高三数学一轮复习必备精品26：平面向量的数量积及应用---备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲-全部免费

1 第第 26 讲讲 平面向量的数量积及应用平面向量的数量积及应用 备注 备注 高三数学一轮复习必备精品高三数学一轮复习必备精品共共 4242 讲讲 全部免费全部免费 欢迎下欢迎下 载载 一 一 课标要求课标要求 1 平面向量的数量积 通过物理中 功 等实例 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 体会平面向量的数量积与向量投影的关系 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 2 向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题 力学问题与其他一些实际问题的过程 体会向量是一种处理几何问题 物理问题等的工具 发展运算能力和解决实际问题的能力 二 二 命题走向命题走向 本讲以选择题 填空题考察本章的基本概念和性质 重点考察平面向量的数量积的概念 及应用 重点体会向量为代数几何的结合体 此类题难度不大 分值 5 9 分 平面向量的综合问题是 新热点 题型 其形式为与直线 圆锥曲线 三角函数等联系 解决角度 垂直 共线等问题 以解答题为主 预测 2010 年高考 1 一道选择题和填空题 重点考察平行 垂直关系的判定或夹角 长度问题 属于 中档题目 2 一道解答题 可能以三角 数列 解析几何为载体 考察向量的运算和性质 三 三 要点精讲要点精讲 1 向量的数量积 1 两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a 作 则 A A 叫与的夹角 OAaOBbab 说明 1 当 时 与同向 ab 2 当 时 与反向 ab 3 当 时 与垂直 记 2 abab 4 注意在两向量的夹角定义 两向量必须是同起点的 范围 0 180 2 数量积的概念 C 2 已知两个非零向量与 它们的夹角为 则 cos叫做与的a b a b a b a b 数量积 或内积 规定 00a 向量的投影 cos R 称为向量在方向上的投影 投影的绝对值称b a b a b a 为射影 3 数量积的几何意义 等于的长度与在方向上的投影的乘积a b a b a 4 向量数量积的性质 向量的模与平方的关系 22 a aaa 乘法公式成立 2 2 22 abababab 2 22 2abaa bb 2 2 2aa bb 平面向量数量积的运算律 交换律成立 a bb a 对实数的结合律成立 aba babR 分配律成立 abca cb c cab 向量的夹角 cos cos a b a b ab 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 当且仅当两个非零向量与同方向时 00 当且仅当与反方向时 1800 同a b a b 时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题0 5 两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量 则 1122 ax ybxy a b 1212 x xy y 6 垂直 如果与的夹角为 900则称与垂直 记作 a b a b a b 两个非零向量垂直的充要条件 O 平面向量数a b a b 0 2121 yyxx 量积的性质 7 平面内两点间的距离公式 设 则或 yxa 222 yxa 22 yxa 3 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 那么a 11 yx 22 yx 平面内两点间的距离公式 2 21 2 21 yyxxa 2 向量的应用 1 向量在几何中的应用 2 向量在物理中的应用 四 四 典例解析典例解析 题型 1 数量积的概念 例 1 判断下列各命题正确与否 1 00a 2 00a 3 若 则 0 aa ba c bc 4 若 则当且仅当时成立 a ba c bc 0a 5 对任意向量都成立 a bcab c a b c 6 对任意向量 有 a 2 2 aa 解析 1 错 2 对 3 错 4 错 5 错 6 对 点评 