迭代法的基本思想ppt课件.ppt

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1 Newton迭代法的基本思想设是f x 0的一个近似根把f x 在处作泰勒展开若取前两项来近似代替f x 称为f x 的线性化则得近似的线性方程设令其解为得 1 这称为f x 0的牛顿迭代格式下一页 2 它对应的迭代方程为显然是f x 0的同解方程故其迭代函数为在f x 0的根的某个邻域内在的邻域R内对任意初值应用由公式 1 来解方程的方法就称为牛顿迭代法它是解代数方程和超越方程的有效方法之一返回下一页上一页 3 牛顿法的几何意义由 1 式知是点处的切线与X轴的交点的横坐标如图也就是说新的近似值是用代替曲线y f x 的切线与x轴相交得到的继续取点再做切线与x轴相交又可得由图可见只要初值取的充分靠近这个序列就会很快收敛于 Newton迭代法又称切线法下一页上一页返回 4 返回下一页上一页 5 牛顿迭代法的步骤步一准备选定初始近似值计算步二迭代按公式迭代一次得到新的近似值计算步三控制如果满足则终止迭代以作为所求的根否则转步四此处是允许误差返回下一页上一页 6 而其中c是取绝对值或相对误差的控制常数一般可取c 1 步四修改如果迭代次数达到预定指定的次数N 或者则方法失败否则以代替转步二继续迭代返回下一页上一页 7 例题例1 用牛顿法求下面方程的根解因所以迭代公式为选取计算结果列于下表从计算结果可以看出牛顿法的收敛速度是很快的进行了四次迭代就得到了较满意的结果返回下一页上一页 8 例2计算的近似值 10 6x0 0 88解令x 问题转化为求 x x2 0 78265 0的正根由牛顿迭代公式xk 1 xk xk xk xk 2 0 78265 2xk迭代结果k0123xk0 8800000 8846880 8846750 884675满足了精度要求 0 884675 返回下一页上一页 9 返回下一页上一页 10 2 修正Newton法求m重根迭代公式注若是方程的m重根而在的某一邻域内连续则修正Newton法是局部收敛的并具有至少二阶的收敛速度因为上一页下一页返回考察函数用定义求导 11 Tailor展开所以由定理2知至少是二阶收敛上一页下一页返回 12 牛顿迭代法的优缺点 1 优点牛顿迭代法具有平方收敛的速度所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方 2 缺点选定的初值要接近方程的解否则有可能的不到收敛的结果再者牛顿迭代法计算量比较大因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值返回下一页上一页 13 设 x 在有根区间 a b 上存在二阶导数且满足 1 a b 0 则牛顿迭代序列 xi 收敛于 x 0在 a b

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