垂直得线线垂直 稍有技巧 可先建立空间直角坐标系 用 向量坐标法证明 则可避免这个技巧 本题已整理到 2008 2014 年高考新课标文 科立体几何部分题型题目收集 1 2013 年高考湖南 文 如图 2 在直棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC AA1 3 D 2 是 BC 的中点 点 E 在棱 BB1上运动 I 证明 AD C1E II 当异面直线 AC C1E 所成的角为 60 时 求三棱柱 C1 A2B1E 的体积 答案 解 11C CBBADE面为动点 所以需证因为 ADBBABCADABCBBCBAABC 11111 面且面是直棱柱 4 ADBCBCDABCRT 的中点 为是等腰直角且又 1111111 ECADCCBBECCCBBADBBBBC 面且面由上两点 且 证毕 660 111111 AEECARTECAACCA中 在 的高是三棱锥是直棱柱中 在 1111111111 2 CBAEEBCBAABCEBEBART 3 2 3 2 21 3 1 3 1 1111 11 111111 的体积为所以三棱锥E