通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系 重点清楚为零a 0 向量 而为零a 0 例 2 已知 中 过重心的直线交边于 交边于 设 的面积ABCGABPACQAPQ 为 的面积为 则 1 SABC 2 SAPpPB AQqQC pq pq 的取值范围是 1 2 S S 解析 设 因为是 的重心 故ABa ACb 1 APa 2 AQb GABC 又 因为 1 3 AGab 1 11 33 PGAGAPab 21 PQAQAPba 与共线 所以 即 又与不共PG PQ PQPG 112 11 0 33 ab a b 线 所以及 消去 得 11 1 3 2 1 3 1212 3 故 12 1111 1 1 321 pq 1 pq pq 4 那么 1 21 1 1 313 1 2 sin sin SAPAQBAC SABACBAC 当与重合时 当位于中点时 2 1 12 2 1 1 1 139 31 24 PB 1 1 PAB 故 故但因为与不能重合 故 1 1 2 1 1 1 2 1 2 S S 4 1 9 2 PB 1 2 S S 4 1 9 2 2 设 是任意的非零平面向量 且相互不共线 则abc abccab0ababbcaca 不与垂直bc 3 2 3 2 9 2 4 2中 是真命题的有 ababab A B C D 解析 1 答案 D 因为 而cbacba cos 而方向与方向不一定同向acbcba cos ca 2 答案 D 平面向量的数量积不满足结合律 故 假 由向量的减法运算可知 恰为一个三角形的三条边长 由 两边之差小于第三边 故 真 因abab 为 0 所以垂直 故bcacabcbcaccabc 假 3 2 3 2 9 4 9 2 4 2成立 故 真 ababaabbab 点评 本题考查平面向量的数量积及运算律 向量的数量积运算不满足结合律 题型 2 向量的夹角 例 3 1 过 ABC的重心任作一直线分别交AB AC于点D E 若 ADxAB 则的值为 AEyAC 0 xy 11 xy A 4 B 3 C 2 D 1 解析 取 ABC 为正三角形易得 3 选 B 11 xy 评析 本题考查向量的有关知识 如果按常规方法就比较难处理 但是用特殊值的思想就比 较容易处理 考查学生灵活处理问题的能力 2 已知向量 cos sin cos sin 且 那么与的夹a b a bba ba 角的大小是 5 3 已知两单位向量与的夹角为 若 试求与的夹角 a b 0 1202 3cab dba c d 4 1 2 且 则向量与的夹角为 abcabcaab A 30 B 60 C 120 D 150 解析 2 2 3 由题意 且与的夹角为 1ab a b 0 120 所以 0 1 cos120 2 a ba b 2 cc c 2 2 abab 22 447aa bb 7c 同理可得 13d 而 c d 22 17 2 3 732 2 abbaa bba 设为与的夹角 c d 则 182 9117 1372 17 cos 4 C 设所求两向量的夹角为 cabca 2 0c aab aaa b 即 2 cosaab 2 1 cos 2 aa abb 所以120 o 点评 解决向量的夹角问题时要借助于公式 要掌握向量坐标形式的运算 cos ba ba 向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑 对于这个公式的变形应 cosa bab 用应该做到熟练 另外向量垂直 平行 的充要条件必需掌握 例 4 1 设平面向量 的和 如果向量 1 a 2 a 3 a0 3 21 aaa 1 b 2 b 3 b 满足 且顺时针旋转后与同向 其中 则 2 i i ab i a30o i b1 2 3i 6 A B 1 b 2 b 3 b0 1 b 2 b 3 b0 C D 1 b 2 b 3 b0 1 b 2 b 3 b0 2 2009广东卷理 已知向量 2 sin a与 cos 1 b互相垂直 其中 0 2 1 求 sin和 cos的值 2 若 10 sin 0 102 求cos 的值 解 1 a与b互相垂直 则0cos2sin ba 即 cos2sin 代入 1cossin 22 得 5 5 cos 5 52 sin 又 0 2 5 5 cos 5 52 sin 2 2 0 2 0 22 则 10 103 sin1 cos 2 