椭圆定义的运用

x y O A B F 1 F 2 椭圆定义的运用 湖北襄城高级中学 刘杰 椭圆是圆锥曲线的一种 是高中数学教学中的重点和难点 椭圆的定义为 平面内与两个定点 F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距 离叫做焦距 一般用 2c 表示 运用定义解题是最基本的方法之一 它可以优化解题思路 使解题过程简 洁 明快 一 利用定义求轨迹一 利用定义求轨迹 例 1 已知 ABC 的周长为 16 边 AB 的长为 6 求点 C 的轨迹方程 分析 ABC 的周长为定值 边 AB 的长为 6 则边 AC 的长与 BC 的长之和为 10 也就是 C 到 A B 的 距离之和为定值 10 由椭圆的定义可知 点 C 的轨迹是椭圆 解 以 AB 所在直线为 x 轴 以 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系 如图 由已知 AB AC BC 16 AB 6 有 AC BC 10 即点 C 的轨迹是椭圆 且 2c 6 2a 16 6 10 c 3 a 5 b2 a2 c2 52 32 16 但当点 C 在直线 AB 上 即 y 0 时 A B C 不能构成三角形 所以点 C 的轨迹为 y 0 1 1625 22 yx 点评 对于求到两定点的距离之和为定值 大于两定点的距离 的点的轨迹方程时 可根据椭圆的定义 直接得到点的轨迹方程 但在运用时 不要忽略题目的限定 如有不符合题意的点 应在所得方程后注明 限制条件 二 利用定义求周长二 利用定义求周长 例 2 已知椭圆的方程为 其焦点为 F1 F2 过 F1做直线交椭圆于 A B 两点 则 ABF21 916 22 yx 的周长为 解析 由椭圆的方程可得 a2 16 即 a 4 由椭圆的定义可知椭圆1 916 22 yx 上的点 A 到两焦点 F1 F2的距离为 AF1 AF2 2a 8 同理点 B 到两焦点的距离 为 BF1 BF2 2a 8 由图可得 ABF2的周长为 AB AF2 BF2 AF1 BF1 AF2 BF2 4a 16 点评 注意运用椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值 2a 这一条件 准确把握定义 三 利用定义求方程三 利用定义求方程 例 3 已知椭圆的两个焦点分别为 F1 5 0 F2 5 0 椭圆上一点 P 到 F1 F2距离之比为 3 4 且 F1PF2为直角 求椭圆的标准方程 分析 由椭圆的定义可得 点 P 到 F1 F2距离之和为 PF1 PF2 2a 再根据点 P 到 F1 F2距离之比 为 3 4 及 F1PF2为直角 可得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 进一步可求出 2a 得到椭圆的方程 解 设点 P 到 F1距离为 PF1 3x x 0 则 P 到 F2距离为 PF2 4x F1PF2为直角 F1F2 2c 10 PF1 2 PF2 2 9x2 16x2 F1F22 100 即 25x2 100 解得 x 2 PF1 6 PF2 8 即 2a 14 a 7 b2 a2 c2 49 25 24 椭圆的标准方程为 1 2449 22 yx 点评 焦点三角形问题 要结合椭圆定义与三角形边角关系找思路 本题的关键是结合勾股定理 四 利用定义求面积四 利用定义求面积 例 4 设P为椭圆上一点 F1 F2是其焦点 若 F1PF2 求 F1PF2的面积 1 64100 22 yx 3 分析 根据椭圆的定义可得三角形两边 PF1与 PF2之和 结合余弦定理和三角形面积公式进行求解 解 设 PF1 m PF2 n 则 mnmnS PFF 4 3 3 sin 2 1 21 由椭圆的定义知 PF1 PF2 m n 20 又由余弦定理得 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos 即 m2 n2 mn 122 144 3 x y O AB C 由 可得 mn 3 256 3 364 21 PFF S 点评 结合余弦定理和三角形面