新课标高考立体几何线面角的计算归类分析

新课标高考立体几何新课标高考立体几何 线面角的计算归类分析线面角的计算归类分析 深圳市第二实验学校 李平 作者简介 李平 男 1970 年 12 月生 硕士研究生 高级教师 现任深圳市第二实验学 校总务处副主任 深圳市 技术创新能手 称号 深圳市高考先进个人 在教 材教法 高考研究 教材编写等方面成效显著 主持和参与省 市级课题多项 主编和参编教育类书籍多部 发表教研论文多篇 辅导学生参加各类竞赛有多 人次获奖 摘 要 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角 然后 再用代数 三角的方法求解 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法 是立体几何 中十分重要的思想方法 同时它也体现了等价转化 数形结合的思想 充分地展示了平移 法 射影法 补形法这些立体几何特有方法的威力 关键词 线面角 空间角 平移法 等体积法 空间向量方法 线面角线面角 直线和平面所成的角直线和平面所成的角 1 1 定定义义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条斜线和这 个平面所成的角 若直线平面 则 与所成角为 l l 90 若直线平面或直线平面 则 与所成角为 l l l 0 2 2 线线面面角角的的范范围围 0 2 3 3 线线面面角角的的求求法法 1 1 定定义义法法 垂垂线线法法 2 2 虚虚拟拟法法 等等体体积积法法 3 3 平平移移法法 4 4 向向量量法法 线面角是立体几何中的一个重要概念 它是空间图形的一个突出的量化指标 是空间位置关系的具体体现 是培养学生逻辑推理能力 树立空间观念的重要途径 故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中 求解线面角问题一般遵循 找 证 算三个步骤 并多以棱锥与棱柱作为考查的 载体 求解线面角的方法主要有两种 一是利用传统几何方法 二是利用空间向量 方法 总之 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角 然 后再用代数 三角的方法求解 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法 是立 体几何中十分重要的思想方法 同时它也体现了等价转化 数形结合的思想 充分 地展示了平移法 射影法 补形法这些立体几何特有方法的威力 本作者试就这一热点作一比较系统的归类与分析 希望对同学们进行有针对性的 训练和复习有一定的帮助 例题分析例题分析 1 1 定义法定义法 垂线法垂线法 斜线与它在平面内的射影所成的角 即为线面角 解决该类 问题的关键是找出斜线在平面上的射影 然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线 所成的角 在某一直角三角形内求解 例例 1 1 2 20 01 11 1 天天津津卷卷 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 ADC 45 AD AC 1 O 为 AC 的中点 PO 平面 ABCD PO 2 M 为 PD 的中点 1 证明 PB 平面 ACM 2 证明 AD 平面 PAC 3 求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值 证明 1 连接 BD MO 在平行四边形 ABCD 中 因为 O 为 AC 的中点 所以 O 为 BD 的中点 又 M 为 PD 的中点 所以 PB MO 因为 PB 平面 ACM MO 平面 ACM 所以 PB 平面 ACM 2 因为 ADC 45 且 AD AC 1 所以 DAC 90 即 AD AC 又 PO 平面 ABCD AD 平面 ABCD 所以 PO AD 而 AC PO O 所以 AD 平面 PAC 3 取 DO 中点 N 连接 MN AN 因为 M 为 PD 的中点 所以 MN PO 且 MN PO 1 由 PO 平面 ABCD 得 MN 平面 ABCD MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角 在 Rt DAO 中 AD 1 AO 所以 DO 从而 AN DO 在 Rt ANM 中 tan MAN 即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 点评点评 求线面角求线面角 解题时要明确线面角的范围解题时要明确线面角的范围 利用转化思想利用转化思想 将其转化为一个平将其转化为一个平 面内的角面内的角 通过解三角形来解决通过解三角形来解决 求解的关键是作出垂线求解的关键是作出垂线 即从斜线上选取异于斜足的一即从斜线上选取异于斜足的一 点作平面的垂线点作平面的垂线 有时也可采用间接法和空间向量法有时也可采用间接法和空间向量法 借助公式直接求解借助公式直接求解 2 2 虚虚拟拟法法 等等体体积积法法 线面角的求法还可以不用做出 平面角 可求出线上某点到 平面的距离 利用可求 即先运用等积法求dsin d AB 点到平面的距离 后虚拟 直角三角形求解 例例 2 2 2011 2011 全国卷全国卷 如图 四棱锥中 SABCD 侧面为等边三角形 ABCDBCCD SAB2 1ABBCCDSD I 证明 平面 SD SAB II 求与平面所成的角的大小 ABSBC I 证明 取的中点 连接 ABEDEDB ABCD 2AB 1CD BCCD BECD1BECD 90BCD 四边形是矩形 BCDE DEAB 2DEBC 又 1SDAE 2DESA ADAD SADADE 即 90AED 90DSA SDSA 同理可证 又 平面 SDSB