第一部分附录1

165 附录一附录一 高等数学高等数学 A 一 补充习题 一 补充习题 第一章第一章 函数和极限函数和极限 1 一列火车以初速度并以等加速度出站 当速度达到后火车就按等速运动前进 从出站 0 va 1 v 经过时间后火车又以减加速度进站 直至停止 试写出火车速度和时间 的函数关系 Ta2vt 2 设是周期为的函数 它在表达式为 试作出在 x fy 2 2 0 2 x cos x fy x fy 上的图像 并求 的值 4 2 3 23 f 6 f 3 试把和表示成几个简单函数的复合 1x 1 cos x fy 2 2 3 2 x1 ln 1 x gy 4 设 求 x2cos x cosf x fy 5 设 而 又 求 x2cos x f 1x x f 2 0 x x u 6 设 且 利用极限定义证明 n 0 xn n1n qxx 1q0 0 xlim n n 7 若 证明 有 0A x flim 0 xx 0 0 x 00 xx0 A 2 3 x f 2 A 8 设 求 0 x2x 0 xx2 x g 0 xx 0 xx x f 2 x f g 9 利用极限定义证明下列极限 2 3 3x2 2x3 lim x 0 x 1x lim 1x 0 4x 9x lim 2 3x 2 1x 1x lim 1x 10 求下列极限 1x nxxx lim n2 1x a a1 a1 lim n n n 0 0 xx xx xsinxsin lim 0 xarctan xcosx2 xxsin lim 2 x xcosln x2cosxcos1 lim 0 x x3 xcos21 lim 3 x xxsin ee lim xxsin 0 x x 1x x e e lim 166 xsin1x sinlim x x 0 x xcoslim x 1 2 ba lim xx 0 x 1b 1a 0b a x1ln x2 x1ln x lim 0 x n n k n 2 n 1 n aaalim k 1i 0a i x xsin e1 e2 lim x 1 x 1 0 x nnn n 2nn 2 1nn 1 lim 222 n nn sinlim 22 n 11 证明是收敛数列 并求此极限 n x 1x1 2n 1n 1n n x1 x 1x 1x1 2n 1x 4 3 x 1nn 10 x1 2n 1nn x6x 2x1 5x2 3n xx 2 1 x 2n1nn 12 设 证明 0 x1 0y1 2n 1n1nn yxx 2 yx y 1n1n n n n n n ylimxlim 13 若 求常数 1x 3axx2 lim 2 1x a 14 设是的多项式 且 求 x px1 x x2 x p lim 2 3 x 3 x x p lim 0 x x p 15 讨论下列函数的间断点及其类型 若为可去间断点 希望补充或修改定义 使之连续 1x 1 arctan xtan x x fy 4x1 x 1 cos x fy 2 x 1 x 1 21 21 x fy 1x 1x 1x x 2 cos x fy n n2n n x2lim x fy 16 设 问常数为何值时 为连续函数 0 x 0 x 0 x xxln x ln x 1 b xcos1 axsin x fy 2 b a x f 17 若 有 并且在连续 Ry x y f x f yx f x fy 0 x 167 证明在连续 x fy 18 若在连续 证明在也连续 x fy 0 xx x f 0 xx 反之 若在连续 则在是否连续 为什么 x f 0 xx x fy 0 xx 19 设 在上有定义 连续且不为 有间断点 x f x x f x 问下列函数 哪个函数必有间断点 为什么 x f x f 2 x x f x 20 证明在内为无界函数 但是时 x 1 sin x 1 x fy 1x0 0 x x f 21 设在上连续 x f b a bdca 0n m 证明 使 b a f nm d nf c mf 22 设在上连续 x f 1 0 0 x f 1 0 x 0 1 f 0 f 证明 必 使 10 1 0 x0 x f x f 00 23 设在上连续 的值域也为 x f b a x f b a 证明在上必存在一个不动点 即 使 x f b a b a x0 00 x x f 24 设在上连续 且 使 x f b a b a x b a y x f 2 1 y f 证明 使 b a 0 f 第二章第二章 导数和微分的概念及其计算方法导数和微分的概念及其计算方法 1 设 在连续 问在处是否可导 若可导 求 x ax x f x ax x fax a f 2 设在连续 并且存在 证明在处可导 x fy 0 x x x f lim 0 x x fy 0 x 3 设可导 试求在处可导的充要条件 x f