电磁感应中 杆+导轨 模型问题

电磁感应中电磁感应中 杆杆 导轨导轨 模型问题模型问题 例 1 相距 L 1 5m 的足够长金属导轨竖直放置 质量 m1 1kg 的金属棒 ab 和质量 m2 0 27kg 的金属棒 cd 均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上 如图 1 所示 虚线 上方磁场的方向垂直纸面向里 虚线下方磁场的方向竖直向下 两处磁场磁感应强度大小 相同 ab 棒光滑 cd 棒与导轨间动摩擦因数 0 75 两棒总电阻为 1 8 导轨电阻不计 ab 棒在方向竖直向上 大小按图 2 所示规律变化的外力 F 作用下 从静止开始沿导轨匀加 速运动 同时 cd 棒也由静止释放 g 10m s2 1 求 ab 棒加速度的大小和磁感应强度 B 的大小 2 已知在 2s 内外力 F 做了 26 8J 的功 求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热 3 求出 cd 棒达到最大速度所需的时间 t0 并在图 3 中定性画出 cd 棒所受摩擦力 fcd 随 时间变化的图线 解 1 所以 33 1 2 分 由图 2 的截距可知 33 2 2 分 由图 2 的斜率可知 33 3 2 分 2 33 4 2 分 33 5 2 分 3 所以有 33 6 2 分 33 7 2 分 例 2 如图所示 两条光滑的金属导轨相距 L 1m 其中 MN 段平行于 PQ 段 位于同一 水平面内 NN0 段与 QQ0 段平行 位于与水平面成倾角 37 的斜面内 且 MNN0 与 PQQ0 均在竖直平面内 在水平导轨区域和倾斜导轨区域内分别有垂直于水平面和斜面的 匀强磁场 B1 和 B2 且 B1 B2 0 5T ab 和 cd 是质量均为 m 0 1kg 电阻均为 R 4 的两 根金属棒 ab 置于水平导轨上 cd 置于倾斜导轨上 均与导轨垂直且接触良好 从 t 0 时 刻起 ab 棒在外力作用下由静止开始沿水平方向向右运动 ab 棒始终在水平导轨上运动 且垂直于水平导轨 cd 棒受到 F 0 6 0 25t N 沿斜面向上的力的作用 始终处于静止 状态 不计导轨的电阻 sin37 0 6 1 求流过 cd 棒的电流强度 Icd 随时间 t 变化的函数关系 2 求 ab 棒在水平导轨上运动的速度 vab 随时间 t 变化的函数关系 3 求从 t 0 时刻起 1 0s 内通过 ab 棒的电荷量 q 4 若 t 0 时刻起 1 0s 内作用在 ab 棒上的外力做功为 W 16J 求这段时间内 cd 棒产生 的焦耳热 Qcd 解析 1 cd 棒平衡 则 F Fcd mgsin37 2 分 Fcd BIcdL 1 分 得 Icd 0 5t A 2 分 2 cd 棒中电流 Icd Iab 0 5t A 则回路中电源电动势 E Icd R 总 1 分 ab 棒切割磁感线 产生的感应电动势为 E BLvab 1 分 解得 ab 棒的速度 vab 8 t m s 2 分 所以 ab 棒做初速为零的匀加速直线运动 3 ab 棒的加速度为 a 8m s2 1 0s 内的位移为 S at2 8 1 02 4m 1 分 根据 1 分 得 q t 0 25C 2 分 4 t 1 0s 时 ab 棒的速度 vab 8t 8m s 1 分 根据动能定理 W W 安 mv2 0 2 分 得 1 0s 内克服安培力做功 W 安 16 0 1 82 12 8J 1 分 回路中产生的焦耳热 Q W 安 12 8J cd 棒上产生的焦耳热 Qcd Q 2 6 4J 1 分 对应小练习 对应小练习 1 如图所示 足够长的两根光滑固定导轨相距 