中考数学二轮复习 专题练习（上）函数中的面积问题 新人教版

函数中的面积问题函数中的面积问题 1 如图 在直角梯形中 abcdadbc 90b 动点都从点出发 点沿6adcm 8abcm 14bccm pq cp 方向做匀速运动 点沿方向做匀速运动 当其中一点cb qcda pq 到达终点时 另一点也随之停止运动 1 求的长 cd 2 若点以速度运动 点以的速度运动 连接 p1 cm sq2 2 cm sbqpq 设面积为 点运动的时间为 求与 的函数关系式 并bqpa 2 s cm pq t s st 写出的取 值范围 t 3 若点的速度仍是 点的速度为 要使在运动过程中出现p1 cm sq acm s 请你直接写出的取值范围 pqdc a 解析 1 过点作 垂足为点 ddhbc h 则有 8dhabcm 6bhadcm 146 8chbcbhcm 在中 rt dcha 22 8 2cddhchcm 2 当点运动的时间为 则 pq t s pct 当在上时 过点作 垂足为点 qcdqqgbc g 则由点的速度为 得 q2 2 cm s2 2qct 又 dhhc dhbc 45c 在中 rt qcga sin2 2 sin452qgqcctt 又 14bpbcpct 2 11 14 214 22 bpq sbp qgtttt a aa 当运动到点时所需要的时间qd 8 2 4 2 22 2 cd t 2 1404sttt 当在上时 过点作 垂足为点 qdaqqgbc g 则 8qgabcm 14bpbcpct 11 14 8564 22 bpq sbp qgtt a aa 当运动到点时所需要的时间qa 8 263 2 4 22 22 2 cdad t 564st 3 2 44 2 t 综合上述 所求的函数关系式是 2 1404 3 2 564 44 2 ttt s tt 3 要使运动过程中出现 的取值范围是 pqdc a 4 12 3 a 2 如图 点在的两边上 连90c ab c 30ca 20cb 接 点从点出发 以每秒个单位长度的速度沿方向运动 到点停abpb4bcc 止 当点与两点不重合时 作交于 作pbc pdbc abd 于 为射线上一点 且 设点的运动时间为deac efcbcefabc p 秒 x 1 用含有的代数式表示的长 xce 2 求点与点重合时的值 fbx 3 当点在线段上时 设四边形与四边形重叠部分图形的面积fcbdecpdefb 为 平方单位 求与之间的函数关系 式 yyx 4 当为某个值时 沿将以为顶点的四边形剪开 得到两个图xpddefb 形 用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形 请直接写出所有符合上述条 件的值 x 解析 1 由题意知 四边形为矩形 dbpabcaa pdec pdpb cacb 30 4 6 20 ca pbx pdx cb cepd ce6x 2 由题意知 cefcbaaa cfce cacb 30 6 9 20 ca cex cfx cb 当点与点重合时 解得 fbcfcb 920 x 20 9 x 3 当点与点重合时 得 fpbpcfcb 4920 xx 20 13 x 当时 如图 20 0 13 x 2 6 2013204 51120 22 pd pfdexxx yxx 当时 如图 2020 139 x 1 2 yde dg 12 204 204 23 xx 2 16 5 3 x 与之间的函数关系式为yx 2 2 20 501200 13 162020 5 3139 xxx y xx 4 123 20205 19132 xxx 分析分析 1 由 即可得出比例式从而得出表示的长 dbpabcaa ce 2 根据当点与点重合时 即可得出答案 fbfcbc 3 分和列出与之间的函数关系式 20 0 13 x 2020 139 x yx 4 根据三角形 边长相等得出答案 如图 当时 解得 为拼成的三角形 pdpf 62013xx 20 19 x b pe 如图 当点与点重合时 解得 为拼成的三角fp4920 xx 20 13 x bdc 形 如图 当时 解得 为拼成的三角形 depb 2044xx 5 2 x dpf 3 如图 梯形中 于点 abcdadbc 90bad cead e 从初始时刻开始 动点分别从点同8adcm 4bccm 5abcm p q a b 时出发 运动速度均为 动点沿的方向运动 到点停止 1 cm spabce e 动点沿的方向运动 到点停止 设运动时间为 的面积qbced dxspaq 为 这里规定 线段是面积为的三角形 2 y cm0 