空间向量解立体几何题讲义(自编精品)

武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 1 页 共 15 页 空间向量解立体几何题讲义空间向量解立体几何题讲义 提纲 一 回顾平面向量的有关知识 1 平面直角坐标系 2 平面向量的坐标表示及运算 3 平面向量的数量积 模及夹角公式 4 平面向量的平行和垂直的的充要条件 二 介绍空间向量的有关知识 推广 1 空间直角坐标系 2 空间向量的坐标表示及运算 3 空间向量的数量积 模及夹角公式 4 空间向量的平行和垂直的充要条件 5 直线的方向向量 6 平面的法向量 7 空间向量的应用 1 证明 平行 垂直 2 计算 角 距离 教学过程 一 复习回顾平面向量的有关知识 1 平面直角坐标系 2 平面向量的坐标表示及运算 3 平面向量的数量积 模及夹角公式 4 平面向量的平行和垂直的的充要条件 二 介绍空间向量的有关知识 推广 一 空间直角坐标系 1 建立 以点为原点 分别以的方向为正方向建立三条数轴 轴 轴 轴 即三O i j k xyz 条坐标轴 称建立了一个空间直角坐标系 点叫原点 向量都叫坐标向Oxyz O i j k 量 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面 分别称为平xOy 面 平面 平面 如图所示 注 作空间直角坐标yOzzOx 系时 一般使 或 Oxyz 135xOy 45 90yOz 2 正交 基底 用表示 kji 二 空间向量的坐标表示及坐标运算 1 坐标表示 给定空间直角坐标系和向量 设为坐标向量 则存在唯一的有序实数Oxyz a i j k 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 2 页 共 15 页 y k i A x y z Oj x z y k i y k i B b1 b2 b3 A a1 a2 a3 O Oj x z j x z 组 使 有序实数组叫作向量在空间直角坐标系 123 a a a 123 aa ia ja k 123 a a aa 中的坐标 记作 其中叫横坐标 叫纵坐标 叫竖坐标 Oxyz 123 aa a a 1 a 2 a 3 a 若 则 如右图所示 zyxA zyxOA 若 则 111 A x y z 222 B xyz 如右下图所示 212121 ABxx yy zz 2 坐标运算 若 则 123 aa a a 123 bb b b 1 112233 abab ab ab 2 112233 abab ab ab 3 123 aaaaR 三 空间向量的数量积 模及夹角公式 1 设是空间两个非零向量 我们把数量ba baba cos 叫作向量的数量积 记作 即 ba ba ba baba cos 规定 零向量与任一向量的数量积为 0 2 模长公式 其中 222 zyxaaa zyxa 3 夹角公式 cos a b a b ab 四 空间向量的平行和垂直的充要条件 1 abba 11 22 33 ba baR ba 2 其中是两个非零向量 00 212121 zzyyxxbababa 五 直线的方向向量 把直线 上的向量以及与共线的向量叫做直线 的方向向量leel 六 平面的法向量 若表示向量的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作n 如果 那么向量叫做平面的法向量 n nn 在空间求平面的法向量的方法 法 1 直接法 找一条与平面垂直的直线 求该直线的方向向量 法 2 待定系数法 步骤 建立空间直接坐标系 设平面的法向量为 nx y z 在平面内找两个不共线的向量和 建立方程组 111 ax y z 222 bxy z 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 3 页 共 15 页 0 0 n a n b 解方程组 取其中的一组解即可 七 空间向量的应用 1 证明平行和垂直 1 证明两直线平行 已知两直线和 则存在唯一的实数使abbDCaBA ba ABCD 2 证明直线和平面平行 已知直线和平面的法向量 则 aBAa na0 nABnAB 3 证明两个平面平行 已知两个不重合平面 法向量分别为 则 nm m n 4 证明两直线垂直 已知直线 则ba bDCaBA 0 CDABba 5 证明直线和平面垂直 已知直线和平面 A B 平面的法向量为 则 a a nABa n 6 证明两个平面垂直 已知两个平面和及两个平面的法向量 则 nmmn 2 求角与距离 1 求两异面直线所成的角 已知两异面直线 且 则异面直线所成的角的计算公式ba bDCaBA ba 为 cos CDAB CDAB 2 求直线和平面所成的角 已知 A B 为直线上任意两点 为平面的法向量 则和平面所成的角为 an a 当时 2 0 nAB