由2÷11的商引发的思考

1 由 2 11 的商引发的思考 最近 我校五年级数学检测中有这样一道填空题 2 11 商是一个 循 环小数 引起了师生的争议 学生的答卷中主要出现了三种情况 2 11 0 1818 或 0 商是一个 纯 循环小数 1 8 2 11 0 18181 或 0 1 商是一个 混 循环小数 8 1 2 11 0 18181 商是一个 无限 循环小数 在阅卷中教师各持己见 有的教师认为答案 正确 因为商的循环节 18 是从小数部分 第一位开始出现的 故而是纯循环小数 有的教师认为答案 正确 因为在计算中 开始出现 循环的余数为 9 2 商的小数部分相对应循环出现的数字是 81 循环节是从小数部分 第二位开始出现的 应该是混循环小数 而有的教师则认为答案 也不应该打错 理由是教材 中没有出现循环小数的分类 教师不应教给学生 学生不知道 只能填 无限 二字 也有许 多教师把 循环小数 称作 无限循环小数 为此 引发了笔者的思考 现提出几点看法 与同行商榷 一 我的分析一 我的分析 1 1 正确理解循环小数的意义 正确理解循环小数的意义 要弄清这个问题 有必要对有关循环小数的概念作以下阐述 两数相除 如果得不到整数 商 会有两种情况 一种得到有限小数 一种得到无限小数 有限小数 是指小数部分的位 数有限的小数 与无限小数相对立 有限小数都属于有理数 可以化成分数形式 如 9 8 9 9 3 14 3 3 1 1212 1 1等有限小数都可以化为分母是 10 8 5 4 100 14 50 7 10000 1212 2500 303 10 100 1000 的分数 无限小数 是指小数部分的位数无限的小数 与有限小数相对立 无限小数有两种类型 2 循环小数 从小数部分的某一位起 一个数字或几个数字 依次不断地重复出现的小数叫 做循环小数 被重复的一个或几个数字称为循环节 循环小数的简写法是将第一个循环节以后 的数字全部略去 而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点 例如 0 142857142857142857 可简写为 0 4285 读作 零点一四二八五七 一四二八 7 1 1 7 五七的循环 1 833333 可简写为 1 8 读作 一点八三 三的循环 等 循环小数 11 6 3 属于有理数 可以化成分数形式 无限不循环小数 小数部分有无限多个数字 且没有依次不断地重复出现的一个数字或几 个数字的小数叫做无限不循环小数 如 3 14159265358979323 e 2 71828182845904 无限不循环小数属于无理数 不能化成分数的形式 根据以上定义可知 循环小数是一个无限小数 它属于有理数范畴 因为任何一个有理数 都可以化成分数的形式 所以循环小数都可以化成分数的形式 将循环小数化为分数 有两种 情况 一种是纯循环小数改写成分数 分子是一个循环节的数字组成的数 分母各位数字都是 9 9 的个数与循环节中的数字的个数相同 如 2 11 的商如果是纯循环小数 可化为 0 另一种是将混循环小数改写成分数 分子是不循环部分与第一个循环节连成 1 8 99 18 11 2 的数字组成的数 减去不循环部分数字组成的数之差 分母的头几位数字是 9 末几位数字是 0 9 的个数跟循环节的数位相同 0 的个数跟不循环部分的数位相同 如 2 11 的商如果 是混循环小数 可化为 0 1 由此可以看出 20 11 的商不论是纯 8 1 990 1181 990 180 11 2 循环小数还是混循环小数都可以化成 大小不会发生变化 只是形式上略有不同 11 2 2 2 深入理解循环小数的性质 深入理解循环小数的性质 教师教学用书 人教版 第 75 页 参考资料 中 介绍了循环小数有以下性质 1 循环节的位数增加到原循环节的 2 倍 3 倍 