解答下列问题 1 当时 当时 2xs y 2 cm 9 2 xs y 2 cm 2 当时 求与之间的函数关系式 5 14x yx 3 当动点在线段上运动时 求出时的值 pbc 4 15 y abcd s梯形x 4 直接写出在整个运动过程中 使与四边形的对角线平行的所有的值 pqabcex d b a e c q p 解析 1 2 分三种情况 2 9 当时 如图 59x abppcqabcq ysss aa梯形 2 111165 5455947 22222 xxxxxx 当时 如图 913x 2 1119 941435 222 apq ysxxxx 当时 如图 1314x 1 8 14456 2 apq ysxx 3 当动点在线段上运动时 pbc 441 4858 1515 2 abcd ys 梯形 即 解得 2 165 78 22 xx 2 14490 xx 12 7xx 当时 7x 4 15 abcd ys 梯形 4 2161 101 999 x 4 如图 矩形中 点是的中点 点在的abcd62 3abbc oabpab 延长线上 且 一动点从点出发 以每秒 个单位长度的速度沿匀速运3bp eo1oa 动 到达点后 立即以原速度沿返回 另一动点从点发发 以每秒 个单位aaofp1 长度的速度沿射线匀速运动 点同时出发 当两点相遇时停止 运动 在点paef 的运动过程中 以为边作等边 使和矩形在射线ef efefgaefgaabcd 的同侧 设运动的时间为 秒 pat0t 1 当等边的边恰好经过点时 求运动时间 的值 efgafgct 2 在整个运动过程中 设等边和矩形重叠部分的面积为 请直接写efgaabcds 出与 之间的函数关系式和相应的自变量 的取值范围 stt 3 设与矩形的对角 线的交点为 是否存在这样的 使egabcdacht 是等腰三角形 若存大 求出对应的 的值 若不存在 请说明理由 aohat 解析 1 当边恰好经过点时 fgc60cfb 3bft 在中 即rt cbfa2 3bc tan bc cfb bf 23 tan60 bf 解得 即2bf 321tt 当边恰好经过点时 fgc1t 2 当时 01t 2 34 3st 当时 13t 2 37 3 3 3 22 stt 当时 34t 4 320 3st 当时 46t 2 312 336 3stt 3 存在 理由如下 在中 rt abca 3 tan 3 bc cab ab 30cab 又 60heo 30haeahe 或 3aehet 3t 1 当时 如图 3ahao 过点作于 则 eemah m 13 22 amah 在中 即 即rt ameacos am mae ae 3 2 cos30 ae 3ae 或33t 33t 或33t 33t 2 当时 如图 haho 则 又 30hoahao 60heo 90eho 22eoheae 又 3aeeo 23aeae 1ae 即或 31t 31t 或 2t 4t 3 当时 如图 ohoa 则 30ohaoah 点和点重合 60hobheb eo 即或 3ae 33t 33t 舍去 或 6t 0t 综上所述 存在个这样的值 使是等腰三角形 即 5taoha33t 33t 2t 4t 0t 5 如图 在平行四边形中 一动点abcd4adcm 60a bdad 从出发以每秒的速度沿的路线匀速运动 过点作直线 pa1cmabc ppm 使于点 pmad e 1 当点运动时 设直线与相交于点 求的面积 p2spmadeapea 2 当点运动时 另一动点也从出发沿的路线运动 在p2sqaabc 上以每秒的速度匀速运动 过作直线 使 设点bc2cmqqn qnpm 运动的时间为 秒 直线与截平行四边形所得qt010t pmqnabcd 图形的面积为 求关于 的函数关系式 2 scmst d c m e a p b 解析 1 当点运动时 由p2s2apcm 60a 1 3aepe 3 2 ape s 2 点速度为 点在上的速度为p1 cm sqab1 cm s 又 4ad 60a 8abcm 点在上运动秒钟 而点晚秒钟开始运动pab8q2 点在上运动秒钟qab8 当时 点与点都在上运动 设与交于点 与06t pqabpmadeqn 交于点 如图 adf 则 3 22 t aqt afqft 3 2 1 3 22 t aptaepet 此时两平行线截平行四边形的面积为 abcd 33 222 fqpe seft a 当时 点在运动 点仍在上运动 如图 68t pbcqab 设与交于点 与交于点 pmdceqnadf 则 13 22 aqt aft qft 4 2 t df 6 10 10 