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1 习题课 2 一 主要内容 一 函数的定义 二 极限的概念 三 连续的概念 3 函数的定义 函数的性质奇偶性单调性有界性周期性 反函数 隐函数 反函数与直接函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 一 函数 4 1 函数的定义 函数的分类 2 函数的性质 有界 单调 奇偶 周期 3 反函数 4 隐函数 5 基本初等函数 幂 指 反 对 三 6 复合函数 7 初等函数 5 左右极限 极限存在的充要条件 无穷大 两者的关系 无穷小的性质 极限的性质 求极限的常用方法 判定极限存在的准则 两个重要极限 无穷小的比较 等价无穷小及其性质 唯一性 二 极限 6 1 极限的定义 单侧极限 2 无穷小与无穷大 无穷小 无穷大 无穷小与无穷大的关系 无穷小的运算性质 3 极限的性质 四则运算 复合函数的极限 极限存在的条件 7 4 求极限的常用方法 a 多项式与分式函数代入法求极限 b 消去零因子法求极限 c 无穷小因子分出法求极限 d 利用无穷小运算性质求极限 e 利用左右极限求分段函数极限 5 判定极限存在的准则 夹逼定理 单调有界原理 8 6 两个重要极限 7 无穷小的比较 8 等价无穷小的替换性质 9 极限的唯一性 局部有界性 保号性 9 三 连续 左右连续 连续的充要条件 间断点定义 在区间 a b 上连续 连续函数的运算性质 初等函数的连续性 非初等函数的连续性 连续函数的性质 10 1 连续的定义 单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性 2 间断点的定义 间断点的分类 第一类 第二类 3 初等函数的连续性 连续性的运算性质 反函数 复合函数的连续性 4 闭区间上连续函数的性质 最值定理 有界性定理 介值定理 零点定理 11 二 典型例题 例1 解 利用函数表示法的无关特性 代入原方程得 代入上式得 12 解联立方程组 13 A 数列极限的求法 利用数列极限的四则运算法则 性质以及已知极限求极限 例5求下列数列极限 14 解 15 2 若通项中含有根式 一般采用先分子或分母有理化 再求极限的方法 对通项式有理化得 解 16 3 若所求极限是无穷项之和 通常先利用等差或等比数列的前n项和公式求和 再求极限 解 17 4 利用两边夹逼定理求数列极限 方法是将极限式中的每一项放大或缩小 并使放大 缩小后的数列具有相同的极限 解 18 例9求下列极限 解 19 五 函数极限的求法 函数的极限比数列的极限复杂 原因有两个 一是自变量的变化过程多 二是函数式复杂 因此 求函数的极限首先要观察自变量的变化和函数表达式 然后选择适当方法 一般地 函数极限有以下几种求法 20 解 21 例11已知 解 22 23 解 解 24 利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极限 即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量 有限个无穷小量之积仍是无穷小量 有限个无穷小量之代数和仍为无穷小量等 无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数 例14求下列函数的极限 解 25 2 利用无穷大量与无穷小量的关系求该极限 常用等价无穷小 26 解 27 解 28 例2求下列极限 P595 2 29 30 P595 3 31 例3 解一 32 解二 例4 33 解 解法讨论 34 例5求极限 35 分析 要用夹逼定理 须进行放缩 不能这样用夹逼定理 解 注意到分子成等差数列 36 37 例10求下列极限 38 只记住了重要极限的形式 而没有掌握其实质 例11 39 解 因f x 在x 0处为无穷间断 即 又x 1为可去间断 40 有无穷间断点 及可去间断点 解 为无穷间断点 所以 为可去间断点 极限存在 P6011 设函数 试确定常数a及b 41 P6014 设f x 定义在区间 上 若f x 在 连续 提示 且对任意实数 证明 f x 对一切x都连续 42 上连续 且a c d b P6016 设 在 必有一点 证 使 即 由介值定理 证明 故 即 43 阅读与练习 1 求 的间断点 并判别其类型 解 x 1为第一类可去间断点 x 1为第二类无穷间断点 x 0为第一类跳跃间断点