2 山东临沂 2009 年模拟 如图 已知 ABC 中 AC 1 ABC 2 3 BAC 记 fAB BC A 1 求 f 关于 的表达式 2 求 f 的值域 解 1 由正弦定理 得 1 22 sin sinsin 33 BCAB 2 sin sin2 32 3 3 sin sin 22 333 sinsin 33 BCAB 7 41 cossinsin 3332 fAB BCABBC AAAA 231311 cossin sinsin2cos2 322666 11 sin 2 0 3663 2 由0 3 得 5 2 666 1 sin 2 1 26 111 0sin 2 3666 即 f 的值域为 1 0 6 3 已知 5 AC8 AB DBAD 11 5 0 ABCD 1 求 ACAB 2 设 BAC 且已知 cos x 求 sinx 4 54 x 解 1 由已知 DBADDBDADBAB 11 16 2 11 2 5 16 5 16 5 11 5 16 11 DBABADABDBADABDB CD AB 在 Rt BCD 中 BC2 BD2 CD2 0 ABCD 又 CD2 AC2 AD2 所以 BC2 BD2 AC2 AD2 49 4 分 所以 6 分7 BCACAB 2 在 ABC 中 8 分 2 1 cos BAC 3 5 4 3 cos cos xx 5 3 3 sin x 而 如果 1233 2 4 xx 123 0 x 则 10 分 5 3 2 1 6 sin 12 sin 3 sin x 5 3 3 sin x 10 343 3 3 sin sin xx 点评 对于平面向量的数量积要学会技巧性应用 解决好实际问题 题型 3 向量的模 例 5 1 已知向量与的夹角为 则等于 a b 120o3 13 aab b A 5 B 4 C 3 D 1 2 2009 辽宁卷文 平面向量 a 与 b 的夹角为 0 60 a 2 0 b 1 则 a 2b 等于 8 A 3 B 23 C 4 D 12 解析 由已知 a 2 a 2b 2 a2 4a b 4b2 4 4 2 1 cos60 4 12 2ab 2 3 解析 1 B 2 B 点评 掌握向量数量积的逆运算 以及 Qb ba a cos 2 2 aa 例 6 已知 3 4 4 3 求 x y 的值使 x y a b a b a 且 x y 1 a b 解析 由 3 4 4 3 有 x y 3x 4y 4x 3y a b a b 又 x y x y 3 3x 4y 4 4x 3y 0 a b a a b a 即 25x 24y 又 x y 1 x y a b a b x 4y x 3y 整理得 25x 48xy 25y 即 x 25x 24y 24xy 25y 由 有 24xy 25y 将 变形代入 可得 y 7 5 再代回 得 7 5 35 24 7 5 35 24 y x y x 和 点评 这里两个条件互相制约 注意体现方程组思想 题型 4 向量垂直 平行的判定 例 7 已知向量 且 则 3 2 a 6 xb ba x 解析 ba 1221 yxyx x362 4 x 例 8 已知 按下列条件求实数的 4 3a 1 2b mab 2nab 值 1 2 mn mn 3 mn 解析 4 32 mab 27 8nab 9 1 mn 082374 9 52 2 mn 072384 2 1 3 mn 0884587234 222 22 5 1122 点评 此例展示了向量在坐标形式下的平行 垂直 模的基本运算 题型 5 平面向量在代数中的应用 例 9 已知 abcdacbd 2222 111 求证 分析 可以看作向量的模的平方 abcd 2222 11 dcybax 而则是 的数量积 从而运用数量积的性质证出该不等式 acbd xy 证明 设 dcybax 则 2222 dcybaxbdacyx 1 2222 dcbabdac yxyx 点评 在向量这部分内容的学习过程中 我们接触了不少含不等式结构的式子 如 等 ababababa ba ba b 例 10 已知 其中 ab cossincossin 0 1 求证 与互相垂直 ab ab 2 若与 的长度相等 求 k ab k ab k 0 解析 1 因为 ababaabbab 22 abab 22 222222 110 cossincossin 所以与互相垂直 ab ab 2 k abkk coscossinsin