第四讲导数的定义及其计算

Page 1 of 16 第四讲第四讲 导数 微分 高阶导的计算导数 微分 高阶导的计算 有关知识 有关知识 1 1 导数 微分的概念 性质 基本导数公式表 导数 微分的概念 性质 基本导数公式表 2 2 求导法则 求导法则 3 3 在在处可导处可导在在处左 右导数都存在且相导 可导处左 右导数都存在且相导 可导 xf 0 x xf 0 x 连续 反之不然 连续 反之不然 4 4 高阶导数的计算 高阶导数的计算 记住几个简单函数的高阶导数 记住几个简单函数的高阶导数 特别 特别或或 及菜布尼兹公式 及菜布尼兹公式 cos sin ln xaxxxaae xx 1 1 x x 1 1 例例 1 1 1 1 设 设 则 则 100 4 tan 2 4 tan1 4 tan 1002 xxx xf 1 f 2 2 设 设在在处可导 且处可导 且 则 则 xf1 x2 1 f tan1 2 1 sin1 lim 0 x xfxfxf x 3 3 设严格单调函数 设严格单调函数有二阶连续导数 其反函数为有二阶连续导数 其反函数为 且 且 xfy yx 则 则 3 1 2 1 1 1 fff 1 分析 分析 1 1 易见 易见 可直接由导数定义求出结果 可直接由导数定义求出结果 0 1 f 2 99 1 0 lim 1 x fxf x 2 2 已知 已知 那么 那么2 1 1 lim 0 h fhf h x xfxfxf tan1 2 1 sin1 x fxffxffxf 1 tan1 2 1 1 1 sin1 x x x fxf x fxf x x x fxftan tan 1 tan1 2 1 1 sin sin 1 sin1 8122212 另解 由题设知另解 由题设知 则 则 0 2 1 1 hhohfhf Page 2 of 16 x xfxfxf tan1 2 1 sin1 8 tan sintan42sin2 x xoxoxoxxx 3 3 又 又 时时 yxf y 1 1 32 y y dy dx y y y 1 x1 y 8 3 1 1 1 3 1 3 f f y y x 例 设例 设为多项式 且对为多项式 且对 1 xfxxqxxp xqxfxpxfx 试证试证 2 1 2 1 f 分析 初一看与导数没有关系 且由题设可以看出分析 初一看与导数没有关系 且由题设可以看出 但如 但如 2 1 2 1 2 1 pf 何说明何说明 这是问题的关键 这里用到 多项式总是可导的 这是问题的关键 这里用到 多项式总是可导的 2 1 2 1 f 证明 由题设知证明 由题设知 2 1 2 1 2 1 2 1 qpf 若若 2 1 2 1 f 则当则当时时 2 1 x 令 令 可得 可得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x pxp x fxf 0 2 1 x1 2 1 f 当当时时 2 1 x 令 令 可得 可得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x qxq x fxf 0 2 1 x1 2 1 f 从而从而 这与多项式可导矛盾 故这与多项式可导矛盾 故 2 1 2 1 ff 2 1 xf 所以所以 2 1 2 1 f 例 例 1 1 设 设 则 则xxxf 66 cossin xf n 2 2 设 设 则 则 1 1 x x xf xf n Page 3 of 16 解 解 1 1 xxxxxxxf 422466 coscossinsincossin xxx4cos 8 3 8 5 cossin31 22 2 4cos 4 2 3 1 n xxf nn 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 xx x x x x xf nn n xnxnxf 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 n n n n n n x n x n 2 1 1 2 1 1 1 2 12 1 1 2 32 1 注 求髙阶导的方法很多 主要有注 求髙阶导的方法很多 主要有 1 1 将函数恒等变形 尤其是分拆成几个简单函数的和差 然后利将函数恒等变形 尤其是分拆成几个简单函数的和差 然后利 用简单函数的高阶导求出结果 用简单函数的高阶导求出结果 2 2 用菜布尼兹公式 用菜布尼兹公式 3 3 利用幂级数展开 利用幂级数展开 4 4 归纳 递推等 归纳 递推等 当求髙阶导函数时 当求髙阶导函数时 1 1 是常用的方法 当求在某一点的髙阶导数时 是常用的方法 当求在某一点的髙阶导数时 3 3 是常用的方法 是常用的方法 例例 4 4 1 1 设 设 则 则 x exxf 100 0 200 f 2 2 设设 则 则 2 100 x exxf 0 200 f 解 解 1 1 用菜布尼兹公式 用菜布尼兹公式 100 200 0 0 200 0 200 100 2000 200 100 200 x k kxkk x x exCexf 或利用幂级数展开或利用幂级数展开 200100 100 100 100 1 100 1 xx x xxxf Page 4 of 16 由展开式中由展开式中的系数的系数可得可得 200 