nAB 2 当时 2 nAB 2 nAB 3 求二面角 已知二面角分别为面的法向量 则二面角的平面角的大小与两 lnm 个法向量所成的角相等或互补 即或 nm nm 注 如何判断二面角的平面角和法向量所成角的大小关系 通过观察二面角的平面角是锐角还是钝角 再由法向量成的角来定之 通过观察法向量的方向 判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补 4 求两条异面直线的距离 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 4 页 共 15 页 N M A B D C O 已知两条异面直线 是与两条异面直线都垂直的向量 且 则两条异ba mbBaA 面直线的距离为 m mAB d 推导 作 垂足为 连结 即为所求 设 则 ACCBCdAC BAC cos cos m mAB mAB mAB ABmABABABd 5 求点到面的距离 已知平面和点 为平面的法向量 则点到平面的距为 BA BA m A m mAB d 推导过程 类似上面方法 三 例题选讲 例例 1 1 20082008 安徽理 安徽理 如图 在四棱锥中 底面是四边长均为 1 的菱OABCD ABCD 形 为的中点 为的中点 4 ABC OAABCD 平平2OA MOANBC 证明 直线MNOCD平平 求异面直线与所成角的大小 ABDM 求点到平面的距离 BOCD 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 5 页 共 15 页 例例 2 2 20052005 湖南文 理 湖南文 理 如图 1 已知是上 下底边长分别为 2 和 6 高为ABCD 的等腰梯形 将它沿对称轴折成直二面角 如图 23OO1 证明 求二面角的大小 1 BOAC 1 OACO 例 3 20072007 四川理 四川理 如图 是直角梯形 PCBM 又 0 90 PCBPMBC1 PM2 BC1 AC 直线与直线所成的角为 60 0 120 ACBPCAB AMPC 求证 平面 平面 PACABC 求二面角的大小 BACM 求三棱锥的体积 MACP A B CD O O1 A B O C O1 D 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 6 页 共 15 页 四 练习题 1 1 20062006 福建文 理 福建文 理 如图 四面体中 分别是 的中点 ABCDOEBDBC 2 BDCDCBCA2 ADAB I 求证 平面 AO BCD II 求异面直线与所成角的大小 ABCD III 求点到平面的距离 EACD 2 2 2007 2007 海南 宁夏理海南 宁夏理 如图 在三棱锥中 侧面与侧面均为等SABC SABSAC 边三角形 为中点 90BAC OBC 证明 平面 SO ABC 求二面角的余弦值 ASCB C A D B O E O S B A C 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 7 页 共 15 页 3 3 2008 2008 海南 宁夏理海南 宁夏理 如图 已知点在正方体的对角线上 P 1111 DCBAABCD 1 BD 0 60 PDA 求与所成角的大小 DP 1 CC 求与平面所成角的大小 DPDDAA 11 4 4 20072007 安徽文 理安徽文 理 如图 在六面体中 四边形是边长为 2 1111 DCBAABCD ABCD 的正方形 四边形是边长为 1 的正方形 平面 平面 1111 DCBA 1 DD 1111 DCBA 1 DD ABCD2 1 DD 求证 与共面 与共面 11C AAC 11D BBD 求证 平面 1111 BDDBACCA平面 求二面角的大小 CBBA 1 B1 C1 D1 A1 C D AB P 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 8 页 共 15 页 5 20062006 全国全国 卷文 理卷文 理 如图 是互相垂直的异面直线 是它们的公垂线 1 l 2 lMN 段 点 在上 点在上 AB 1 lC 2 lAMMBMN 证明 NBAC 若 求与平面所成角的余弦值 60OACB NBABC A B M N C l2 l1 H 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 9 页 共 15 页 xy z N M A B D C O P 例题及练习题参考答案例题及练习题参考答案 例 1 解 作于点 P 如图 分别以 AB AP AO 所在直线为轴建立坐标APCD x y z 系 则 222 0 0 0 1 0 0 0 0 0 222 ABPD 2 0 0 O 1 0 0 M 0 4 2 4 2 