k abkk coscossinsin 10 所以 cosk abkk 2 21 cosk abkk 2 21 因为 k abk ab 所以 kkkk 22 2121 coscos 有 22kkcoscos 因为 故 k 0 cos 0 又因为 00 所以 2 点评 平面向量与三角函数在 角 之间存在着密切的联系 如果在平面向量与三角函 数的交汇处设计考题 其形式多样 解法灵活 极富思维性和挑战性 若根据所给的三角式 的结构及向量间的相互关系进行处理 可使解题过程得到简化 从而提高解题的速度 题型 6 平面向量在几何图形中的应用 例 12 用向量法证明 直径所对的圆周角是直角 已知 如图 AB 是 O 的直径 点 P 是 O 上任一点 不与 A B 重合 求证 APB 90 证明 联结 OP 设向量 则且 bOPaOA aOB baOPOAPA baOPOBPB 0 a b abPBPA 2222 即 APB 90 PBPA 点评 平面向量是一个解决数学问题的很好工具 它具有良好的运算和清晰的几何意义 在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用 题型 7 平面向量在物理中的应用 例 13 如图所示 正六边形 PABCDE 的边长为 b 有五个力 PDPCPBPA 作用于同一点 P 求五个力的合力 PE 11 解析 所求五个力的合力为 如图 3 所示 以 PA PE 为边 PEPDPCPBPA 作平行四边形 PAOE 则 由正六边形的性质可知 且 O 点 PEPAPOb PA PO 在 PC 上 以 PB PD 为边作平行四边形 PBFD 则 由正六边形的性质可知 PDPBPF 且 F 点在 PC 的延长线上 b3 PF 由正六边形的性质还可求得b2 PC 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为 方向与的方向b6b3b2b PC 相同 课后训练 2009 北京卷理 已知向量 a b 不共线 ck a b k R d a b 如果 c d 那么 A 1k 且 c 与 d 同向 B 1k 且 c 与 d 反向 C 1k 且 c 与 d 同向 D 1k 且 c 与 d 反向 答案 D 解析 本题主要考查向量的共线 平行 向量的加减法 属于基础知识 基本运算的考 查 取 a 1 0 b 0 1 若1k 则 c a b 1 1 d a b 1 1 显然 a 与 b 不平行 排除 A B 若1k 则 c a b 1 1 d a b 1 1 即 c d 且 c 与 d 反向 排除 C 故选 D 2 江苏省阜中 2008 届高三第三次调研考试试题 已知 O 为坐标原点 集合 且 1 1 5 5 OMNM 2 AOR RNOP OQ A 12 46 0MPMQ R 且 则MP MQ 3 2009 山东卷理 设 P 是 ABC 所在平面内的一点 2BCBABP 则 A 0PAPB B 0PCPA C 0PBPC D 0PAPBPC 答案 B 解析 因为2BCBABP 所以点 P 为线段 AC 的中点 所以应该选 B 命题立意 本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则 可以借助图形解答 4 2009 宁夏海南卷理 已知 O N P 在ABC 所在平面内 且 0OAOBOC NANBNC 且PA PBPB PCPCPA 则点 O N P 依次是ABC 的 A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 内心 C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 内心 答案 C 注 三角形的三条高线交于一点 此点为三角型的垂心 解析 0OAOBOCOABCNANBNCOABC 由知为的外心 由知 为的重心 00 PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPB APBCPC 同理 为ABC 的垂心 选 5 江苏省省阜中 2008 届高三第三次调研考试数学 文科 试题 若向量 a b 且 a b 的夹角为钝角 2xx 3 2x 则 x 的取值范围是 1 3 14 0 33 6 2009 浙江卷文 已知向量 1 2 a 2 3 b 若向量c满足 cab cab 