3bptcpt pet a 而4 3bd aqfcpeabcd ssss 平行四边形 1 131 16 3 10 10 3 2 222 tttt aaa 2 5 3 10 334 3 8 tt 当 点和点都在上运动 如图 810t pqbc 则202 202 3cqt qft 10 10 3cpt pet a 此时两平行线截平行四边形的面积为 abcd 2 epfq spq 代入化简得 2 3 3 30 3150 3 2 stt 6 6 菱形的对角线相交于点 动点在abcdacbd o4 3ac 4bd p 线段上从点向点运动 于点 四边形关于对称 bdbdpfab fpfbgbd 四边形与四边形关于对称 设菱形被这两个四边形盖住部qedhpebgacabcd 分的面积为 未被盖住部分的面积为 1 s 2 sbpx 1 用含的代数式分别表示 x 12 ss 2 若 求的值 12 ss x 解析 1 当点在上时 如图 1 所示 pbo 四边形是菱形 abcd4 3ac 4bd acbd 1 2 2 bobd 1 2 3 2 aoac 且 1 8 3 2 abcd sbd ac 菱形 tan3 ao abo bo 60abo 在中 rt bfpa 90bfp 60fbp bpx 3 sinsin60 2 fpfp fbp bpx 3 2 fpx 2 x bf 四边形关于对称 四边形与四 边形关于对称 pfbgbdqedhpebgac bfpbgpdeqdhq ssss aaaa 2 1 133 44 2222 bfp x ssxx a a 2 2 3 8 3 2 sx 当点在上时 如图 2 所示 pod 4ab 2 x bf 4 2 x afabbf 在中 rt afma 90afm 30fam 4 2 x af 3 tantan30 3 fm fam af 3 4 32 x fm 1 2 afm saffm a 13 4 4 2232 xx a 2 3 4 62 x 四边形关于对称 四边形与四边形关于对称 pfbgbdqedhpebgac afmaemchncgn ssss aaaa 22 2 33 44 4 8 626 afm x ssx a 2 12 3 8 38 3 8 6 ssx 综上所述 当点在上时 pbo 2 1 3 2 sx 2 2 3 8 3 2 sx 当点在上时 pod 2 1 3 8 3 8 6 sx 2 2 3 8 6 sx 2 当点在上时 pbo02x 12 ss 12 8 3ss 1 4 3s 2 1 3 4 3 2 sx 解得 1 2 2x 2 2 2x 2 22 2 20 当点在上时 的情况不存在 pbo 12 ss 当点在上时 pod24x 12 ss 12 8 3ss 2 4 3s 2 2 3 84 3 6 sx 解得 1 82 6x 2 8 2 6x 82 64 28 2 64 8 2 6x 综上所述 若 则的值为 12 ss x8 2 6 7 如图 已知矩形的边长 点是边上的一动点abcd2ab 3bc pad 异于 是边上的任意一点 连 过作交 aqpad qbcaqdqppedqa 于 作交于 epfaq dqf 1 求证 apeadqaa 2 设的长为 试求的面积关于的函数关系式 并求当在何apxpefa pef saxp 处时 取得最大值 最大值为多少 pef sa 3 当在何处时 的周长最小 须给出确定在何处的过程或方法 不必qadqaq 给出证明 解析 1 证明 pedq apeadqaepaqd apeadqaa 2 作中边点的高adqadqah ahdq 90ahd 四边形 abcd 是矩形 90dcqacd 90adhqdcdqc adhadqaa ahad dcdq 23dcabadbc 即 3 2 ah dq 6dq ah 11 63 22 adq sdq ah apeadqaa apx 即 22 22 3 ape adq sapx sad 222 2 3 393 apeadq xxx ss 又 pfaq pedq paedpf aped apepdfaa 2 2 ape pdf sap spd 又 3pdx 22 22 3 ape pdf sapx spd x 即 22 2 2 22 331 63 33 pdfape xxx ssxx xx 又 pfaq pedq 四边形是平行四边形peqf 1 2 pefpeqh ss a 11 22 pefpeqhadqapepdf sssss a 2 22 111 3633 2333 x xxxx 又 2 2 133 3 1 3 324 pef xsxx 当 即是的中点时 取得最大值 3 2 x