x 100 1 100 200 0 200 f 2 2 利用幂级数展开很容易得结果 利用幂级数展开很容易得结果 而菜布尼兹公式不方便 而菜布尼兹公式不方便 50 200 例例 5 5 设 设求求 arcsin 2 xxf 0 n f 分析 本题用前面提到的方法 分析 本题用前面提到的方法 1 1 2 2 3 3 都不方便 试一试方法 都不方便 试一试方法 4 4 解 解 得 得 再求导得 再求导得 2 1 arcsin2 x x xf xxfxarcsin2 1 2 整理得 整理得 22 2 1 2 1 1 x xf x x xfx 2 1 2 xf xxfx 两端求两端求 次导得次导得n 0 1 2 1 1 1 2 2 xnfxxfxfnnxnxfxfx nnnnn 令令 0 x得得 0 0 2 2 nn fnf 又由又由 可得 可得2 0 0 0 ff 当当时 时 1 0 12 kkn0 0 n f 当当时 时 2 1 2 kkn 212 2 1 2 0 0 kff kkn 例例 2 7 2 7 设函数设函数f f x x 在在x x 0 0 处连续处连续 下列命题错误的是下列命题错误的是 A A 若若存在存在 则则f f 0 0 0 0 B B 若若存在存在 则则f f 0 0 0 0 x xf x 0 lim x xfxf x 0 lim C C 若若存在存在 D D 若若存在存在 0 lim 0 f x xf x 则存在 0 lim 0 f x xfxf x 则存在 2007 2007 研招一研招一 解解 A A B B C C 都正确都正确 应选 应选 D D 分段函数在分段点处的连续性与导数分段函数在分段点处的连续性与导数 Page 5 of 16 命题命题 2 1 2 1 设设其中其中g g x x 在在 c c a a 内可导内可导 h h x x 在在 a a b b axxh axA axxg xf 内可导内可导 若若f f x x 在在a a点连续点连续 且存在极限且存在极限 lim limBafBxhxg axax 则存在导数 例例 2 8 2 8 函数函数f f x x 不可导点的个数是不可导点的个数是 xxxx 32 2 A 3 A 3 B 2 B 2 C 1 C 1 D 0 D 0 解解 用根轴法作用根轴法作 图图 应选应选 B B 例例 2 9 2 9 设设f f x x 在在 内有定义内有定义 对任意对任意x x都有都有f f x x 1 2 1 2f f x x 且且 当当 0 0 x x 1 1 时时 f f x x x x 1 1 试判断在试判断在x x 0 0 处函数处函数f f x x 是否可导是否可导 2 x 解解 f f 0 1 0 1 当当 1 1 x x 0 0 时时 0 0 x x 1 1 13 3 阶导数阶导数 1 1 y y 0 arcsin 2 2 1 4 nn x x yxyy 解解 1 1 方法方法 1 1 y y x x 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n x n nn x yx 方法方法 2 2 y y满足关系满足关系 x x 1 1 y y 1 4 1 4nnn xnyyxx 于是 若若n n 4 4 4 4 1 5 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4 4 5 yyyyny xx n x n n x n x n n x n n x 若 由此推出由此推出 3 1 1 1 ny n x n nn 2 2 在方程两边求导后得在方程两边求导后得 arcsin21 2 1 arcsin2 2 xyxy x x 运用莱布尼兹公式运用莱布尼兹公式 可得可得 02 1 1 2 1 2 1 2 22 yxyxyx xx yx 0 2 0 0 12 1 2 2 2 1 2 2 nnnnn ynyxxynxxynxyx得代 Page 9 of 16 因因y y 0 0 0 0 y y 0 2 0 2 因此有因此有 2 1 1 2 0 0 0 212 2 12 kkyy kkk 借助虚数单位借助虚数单位i i降幂后计算降幂后计算 例例 2 21 2 21 求求y y sin sin的的n n阶导数阶导数 x m2 解解 设设z z cos cos x ix i sinsin x x 则则 sinsin x x 是是z z的共轭复数的共轭复数 且且zzz i 其中 2 1 y y 1 1 1 2 2 2 1 0 2 2 2 1 2 0 2 2 2 1 22 k k m mk kmk m k k m k kmk m k k m k kmk m zzCzzCzzC m m m m 于是可得于是可得 22cos 1 1 0 2 2 1 2 2 2 1 22 xkmCC k m k k m m m m m m 22cos 2 1 2 12 1 0 2 n nmnkm m k k m n xkmkmCy 9 9 方向导数与梯度 二元函数的泰勒公式方向导数与梯度 二元函数的泰勒公式 例例 2 22 2 22 函数函数f f x x y y arctan arctan x yx y 在点在点 0 1 0 1 处的梯度等于处的梯度等于 A A i i B B i i C C j j