1 N 22222 1 1 0 2 2 44222 MNOPOD 设平面 OCD 的法向量为 则 nx y z 0 0 ODnOPn 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz 取 解得 2z 0 4 2 n 02 4 01 4 2 4 2 1 nMN 平面 MNOCD 设与所成的角为 ABMD 22 1 0 0 1 22 ABMD 即与所成角的大小为 2 1 cos MDAB MDAB 3 ABMD 3 设点 B 到平面 OCD 的距离为 则为在向量上的投影的绝对值 ddOB 2 4 0 n 由 得 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 1 0 2 OB 3 2 n nOB d 2 3 例 2 解 I 证明 由题设知 OA OO1 OB OO1 所 以 AOB 是所折成的直二面角的平面角 即 OA OB 故可 以 O 为原点 OA OB OO1所在直线分别为轴 y轴 zx 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 10 页 共 15 页 轴建立空间直角坐标系 如图 则相关各点的坐标是 0 0 3 A 0 3 0 B 3 1 0 C 3 0 0 1 O 从而 所以 AC BO1 3 3 0 3 1 3 1 BOAC 0 333 1 BOAC II 解 因为所以 BO1 OC 由 I AC BO1 所以 0333 1 OCBO BO1 平面 OAC 是平面 OAC 的一个法向量 1 BO 设是 0 平面 O1AC 的一个法向量 zyxn 由 得 3 0 033 0 0 1 z y zyx COn ACn 取 3 0 1 n 设二面角 O AC O1的大小为 由 的方向可知 n 1 BO n 1 BO 所以 cos cos n 1 BO 4 3 1 1 BOn BOn 例 3 解 PCAB PCBC ABBCB 又 PCABC 平面PCPAC 平面 PACABC 平面平面 在平面内 过作 建立空间直角坐标系 如图 由题意ABCCCDCB Cxyz 有 设 则 0 2 1 2 3 A 00 0 0 0Pzz 000 31 0 1 0 0 22 MzAMzCPz 由直线与直线所成的解为 得 即AMPC 0 60 0 cos60AM CPAMCP 解得 22 000 3 2 zzz 1 0 Z 设平面的一个法向量为 31 0 0 1 0 22 CMCA MAC 111 nx y z 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 11 页 共 15 页 则 取 得 平面的法向量取为 11 11 0 31 0 22 yz yz 1 1x 1 3 3n ABC 0 0 1m 设与所成的角为 则 显然 二面角的平m n 3 cos 7 m n mn MACB 面角为锐角 故二面角的平面角大小为MACB 21 arccos 7 解法一 由 知 为正方形PCMN 0 113 sin120 3212 P MACA PCMA MNCMACN VVVVAC CNMN 解法二 取平面的法向量取为 则点 A 到平面的距离PCM 1 1 0 0n PCM 2 3 1 1 n nCA h1 1PCPM 11133 1 1 326212 P MACA PCM VVPCPM h 练习 1 1 证明 连结 OC BO DO AB AD AO BD BO DO BC CD CO BD 在 AOC 中 由已知可得 AO 1 CO 而 AC 2 AO2 CO2 AC2 AOC 90 即 AO OC 3 AO平面BCD 0 OCBD 解 以O为原点 如图建立空间直角坐标系 则 B 1 0 0 D 1 0 0 C 0 0 A 0 0 1 3 E 0 2 1 2 3 0 3 1 1 0 1 CDBA 异面直线AB与CD所成角的大小为 4 2 cos CDBA CDBA CDBA 4 2 arccos 解法一 设平面ACD的法向量为 则 zyxn 武鸣中学数学组内部资料 整理者 卢金迪 2011 2 23 第 12 页 共 15 页 0 1 3 0 0 1 0 1 zyxACn zyxADn 0 3 0 zy zx 令 y 1 得 是平面 ACD 的一个法向量 又n3 1 3 0 2 3 2 1 EC 点 E 到平面 ACD 的距离 h 7 21 7 3 n nEC 解法二 设点E到平面ACD的距离为h CDEAACDA VV S ACD AO S CDE h 3 1 3 1 在 ACD中 CA CD 2 AD S ACD 而AO 1 SCDE 2 2 7 2 2 22 2 1 3 2 h 2 3 2 4 3 2 1 2 7 21 2 7 2 3 1 ACD CDE S SAO 点E到平面ACD的距离为 7 21 练习