pad pef sa 3 4 3 作关于直线的对称点 连交于 则这个点就是使abca da bcqq 周长最小的点 此时是的中点 adqaqbc 8 已知 都是等边三角形 是与的中点 连接abcadefambcef adbe 1 如图 1 当与在同一条直线上时 直接写出与的数量关系和位置efbcadbe 关系 2 固定不动 将图 1 中的绕点顺时针旋转 abcadefam 090 角 如图 2 所示 判断 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请加以证明 若不成立 说明理由 3 固定不动 将图 1 中的绕点旋转 角 作abcadefam 090 于点 设 线段 所围成的图形面积为dhbc hbhx abbeedda 当时 求关于的函数关系式 并写出相应的的取值范s62abde sxx 围 解析 1 3 ad be adbe 2 证明 连接 dmam 在等边三角形中 为的中点 abcmbc ambc 1 30 2 bambac 3 am bm 90bmeema 同理 3 dm em 90amdema amdm bmem amdbme admbemaa 3 addm beem 延长交于点 交于点 beamgadk madmbe bgmagk 90gkaamb adbe 3 解 当绕点顺时针旋转 角时 defam 090 admbemaa 2 3 adm bem sad sbe 1 3 bemadm ss abmadmbemdem sssss 2 3 abmadmdem sss 1211 3 3 33 3 3 13 2322 x 33x 33sx 333x 当绕点逆时针旋转 角时 可证 defam 090 admbemaa 1 2 3 s bm bem sam adm 1 3 bemadm ss abmbemadmdem sssss 2 3 abmadmdem sss 9213 33 3 3 2322 x 33x 33sx 333x 综上 33sx 3333x 9 如图 在中 点在射线上 abca10ab ac 3 cos 5 b dab 交射线于点 点在的延长线上 且 以debc acefae 1 4 efae 为邻边作 连接 deef defgabg 1 当时 求的面积 effc adea 2 设 与重叠部分的面积为 求与的函数关系式 adx defgaabcayyx 3 当点在线段上时 若是等腰三角形 求的长 facdbgaad 解析 1 作于ahbc h 在中 rt abha 3 cos 5 bh b ab 10ab 6bh 8ah abac 212bcbh 1 12 8 48 2 abc s a 1 4 efae effc 42 63 ae ac debc adeabcaa 2 4 9 ade abc sae sac 4464 48 993 adeabc ss aa 2 设交于点ahdegf mn debc aeamde acahbc adx 4 5 amx 6 5 dex 11 45 mnamx 当点在线段上时fac 2 8 616 0 5525 defg ysxxxx a a 当点在延长线上时 则fac 4 8 5 mhx 2 642448 8 8 55255 deck ysxxxx x a 综合得 2 2 8 6 0 25 2448 8 255 xx y xx x 3 bcac aabc dgac bdgaabcdbg bgdg 作于 于fpbc pgqbc q 在中 rt fpca 5 10 4 fcx 4 sinsin 5 cabc 3 coscos 5 cabc 8fpx 3 6 4 pcx 639 12 6 6 5420 bqxxx 22 9 8 6 20 bgxx 在中 dbga10dbx 1 4 dgx 若 则 解得dbdg 1 10 4 xx 8x 若 则dbbg 22 9 10 8 6 20 xxx 解得 舍去 1 0 x 2 560 81 x 综上所述 若是等腰三角形 的长为或dbgaad8 560 81 10 已知 如图 在平行四边形中 以abcd126abbc adbd 为斜边在平行四边形的内部作 adabcdrt aeda30ead 90aed 1 求的周长 aeda 2 若以每秒个单位长度的速度沿向右平行移动 得到 当aeda2dc 000 a e da 与重合时停止移动 设移动时间为 秒 与重叠部分的面积 00 a dbct 000 a e dabdca 为 请直接写出与 之间的函数关系式 并写出 的取值范围 sstt 3 如图 在 2 中 当停止移动后得到 将饶点按顺时aedabecabecac 