xsin1 x f x F x F0 x 4 已知 求 1 x f 0 xx f x2x f x lim 00 0 x 5 若在内恒有 问在处是否可导 为什么 x f 0 2 x x f x f0 x 168 6 设 求常数 使为可导函数 0 x 0 x x2sinb e x fy a x b a x f 7 设 求常数 使为可导函数 0 x 0 x bax x2e x fy 3 x 1 b a x f 8 设 为可导函数 求 0 x 0 x 0 x 1 cos x g x fy0 0 g 0 g x g x f 9 设 试问 0 x 0 x 0 x 1 sinx x fy k 当为何值时 为连续函数 k x f 当为何值时 为可导函数 k x f 当为何值时 为连续可导 即连续可微 函数 k x f 10 设 试讨论在处的连续性 0 x 0 x 0 x 1 arctanx x fy 2 x f y 0 x 11 设 求 22 xsin x fy x f 2 x f 12 设 求 x e x f xcos x g 0 x x f g x g f x f g x g f dx d dx d dx d dx d 13 设 求 2x3 2x3 fy 2 xarctan x f 0 xdx dy 14 设 求使存在的最高阶数 xxx3 x f 23 0 f n n 15 设 其中具有二阶导数 求 x fsiny 2 x f 2 2 dx yd 16 求下列函数的阶导数 n 2x3x x x fy 2 3 bxa bxa ln x fy 0b a x21 x x fy xcosxsin x fy 44 xsine x fy x 2x2x5ln x x fy 2 17 求下列函数的导数 169 求 求 x2sin1 x2sin1 ln x fy y x1x1 x1x1 x fy y 求 求 x 1 x1 x fy y xxa xax axx x fy y 求 1xx ln x fy 22 3 f 其中 都可导 求 x x x fy x x y 设由方程确定 求 x yy y xe1y 0 x 2 2 dx yd 设由方程确定 求 x yy 1xye yx 0 y 设由方程确定 具有二阶导数 并且 求 x yy y y f exe x f1 x f 2 2 dx yd 设由方程确定 求 y xx tarctanty t1lnx 2 2 2 dy xd 18 求分别过 的曲线 的切线方程 1 1 A 2 0 B 3 xy 19 求过原点并且与曲线相切的直线方程 5x 9x x fy 20 证明曲线 上任一点处切线在坐标轴上的截距平方之和为常数 32 3 232 ayx 0a 21 求对数螺线在处的切线方程 er 2 e r 2 00 第三章第三章 中值定理及其应用中值定理及其应用 1 设在上连续 在内可导 x f 1 0 1 0 0 0 f 0 2 1 f 0 1 f 证明 使 1 0 0 f 2 设 在上连续 在内可导 且 x f x g b a b a 0 x g 证明 使 b a g f b g g f a f 3 设在上有连续 在内可导 x f 1 0 1 0 0 1 f 170 证明 使 1 0 f2 f 4 设 在上有二阶导数 x f x g b a 并且 b a x 0 x g b g a g b f a f 0 证明 使 b a x 0 x g b a g f g f 5 设在上连续 在内可导 x f 1 0 1 0 0 0 f 1 f 1 2 1 f 证明 使 使 1 2 1 fR 0 1 f f 6 验证函数关于 Lagrange 定理的正确性 2x1 1x x 1x2 x fy 2 1 2 7 证明 使 b a e1 e e1 e ln ab 1 e1 1 ba ab 8 设在上连续 在内二阶可导 x f b a b a 若 证明 使 0 b f a f 0 c f bca b a 0 f 若连结 两点割线和曲线相交于 a f aA b f bBAB x fy c f cCbca 证明 使 b a 0 f 9 证明恒等式 当时 1x 4x1 x2 arccos 2 1 xarctan 2 10 设在上连续 在内可导 x f b a b a 0ab 证明 使 b a ba a bf b af f f 11 设在上连续 在内可导 x f b a b a ba0 证明 使 b a a f b f a b ln f 12 设在上连续 在内可导 且 x f 2 0 2 0 0 2 f 证明 使 b a 0 f tan f 13 设在上连续 在内可导 x f b a b a 0 x f 171 证明 使 b a e ab ee f f ab 14 设在上可导 并且 证明 使 x f 0 2 x1 x x f0 0 22 2 1 1 f 15 试求下列极限 