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函数模型的应用实例 一 这个函数的图像如下图所示 2 根据图形可得 例1一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示 1 求图中阴影部分的面积 并说明所求面积的实际含义 2 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式 并作出相应的图象 1 2 3 4 5 在解决实际问题的过程中 函数图像能发挥很好的作用 因此 我们应当注意读图的能力 总结解应用题的策略 一般思路可表示如下 还原 将用数学知识和方法得出的结论 还原为实际问题的意义 解决应用题的一般程序是 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 建模 将文字语言转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 解模 求解数学模型 得出数学结论 例2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 认识人口数量的变化规律 可以为有效控制人口增长提供依据 早在1798年 英国经济学家马尔萨 T R Malthus 1766 1834 就提出了自然状态下的人口增长模型 其中t表示经过的时间 表示t 0时的人口数 r表示人口的年平均增长率 下表是1950 1959年我国的人口数据资料 1 如果以各年人口增长谐振平均值作为我国这一时期的人口增长率 精确到0 0001 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型 并检验所得模型与实际人口数据是否相符 解 设1951 1959年的人口增长率分别为 由 于是 1951 1959年期间 我国人口的年均增长率为 由图可以看出 所得模型与1950 1959年的实际人口数据基本吻合 2 如果按表3的增长趋势 大约在哪一年我国的人口达到13亿 将y 130000代入由计算可得所以 如果按表3的增长趋势 那么大约在1950年后的第39年 即1989年 我国的人口就已达到13亿 由此可以看到 如果不实行计划生育 而是让人口自然增长 今天我国将面临难以承受的人口压力 注意点 1 在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时 一是要注意自变量的取值范围 二是要检验所得结果 必要时运用估算和近似计算 以使结果符合实际问题的要求 2 在实际问题向数学问题的转化过程中 要充分使用数学语言 如引入字母 列表 画图等使实际问题数学符号化 3 对于建立的各种数学模型 要能够模型识别 充分利用数学方法加以解决 并能积累一定数量的典型的函数模型 这是顺利解决实际问题的重要资本 例3 一种放射性元素 最初质量为500g 按每年10 衰减 求t年后 这种放射性元素质量w的表达式 由求出的函数表达式 求这种放射性元素的半衰期 精确到0 1 注 半衰期指剩留量为原来的一半所需要的时间解 最初质量为500g 经过1年 w 500 1 10 500 0 91经过2年 w 500 0 92 由此推知 t年后 w 500 0 9t 解方程500 0 9t 2500 9t 0 5lg0 9t lg0 5tlg0 9 lg0 5答 这种放射性元素的半衰期约为6 6年 例4有一种储蓄按复利计算利息 本金为a元 每期利率为r 设本利和为y 存期为x 写出本利和y随存期x变化的函数式 如果存入本金1000元 每期利率2 25 试计算5期后的本利和是多少 精确到0 01 解 已知本金为a元 1期后的本利和为2期后的本利和为3期后的本利和为 x期后的本利和为 将a 1000 元 r 2 25 x 5代入上式得y 1000 1 2 25 5 1000 1 00255由计算器得y 1117 68 元 答 复利函数式为 5期后的本利和为1117 68元 总结 平均增长率问题 指总产值或总产量 N指原来产值基数 p指平均增长率 x指时间