0 5m 竖直放置 导轨电阻不计 下端连接 阻值为的电阻 导轨处于磁感应强度为 B 0 8T 的匀强磁场中 磁场方向垂直于导 轨平面向里 两根质量均为 0 04kg 电阻均为 r 0 5的水平金属棒和都与导轨接 触良好 金属棒用一根细线悬挂 细线允许承受的最大拉力为 0 64N 现让棒从静 止开始下落 经 ls 钟细绳刚好被拉断 g 取 10m s2 求 l 细线刚被拉断时 整个电路消耗的总电功率 P 2 从棒开始下落到细线刚好被拉断的过程中 通过棒的电荷量 解 细线刚被拉断时 ab 棒所受各力满足 F IabLB mg 得 Iab 0 6A 电阻 R 中的电流 IR 0 3A cd 棒中的电流 Icd Iab IR 0 6 A 0 3A 0 9A cd 棒中 产生的感应电动势 E Icd0 75V 整个电路消耗的总电功率 P Pab Pcd PR Iab2r Icd2r IR2R 0 675W 或 P E Icd 0 675W 设线断时 cd 棒的 速度为 V 则 E BLV 故 V 1 875m s 对 cd 棒由动量定理可得 mgt qLB mV 得 q 0 8125C 2 20 分 如图所示 足够长的光滑平行金属导轨 MN PQ 竖直放置 一个磁感应强度为 B 0 5T 的匀强磁场垂直穿过导轨平面 导轨的上端 M 与 P 间连接阻值为 R 0 3 的电阻 长为 L 0 40 m 电阻为 r 0 2的 金属棒 ab 紧贴在导轨上 现使金属棒 ab 由静止开始下滑 通过传感器记录金属棒 ab 下滑的距离 其下滑的距离与 时间的关系如下表所示 导轨的电阻不计 时间 t s 00 100 200 300 400 500 600 70 下滑距离 s m 00 100 300 701 201 702 202 70 求 1 在前 0 4s 的时间内 金属棒 ab 电动势的平均值 2 在 0 7s 时 金属棒 ab 两端的电压值 3 在前 0 7s 的时间内 电阻 R 上产生的热量 Q 解 1 4 分 2 从表格中数据可知 0 3s 后棒做匀速运动 2 分 速度 2 分 4 分 解得 m 0 04 Kg ab 棒两端的电压 u E Ir 0 6V 3 分 3 棒在下滑过程中 有重力和安培力做功 克服安培力做的功等于回路的焦耳热 则 2 分 2 分 解得 Q 0 348J 1 分 3 如图甲所示 两条足够长的光滑平行金属导轨竖直放置 导轨间距 L 1m 两导轨的上 端间接有电阻 阻值 R 2 虚线 OO 下方是垂直于导轨平面向里的匀强磁场 磁感应强 度 B 2T 现将质量为 m 0 1Kg 电阻不计的金属杆 ab 从 OO 上方某处由静止释放 金 属杆在下落过程中与导轨保持良好接触 且始终保持水平 不计导轨电阻 已知金属杆下 落 0 4m 的过程中加速度 a 与下落距离 h 的关系如图乙所示 g 10m s2 求 1 金属杆刚进入磁场时的速度多大 2 金属杆下落 0 4m 的过程中 电阻 R 上产生了多少热量 4 如图所示 在磁感应强度为 B 2T 方向垂直纸面向里的匀强磁场中 有一个由两条曲 线状的金属导线及两电阻 图中黑点表示 组成的固定导轨 两电阻的阻值分别为 R1 3 R2 6 两电阻的体积大小可忽略不计 两条导线的电阻忽略不计且中间用绝缘 材料隔开 导轨平面与磁场垂直 位于纸面内 导轨与磁场边界 图中虚线 相切 切 点为 A 现有一根电阻不计 足够长的金属棒 MN 与磁场边界重叠 在 A 点对金属棒 MN 施加一个方向与磁场垂直 位于导轨平面内的并与磁场边界垂直的拉力 F 将金属棒 MN 以速度 v 5m s 匀速向右拉 金属棒 MN 与导轨接触良好 以切点为坐标原点 以 F 的方 