SASBS SD SAB II 解 线面角的求法还可以不用作出平面角 可求出线上某点到平面的距离 利用d 可求 故只需求点到面的距离即可 sin d AB ASBCd 由等积转化思想可知 A SBCSABC VV D SABSABD VV 设点到面的距离为 点到面的距离为 ASBCdSABCDh 由 I 问可知 平面 SD SAB 1 3 D SABSAB VSD S 又 1 sin603 2 SAB SSA SB 11 2 22 22 ABD SDE AB 由 式可知 即 11 33 SABABD SD Sh S 11 132 33 h 3 2 h 又 平面 又 SD SABSDAB ABCDSDCD 又知 22222 112SCSDDC 2SBBC 22222 2223 cos 22 2 24 SBBCSC SBC SB BC 7 sin 4 SBC 1177 sin2 2 2242 SBC SSB BCSBC 又 11 2 22 22 ABC SBC AB 由 式可知 即 11 33 SBCABC d Sh S 1713 2 3232 d 2 21 7 d 由可得 sin d AB 2 21 21 7 sin 27 d AB 点评点评 以上解法主要运用三角形全等和等积转化的思想 思路自然 属常规通法 以上解法主要运用三角形全等和等积转化的思想 思路自然 属常规通法 是高三学生应熟练掌握的基本思想和方法 是高三学生应熟练掌握的基本思想和方法 3 3 平平移移法法 通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移 计算其平行线与平面 所成的角 也可平移平面 例例 3 3 2 20 01 10 0 山山东东卷卷 如图 在五棱锥 P ABCDE 中 平面 ABCDE AB CD PA AC ED AE BC 三角形 PAB 是等腰三角452 224ABCABBCAE E 形 求证 平面PCD 平面PAC 求直线PB与平面PCD所成角的大小 解 证明 因为ABC 45 AB 2 BC 4 2 所以在中 由余弦定理得 ABC 222 AC 2 2 4 2 2 24cos45 8 解得 所以 AC 2 2 222 AB AC 8 8 16 BC 即 又 PA 平面 ABCDE 所以 PA ABAC AB 又 PA 所以 ACA ABAC 平面P 又 AB CD 所以 ACCD 平面P 又因为 所以平面 PCD 平面CDCD 平面P PAC 解解法法一一 平平移移直直线线法法 延长线段 AE CD 相交于点 H 连结 PH 构成四棱锥 P ABCH 如图所示 连结 BH 交 AC 于点 M 取 PH 中点 N 则 MN PB 所以直线 PB 与平面 PCD 所成的角 就是直线 MN 与平面 PCH 所成的角 过点 M 作 MG PC 于点 G 因为平面 PCD 平面 PAC 所以 MG 平面 PCH 所以 MNG 就是直线 MN 与平面 PCH 所成的角 即直线 PB 与平面 PCD 所成的角 取 PC 的中点 F 连结 AF 由 1 知 PA AC 2 2 所以 AF PC 因为平面 PCD 平面 PAC 所以 AF 平面 PCH 又因为 MG 平面 PCE M 为线段 AC 的中点 所以 G 为线段 FC 的中点 所以 MG AF 1 MN PB 2 所以 sin MNG 所以 MNG 1 2 1 2 MG MN 1 26 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 6 解解法法二二 平平移移平平面面法法 如图 构造三棱柱 取 PC 的中点 F 连结 AF PACP BC 由 1 知 PA AC 所以 AF PC 2 2 因为平面 PCD 平面 PAC 所以 AF 平面 PCD 过点 B 作点 所以 平面BFP C F BF PCD 连结 则就是 PB 在平面 PCD 上的射影 PF PF BPF 就是直线 PB 与平面 PCD 所成的角 因为 sin BPF 1 2 BFAF BPPC 所以 BPF 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 6 6 点评点评 利利用用平平行行线线与与平平面面所所成成的的角角的的相相等等性性 通通过过补补充充图图形形 完完成成合合理理转转化化 4 4 向向量量法法 设平面的法向量为 直线与平面所成的角为 则 n AB D C B A E P 即利用平面的法向量将线面角问题转化为两个向量的夹角问题 sin ABn ABn A 可避免作角这一步骤 从而降低了求解的难度 例例 4 4 2 20 00 07 7 全全国国卷卷 四棱锥中 底面为平行四边形 侧面SABCD ABCD 底面 已知 SBC ABCD45ABC 2AB 2 2BC 3SASB 证明 SABC 求直线与平面所成角的正弦值 SDSAB 解 作 垂足为 连结 SOBC OAO 由侧面底面 得平SBC ABCDSO 面 ABCD 因为 所以 SASB AOBO 又 为等腰直角三角形 45ABC AOB AOOB 如图 以为坐标原点 为轴正向 OOAx 建立直角坐标系 Oxyz 2 0 0 A 02 0 B 02 0 C 0 01 S 2 01 SA 0 2 2 0 CB 所以 0SA CB ASABC 取中点 连结ABE 22 0 22 E 取中点 连结 SESEGOG 22 1 442 G 22 1 442 OG 22 1 22 SE 22 0 AB 与平面内两条相交直线 垂直 0SE OG A0AB OG AOGSABSEAB 所以平面 与的夹角记为 与平面所成的角记为 OG SABOGDS SDSAB 则与互余 2 2 2 0 D 2 2 21 DS 22 cos 11 OG DS OG DS A A 所以 直线与平面所成角的正弦值为 22 sin 11 SDSAB 22