针方向旋转 在旋转过程中 的对应点为 的对应点为 0180 b 1 be 1 e 设直线与直线交于点 与直线交于点 是否 存在这样的 使 11 b ebepcbq 为等腰三角形 若存在 求出的度数 若不存在 请说明理由 bpqa 解析 1 在中 rt aeda63090adeadaed 3de 3 3ae 的周长为aeda93 3 2 2 2 2 6 33 0 22 33 3 39 2 3 6222 13 39 20 342 3 62 tt sttt ttt 3 存在 使为等腰三角形 bpqa 理由如下 经探究 得 1 bqpbqcaa 故当为等腰三角形时 也为等腰三角形bqpa 1 bqca 当时 如答图 qbqp 则 1 qbqc 11 30bcqb 即 1 30bcb 30 当时 则bqbp 11 bqbc 若点在线段的延长线上时 如答图 q 11 b e 1 30b 11 75bcqbqc 即 1 7575bcb 若点在线段的延长线上时 如答图 q 11 e b 11 30cbecb e 11 1515bpqbqpbcqbqc 11 165bcbbcqbcq 165 当时 如答图 pqpb 则 1 cqcb 1 cbcb 1 cqcbcb 又 点在直线上 qcb0180 点与点重合qb 此时三点不能构成三角形bpq 综上所述 的度数为或或时 为等腰三角形 30 75 165 bqpa 11 如图1 在梯形中 abcdadbca90a 8ab 4ad 边长为的正方形的边在直线上 且与重合 并 2 tan 3 c 3efmnfmbcmb 沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动 当与重合时停止运动 设运动时bc1mc 间为秒 t 1 当正方形的顶点分别落在线段和上时 求运动时间和的efmnnbddc 1 t 2 t 值 2 在整个运动过程中 设正方形与重合部分的面积为 直接写出efmndbcas 与之间的函数关系式和自变量的取值范围 stt 3 如图2 将沿翻折 得到 取的中点 连接 abdabdbdpabdqpq 是否存在某一时刻 使是直角三角形 若存在 求出相应的 值 peqetpqeat 若不存在 请说明理由 解析 1 当点落在线段上时 设交于 nbdenabh 则bgnbadaa 即 gnbg adba 1 3 48 t 1 3 2 t 当点落在线段上时过作于 ndcddhbc h 则48bhaddhab 2 tan 3 dh c hc 3 12 2 hcdh 4 12 16bcbhhc 即 2 tan 3 nm c mc 2 32 163t 2 23 2 t 2 2 2 2 3 16 3 0 2 9 3 3 4 2 459 9 3 42 923 9 22 123421 2329 331222 29 235 2 tt tt ttt s t ttt tt 3 连接 过作于appprab r 由面积法可得 16 5 ap 易证 得 arpdabaa 16 5 ar 32 5 pr 若90pqe 过作的平行线 作于 于qabghpggh gehgh h 易证 pqgqehaa pgqh qgeh 解得 32 2 43 5 16 32 4 5 t 57 11 t 若90peq 作于 于pgen gqhen h 易证 pqgqehaa egqh pgeh 解得 32 3 43 5 16 32 5 5 t t 362 19 5 t 若90qpe 过作的平行线 作于 于pbcgheggh gqhgh h 易证 pegqphaa pgqh egph 解得 3216 34 55 1632 52 55 t 107 11 t 综上所述 存在时刻 使是直角三角形tpqea 或或或 57 11 t 362 19 5 362 19 5 107 11 12 已知 在矩形中 为边上一点 abcdebcaede 12ab 为线段上一点 连接 如图 现有一张硬质纸片16be fbe7ef af 斜边与边在同一直线上 gmna90ngm 6ng 8mg mnbc 点与点重合 点在线段上 如图 从图 的位置出发 以每秒negdegmna 个单位的速度沿向点匀速移动 同时 点从点出发 以每秒个单位的速度1ebbpa1 沿向点匀速移动 点为直线与线段的交点 连接 当点到达addqgnaepqn 终点时 和 点同时停止运动 设运动时间为秒 解答下列问题 bgmnapt 1 在整个运动过程中 当点在线段上时 求的值 gaet 2 在整个运动过程中 是否存在点 使是等腰三角形 若存在 求出 的值 papqat 若不存在 说明理由 3 在整个运动过程