x2sin x1e lim 6 3x 0 x 3 xarctanx xcosxxsin lim 22 222 0 x xarcsin e x1 lim 3 3 0 x x 1 2 x 1 10 0 x e x 1 lim 1x xlim x23 x x xcosln x xarcsin x 1 lim 232 0 x xcos1 1 xtan x lim 0 x xln 1 xarctan 2 lim x xsin1 1xcos ln lim 2 1x x100 x xlim 2 x 1x nlim n n 0 x n n n a 1b 1 lim 0b 0a 16 设在某邻域内二阶可导 且 求 x f0 x 2 0 f 0 x x f lim 0 x x 1 x x f 1 lim 0 x 17 设 其中有二阶连续导数 0 x 0 x a x xcos x g x f x g1 0 g 求 使连续 试在 的条件下讨论连续性 a x f x f 18 设 求 t t xt xt xlim x f x f 19 设在上连续 在内可导 x f b a b a 0 b f a f b a x 0 x f 证明 b a x 0 x f 20 设 在内二阶可导 1 x x f lim 0 x x f x 0 x f 证明 有 x x x f 21 证明下列不等式 当时 有 当时 有 0 x x1ln x1 1ex 0 x 22 1x xln 1x 当时 有 x1ln xarctanx2 2 0 x 0a e1ax2x x2 172 当时 有 其中 0 x xaa a xa ea 当时 有 1x0 2 1 x 1 x1ln 1 1 2ln 1 22 设 为恒大于零的可导函数 并且 则当时 x f x g0 x g x f x g x f bxa 下面四式哪个正确 为什么 D C B A A x g b f b g x f B x g a f a g x f C b g b f x g x f D a g a f x g x f 23 证明方程在上只有两个实根 xlnx1x 2 0 24 当时 试讨论方程的实根个数 0k k e x xln 25 设在上连续 为常数 x f a 0 a f ax 0k x f k 证明在内有唯一实零点 x f a 26 设在上可微 证明方程最多只有一个实根 x f 0 x f x f 0 x f 27 问为何值时 在处取得极值 它是极大值还是极小值 ax3sin 3 1 xsina x f 3 x 28 设具有二阶导数 x f0 0 f 1 x x f lim 0 x 问 是否为的极值点 为什么 是否为的拐点 为什么 0 x x f 0 f 0 x f 29 设在处取得极值 又 是的驻点 x2x 2 b ax 3 1 x 4 1 x f 234 2x cx 2c x f 但非极值点 试求 之值 试问 是极大值点还是极小值点 c b a2x 30 设由方程所确定 求的极值点 x yy 1xxy2y2y2 223 x yy 31 求内接于半径为 球体的最大正圆锥体积 r 32 在曲线 的第一线象限求点 使曲线 在点切线和坐标轴所围面积最小 1y3x2 22 PP 33 试在曲线 求点 使曲线 在点切线被两坐标轴所截线段最短 2 x 1 y PP 34 在曲线 上求点 使曲线 在点法线在轴上截距最小 6 x 3 1 y 0 x PPy 35 试作下列函数图形 173 x xln x fy 2 x1 x2 1 x fy x 1 e x fy 2 2 1x 1x x x fy 第四章第四章 不定积分计算方法不定积分计算方法 1 设 且 求 x2cos x sinf 2 1 0 f x fy 2 设 求 2 xe 1x3 f dx x f x f 3 设的一个原函数为 求 x f x xln dx x1 fx dx x1 xf 2 dx x fx 23 4 设的一个原函数为 并且 当时 x f x F0 x F 1 0 F 0 x x2sin x F x f 2 求 x fy 5 求下列不定积分 dx xcos xsinln 2 dx x1x1ln 1x 1x dx 22 dx1xarctan 2 dx x2sin 2 xsin dx 1xcosxsin dx dx x1 x x1 dx e1 xe 2x x dx 1e xe x x dx 1x tane 2x2 为正整数 dx xcosbxsina xcosbxsina 11 0ab dx xsin nxsin n 6 常数在什么条件下 有理函数的原函数全体也为有理函数 c b a 23 2 1x x cbxax x f 7 已知曲线 过点 并且 上任一点处的切线斜率为 x fy 2 1 0 x f x x1ln x 2 求 x fy 174 8 设 并且 求 2x x ln 1x f 2 2