椭圆中的焦点三角形案例分析

1 椭圆中的焦点三角形椭圆中的焦点三角形 的案例分析的案例分析 江苏省镇江市第一中学 王建华 一 教学过程 一 教学过程 一 复习引入 1 椭圆的定义 2 几何性质 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图形 范围 对称性 顶点 焦点 离心率 焦半径 准线方程 3 椭圆中的基本图形 设计说明设计说明 通过图表 图形类比复习知识点 注重其中的异同 二 基础训练及例题 问题 一 利用焦点三角形求轨迹方程 例 1 在 ABC 中 已知 B C 坐标分别为 3 0 和 3 0 且 ABC 周长为 16 则顶点 A 的轨迹方程 变题 1 在 ABC 中 已知 B C 坐标分别为 3 0 和 3 0 AB AC 边上中线长为 15 则此三角形重心 G 的轨迹方程 变题 2 93 年全国高考卷 若 ABC 面积为 1 tan ABC tan ACB 2 1 建立适当坐标系 求以 B C 为焦点并且过点 A 的椭圆方程2 设计说明设计说明 结合高考 逐层深入 其实变题 1 2 还是要回归例题 1 中焦点三 角形的边的关系进行求解 问题 二 焦点三角形的性质 F1F2 M F1 M F2 B A C 2 例 2 已知 F1 F2为椭圆的 2 个焦点 若 A B 是椭圆过焦点 F1的1 49 22 yx 弦 则 1 求 AF1F2 ABF2的周长 2 求最大值 3 求 F1AF2的最值 21 AFAF 4 若 F1AF2为钝角时 求点 A 横坐标的范围 2000 年全国高考卷 5 AF1F2面积的最大值 6 设 F1AF2为 求的面积 21F AF S 设计说明设计说明 把不等式 三角 面积等等知识进行融会贯通 让学生形成一个 整体的认知结构 实现新旧知识的贯通 三 巩固练习 一 必做题 1 2005 年全国高考卷 设椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 过 F2作椭圆长 轴的垂线交椭圆于点 P 若 F1F2P 为等腰直角三角形 则椭圆的离心率为 2 动圆与定圆 x2 y2 4y 32 0 内切且过定圆内的一个定点 A 0 2 求动 圆圆心 P 的轨迹方程 3 已知 M 为椭圆上一点 F1 F2为 2 个焦点 且 MF1F2 600 MF2F1 300 则椭圆的离心率为 4 已知 F1 F2为椭圆的 2 个焦点 M 1 1 为椭圆内一定点 1 49 22 yx A 为椭圆上任意一点 求的最大值 AMAF 1 二 选做题 1 M 为椭圆上一点 F1 F2为椭圆 2 个焦点 I 为 MF1F2的内1 49 22 yx 心 延长 MI 交 F1F2于 N 则的值等于 IN MI 2 点 P 为椭圆上任意一点 F1 F2为其左 右焦点 过 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 焦点向 F1PF2的外角平分线作垂线 垂足为 Q 则 Q 的轨迹为 3 已知椭圆和直线 l x y 9 0 在 l 上任取一点 P 经过 P 且以已1 514 22 yx F1 A F2 B 3 知椭圆焦点为焦点作椭圆 求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆方程 三 课外拓展 自己探求寻找椭圆中的三角形还有哪些性质 设计说明设计说明 分层教学 让每个学生都能得到巩固提高 二 教材设计的背景二 教材设计的背景 椭圆是新教材选修 1 1 第二章 选修 2 1 第二章的内容 新教材中圆锥曲 线的要求大大降低 其中只有椭圆的考纲要求仍然为 B 由此可见椭圆的重要 性 椭圆在物理学 运动学中有着广泛的运动 从知识体系上看椭圆有着承前 启后的作用 它必修 2 是直线和圆的的延续 实质上圆是一种特殊的椭圆 又 为进一步抛物线 双曲线等内容打下基础 从思想方法上看 它是培养提高学 生思维能力的好题材 学习椭圆要经常画图 分析 要综合运用前面函数的知识 解决椭圆中的一些问题 这些都有利于学生数学能力的提高 椭圆中的焦点三角形是椭圆中的重要内容 历年的高考题常常在此做文章 本节课在一些高考题的基础上加以拓展和深化 同时融入三角和不等式的知识 加强知识的综合运用 所以根据上述教学内容 结合课程标准和学生的实际 确定教学目标 教学重点和难点 学习目的 1 通过椭圆中焦点三角形的复习 进一步掌握椭圆的两种定义 2 通过变式训练拓展学生的思维 3 联系高考 讲练结合 夯实基础 学习的重点与难点 椭圆的第一 第二定义的运用 三 教学的反思与分析三 教学的反思与分析 一 转换问题情境 将问题进行类化 一 转换问题情境 将问题进行类化 问题情境是问题的呈现方式 一个问题的呈现方式与构建的认知结构越接 近 就越有利于知识的迁移和运用 本节课问题 一 在解决完例题 1 之后 又利用变题 1 2 实现情境的转换 依据问题与认知结构间的共同因素 将问 题进行 类化 类化 是指将问题纳入相应的同类知识结构中 并从这个 结构中寻找解决问题的方法和策略的过程 在转换问题的情境后 根据转换后 的问题与认知结构间的共同因素和联系 将问题与知识结构 新知与旧知 未 知与已知相 链接 利用所构建的知识结构去 类化 这个新问题 问题 一 问题的情境进行转化后 便将变题的 1 2 类化 到学生已 构建关于焦点三角形的轨迹的认知结构中 在这个结构中找到解决的途径和方 法 这样有利于学生形成知识的广泛迁移能力可以避免对知识的死记硬背 实 现知识点之间的贯通理解和转换 有利于认识事件的本质和规律 提高解决问 题的灵活性和有效性 二 二 构建具有清晰 概括 包容性的认知结构 构建具有清晰 概括 包容性的认知结构 现代认知心理学家都非常重视认知结构的重要性 他们都持同化论的观点 主张认知结构是实现新旧知识间相互作用的有机场所 通过广域性认知结构 知识网络 的构建 在新旧知识间和所学知识与新问题间建立起实质性的联 4 系 使新知 新问题 新情境 同化 纳入到原有的认知结构中 并在这个结 构中确立其合适的位置 这样 这个新问题 新情境变成了 旧 问题 旧 知识 减少了学生对该问题的陌生感 在不自觉中实现了知识的迁移和运用 同时 这个认知结构中所储存的知识不再是零碎的 孤立的 而是经过转换的 一般性 概括性的观念结构 不再是陈述性的知识而是程序性的知识 不再是 封闭性的知识个体而是开放性和包容性的知识结构 本节课中的问题 二 焦点三角形的性质 通过例题 2 的六个不同的问题 把三角函数 面积 基本不等式等等看似不同的知识联系在焦点三角形中 把 新旧知识建立成一个整体的认知结构 实现知识的转化与迁移 拓展学生的思 维 三 梯度练习 巩固强化知识三 梯度练习 巩固强化知识 例题 利用例 1 利用椭圆的简单定义 求轨迹方程 例题 2 综合运用各种不 等式 三角的知识解决椭圆中焦点三角形的问题 符合学生的认知规律