则c A 7 7 9 3 B 77 39 C 7 7 3 9 D 77 93 答案 D 解析 不妨设 Cm n 则 1 2 3 1 acmnab 对于 cab 13 则有3 1 2 2 mn 又 cab 则有30mn 则有 77 93 mn 命题意图 此题主要考查了平面向量的坐标运算 通过平面向量的平行和垂直关系的 考查 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用 7 对于个向量 若存在个不全为零的实数使得n 12n a a a n 12 n k kk 成立 则称向量是线性相关的 按此规定 能使向 12 0 n kkk 12n aaa 12n a a a 量是线性相关的实数的值依次为 1 0 1 1 2 2 123 aaa 123 k k k 只需写出一组值即可 根据线性相关的定义得 123 1 0 1 1 2 2 0kkk 令则 的一组值为 4 2 1 123 23 20 20 kkk kk 3 1k 2 2k 1 4k 123 k k k 8 已知向量 i i 1 0 j j 0 1 A B 若 则 3 1 22 13 22 OCOAi ODOBj OCD 的面积为 A B C D 1 232 3 32 3 4 32 3 2 3 9 设向量与的夹角为 a b 3 3 a 1 1 2 ab 则 cos 解 设向量与的夹角为且 则a b 1 1 2 3 3 aba 2 1 b cos 523 9 ba ba 3 10 10 10 已知向量的夹角的大小为 4 0 2 2 ABAC 则BCAC与 解析 解析 2 2 cos 0 90 AC BC BCAC BCAC BC AC BC A 11 已知 ABC 的三个顶点 A B C 及所在平面内一点 P 满足 则点ABPCPBPA BCP 与 ABP 的面积分别为s1 s2 则s1 s2 12 设定义域为 x1 x2 的函数y f x 的图象为C 图象的两个端点分别为A B 点O为 坐标原点 点M是C上任意一点 向量 x1 y1 x2 y2 x y 满 OA OB OM 足x x1 1 x2 0 1 又有向量 1 现定义 函数 ON OA OB 14 y f x 在 x1 x2 上可在标准k下线性近似 是指 k恒成立 其中k 0 k为常数 MN 根据上面的表述 给出下列结论 A B N三点共线 直线MN的方向向量可以为 0 1 函数y 5x2在 0 1 上可在标准 下线性近似 函数y 5x2在 a 5 4 0 1 上可在标准 1 下线性近似 其中所有正确结论的序号为 1 2 3 13 P 为 ABC 所在平面上的点 且满足 则 ABP 与 ABC 的面积之比AP AB 1 2 AC 是 1 2 14 设F为抛物线y2 4x的焦点 A B C是抛物线上不同三点 若 0 则FCFBFA FCFBFA 设A B C 的横坐标分别为x1 x2 x3则x1 x2 x3 3 又 1 x1 1 x2 1 x3 6 FCFBFA 15 若向量的夹角为 0 a b aba bcaba c a a 与不共线且则向量 2 16 如图 在 ABC 中 AB 2 BC 3 ABC 60 AH BC 垂足为 H M 为 AH 的中点 若的值等于 则 BCABAM 17 在中 若 ABC 2cos 2sin 5cos 5sinOAOB 5OA OB A 则 ABC S 5 3 2 18 若正方形边长为 1 点在线段上运动 则的取值范围是 ABCDPAC PDPBAP 2 4 1 19 已知是两个互相垂直的单位向量 且 则对任意的正实数 a b1 c a1 c b 2 ct 的最小值是 1 t t cab2 2 20 在中 为的中点 为的中点 交于点 若OAB MOBNAB ON AMP 则 1APmOAnOB m nR nm 五 五 思维总结思维总结 1 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 15 1 两个向量的数量积是一个实数 不是向量 符号由 cos 的符号所决定 2 两个向量的数量积称为内积 写成 今后要学到两个向量的外积 而a bab 是两个向量的数量的积 书写时要严格区分 符号 在向量运算中不是乘号 既不a b 能省略 也不能用 代替 3 在实数中 若 a 0 且 a b 0 则 b 0 但是在数量积中 若 0 且 0 不aa b 能推出 因为其中 cos 有