循环小数的值不变 例如 1 可 8 1 写作 1 18 或 1 1818 8 1 8 1 3 2 纯循环小数可以写成混循环小数的形式 值不变 例如 1 可写作 1 8或 8 1 1 8 1 81 8 1 3 有限小数也可以写作以 0 或 9 为循环节的循环小数 例如 3 79 可写作 3 79或 0 3 78 一般不采用以 9 为循环节的形式 9 并强调 根据以上性质 循环小数虽然可以写成不同形式 但是除特别需要以外 一般都 写成最简形式 例如 2 11 的商 一般认为写成 0 是最简形式 而写成 0 81 或 1 8 1 8 0 8181 等就不是最简形式 但不能说写成 0 1就错了 假设出于混循环小数的需要考虑 1 8 8 1 写成 0 1也是混循环小数的最简形式 8 1 综上所述 不论是现行教材 还是百度百科或维基百科中 均没有对循环小数进行分类 而将循环小数分为纯循环小数和混循环小数之说法 还是在课改以前的小学五年级数学第九册 教科书中出现的 因此 笔者认为 区别纯循环小数和混循环小数在数学上并没有多大的意义 2 11 商是一个 循环小数 其实是一道不够严密的错题 如果按老教材的观点 并 参考循环小数的意义和性质 答案 和答案 都应该正确 而答案 中的 无限循环小数 表 述上欠准确 因为 循环 是往复回旋 永无穷尽的意思 如果再添上 无限 二字 概念的 外延与内涵就会出现重复现象 二 我的思考二 我的思考 1 1 现行教材中为什么要删除循环小数分类的内容 现行教材中为什么要删除循环小数分类的内容 笔者查阅了新人教版 北师大版和苏教版的现行教材 各版教材只要求学生能够理解循环 小数的意义 掌握循环小数的书写形式 并在 你知道吗 选学内容 栏目中介绍了有关循 环小数的相关知识 均没有提到循环小数分为纯循环小数和混循环小数的内容及概念 而出现 这方面内容的还是在人民教育出版社 2002 版小学五年级第九册教材中 现行教材删除的原因 是多方面的 笔者认为主要有两个 一是根据循环小数的意义和性质 任何一个纯循环小数都 可以写成混循环小数的形式 且值不变 这充分说明了区别纯循环小数和混循环小数在数学上 4 并没有多大的意义 如 2 11 的商 无论写成 0 还是 0 1都可以化成 又何必区分 1 8 8 1 11 2 纯循环小数和混循环小数呢 况且这一知识学生在今后的学习和生活中很少应用到 这也许是 教材删除这一部分内容的主要原因 二是 循环小数 安排在 小数除法 这一章内容中 本 单元教学的重点是让学生学习并掌握小数除法的计算方法 而循环小数是学生在学习小数除法 中遇到的商的特殊情况 从而引出循环小数的意义 只要求让学生区分有限小数和无限小数 理解循环小数的意义及写法就可以了 这样处理教材符合小学生的认知规律和年龄特点 这里 顺便提出笔者的一点疑惑 各版教材中均没有提到循环小数的读法 给一线教师教学带来了困 惑 导致读法各异 如读 0 有的直接读作 零点一八 有的读作 零点一八 一八循 1 8 环 有的读作 零点一八 循环节是一八 还有人读作 零点点一点八 不过大多数人 读作 零点一八 一八的循环 这种读法不仅能体现循环小数的意义及特点 又朗朗上口 应该提倡 2 2 命制试题要依标据本 科学合理 命制试题要依标据本 科学合理 笔者查阅了大量课外教辅资料 书店中畅销的学生课外习题资料和网上试题 均出现了 类似于 2 11 商是一个 循环小数 命题的例子 如 填空题 循环小 数可分为 小数和 小数 判断题 0 81818 是纯循环小数 等等 这样的 命题均超出了课程标准和教材范围 也属于争议问题 如果把前面的命题改为 2 11 商是一个 小数 不仅能考查学生对小数除法的计算 又能考查对循环小数的意义 的理解 不是一道很好的题吗 教材中能删除的内容 而我们一线教师为什么就不能在命题时 避免呢 除了有些教师受根深蒂固的旧版本教材影响外