向为正方向建立 x 轴 两条导线的形状符合曲线方程m 求 1 推导出感应电动势 e 的大小与金属棒的位移 x 的关系式 2 整个过程中力 F 所做的功 3 从 A 到导轨中央的过程中通过 R1 的电荷量 解 1 所以 4 分 2 因为 所以 由于导体做匀速运动 力 F 所做的功等于电路中电流所做的功 有效值 分 导体切割磁感线的时间 电路中总电阻 分 拉力 F 所做的功 分 3 由 可知 Emax BS m 所以 Wb 2 分 通过电阻 R1 的电量为 2 分 课后练习课后练习 1 如图所示 两足够长平行光滑的金属导轨 MN PQ 相距为 L 导轨平面与水平面夹角 30 导轨上端跨接一定值电阻 R 导轨电阻不计 整个装置处于方向竖直向上的匀 强磁场中 长为 L 的金属棒 cd 垂直于 MN PQ 放置在导轨上 且与导轨保持电接触良好 金属棒的质量为 m 电阻为 r 重力加速度为 g 现将金属棒由静止释放 当金属棒沿导轨 下滑距离为 s 时 速度达到最大值 vm 求 1 金属棒开始运动时的加速度大小 2 匀强磁场的磁感应强度大小 3 金属棒沿导轨下滑距离为 s 的过程中 电阻 R 上产生的电热 解 1 金属棒开始运动时的加速度大小为 a 由牛顿第二定律有 2 分 解得 2 分 2 设匀强磁场的磁感应强度大小为 B 则金属棒达到最大速度时 产生的电动势 1 分 回路中产生的感应电流 1 分 金属棒棒所受安培力 1 分 cd 棒所受合外力为零时 下滑的速度达到最大 则 1 分 由 式解得 1 分 3 设电阻 R 上产生的电热为 Q 整个电路产生的电热为 Q 总 则 3 分 1 分 由 式解得 1 分 2 如图甲 MN PQ 两条平行的光滑金属轨道与水平面成 30 角固定 M P 之间 接电阻箱 R 导轨所在空间存在匀强磁场 磁场方向垂直于轨道平面向上 磁感应强度为 B 0 5T 质量为 m 的金属杆 a b 水平放置在轨道上 其接入电路的电阻值为 r 现从静止 释放杆 a b 测得最大速度为 vm 改变电阻箱的阻值 R 得到 vm 与 R 的关系如图乙所示 已知轨距为 L 2m 重力加速度 g 取 l0m s2 轨道足够长且电阻不计 当 R 0 时 求杆 a b 匀速下滑过程中产生感生电动势 E 的大小及杆中的电流方向 求金属杆的质量 m 和阻值 r 当 R 4 时 求回路瞬时电功率每增加 1W 的过程中合外力对杆做的功 W 甲 乙 解 解法一 由图可知 当 R 0 时 杆最终以 v 2 m s 匀速运动 产生电动势 E BLv 1 分 E 2V 1 分 杆中电流方向从 b a 1 分 设最大速度为 v 杆切割磁感线产生的感应电动势 E BLv 由闭合电路的欧姆定律 1 分 杆达到最大速度时满足 1 分 解得 v 1 分 由图像可知 斜率为 纵截距为 v0 2m s 得到 v0 1 分 k 1 分 解得 m 0 2kg 1 分 r 2 1 分 由题意 E BLv 1 分 得 1 分 1 分 由动能定理得 W 1 分 1 分 W 0 6J 1 分 解法二 设最大速度为 v 杆切割磁感线产生的感应电动势 E BLv 由闭合电路的欧姆定律 1 分 由图可知 当 R 0 时 v 2 m s 2 分 当 R 2 时 v 4m s 2 分 解得 m 0 2kg 1 分 r 2 1 分 由题意 1 分 得 1 分 1 分 由动能定理得 1 分 1 分 W 0 6J 1 分 3 如图甲 两光滑的平行导轨 MON 与 PO Q 其中 ON O Q 部分是水平的 倾斜部分与 水平部分用光滑圆弧连接 QN 两点间连电阻 R 导轨间距为 L 水平导轨处有两个匀强 磁场区域 分别是 cdef 和 hgjk 虚线包围区 磁场方向垂直