D D j j 08 08 研招一研招一 解解 0 1 0 0 1 0 应选应选 A A yx ff 1 1 0 例例 2 23 2 23 设设r r 2001 2001 研招一研招一 解解 2 2 1 222 div grad rzyx则 应填应填 2 2 3 3 例例 2 24 2 24 若若 2 2 xfnxfxf n 时则当 A A B B C C D D 2002 2002 天津竞赛理工天津竞赛理工 1 n xfn 1 n xfn 2n xf 2n xfn 解解 应选应选 A A 10 10 导数与微分的几何意义导数与微分的几何意义 例例 2 25 2 25 曲线曲线 sin sin xyxy ln ln y y x x x x在点在点 0 1 0 1 处的切线方程是处的切线方程是 08 08 研招一研招一 解解 方程两端对方程两端对x x求导后代入求导后代入x x 0 0 y y 1 1 可得可得 y y 0 1 0 1 应填应填 y y x x 1 1 Page 10 of 16 例例 2 26 2 26 摆线摆线处的法线方程为处的法线方程为 解解 应填应填 3 cos1 sin t ty ttx 在 333 1 xy 例例 2 27 2 27 曲面曲面在点在点 1 2 2 1 2 2 的法线为的法线为 解解 应填应填 2132 222 zyx 6 2 4 2 1 1 z y x 例例 2 28 2 28 设设u Fu F x x y y z z 有连续偏导数有连续偏导数 证明证明 曲面曲面的切的切0 x y z x y z F 平面过一个定点平面过一个定点 证证 过给定曲面上任意点过给定曲面上任意点M M X X Y Y Z Z 的切平面方程是的切平面方程是 0 21 1 13 1 32 1 222 ZzFFYyFFXxFF Z X Y Y Z X X Y Z 显然过原点显然过原点 0 21 1 13 1 32 1 222 zFFyFFxFF Z X Y Y Z X X Y Z 二 习题 二 习题 2 1 2 1 填空题填空题 1 1 设函数设函数y yy y x x 由参数方程由参数方程所确定所确定 其中其中f f可导可导 且且f f 1e 3t fy tfx 0 0 0 0 则则 0d d tx y 2 2 由方程由方程xyzxyz 所确定的函数所确定的函数z zz z x x y y 在点在点 1 0 1 1 0 1 2 222 zyx 处的全微分处的全微分 d dz z 3 3 设设z z 其中其中f f g g具有二阶连续导数具有二阶连续导数 则则 1 yxygxyf x yx z 2 1998 1998 研招一研招一 4 4 设设u u 3 3i i 4 4j j v v 4 4i i 3 3j j 且可微分函数且可微分函数f f x x y y 在点在点P P处有处有 则则 d df f P P 17 6 Pv f Pu f 5 5 设函数设函数y yy y x x 在任意点在任意点x x处的增量处的增量 y y 且当且当 x x 0 0 时时 2 1 x xy 是是 x x的高阶无穷小的高阶无穷小 y y 0 0 则则y y 1 1 Page 11 of 16 6 6 对数螺线对数螺线处的切线的直角坐标方程为处的切线的直角坐标方程为 e e 2 2 再点 7 7 设函数设函数u u x x y y z z 则单位向量 3 2 1 3 1 18126 1 1 1 1 2 2 2 n uz y x n 2005 2005 研招一研招一 8 8 若可微函数若可微函数f f x x y y 对任意对任意x x y y t t满足满足f f txtx tyty 则曲面在点则曲面在点P P 1 2 2 1 2 2 的切平面方程是的切平面方程是 4 2 1 2 x fyxft 9 9 函数函数u u 在点在点A A 1 0 1 1 0 1 处沿点处沿点A A指向点指向点B B 3 2 2 3 2 2 方向方向 ln 22 zyx 的方向导数为的方向导数为 2 2 2 2 单项选择题单项选择题 1 1 设函数设函数f f x x 在在a a的一个邻域内有定义的一个邻域内有定义 则在点则在点a a处存在连续函数处存在连续函数 g g x x 使使f f x x f f a a x x a a g g x x 是是f f x x 在在a a点可导的点可导的 A A 充分而非必要条件充分而非必要条件 B B 必要而非充分条件必要而非充分条件 C C 充分必要条件充分必要条件 D D 既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件 2 2 设设f f x x 其中其中g g x x 是有界函数是有界函数 则则f f x x 在在x x 0 0 处处 0 0 2 cos1 xxgx x x x A A 极限不存在极限不存在 B B 极限存在极限存在 不连续不连续 C C 连续连续 不可导不可导 D D 可可 导导 3 3 设函数设函数f f x x 则则f f x x 在在 R R 内内 1lim 3 n n n x A A 处处可导处处可导 B B 恰有一个不可导点恰有一个不可导点 C C 恰有两个不可导点恰有两个不可导点 D D 至至 少有三个不可导点少有三个不可导点 4 4 设函数设函数f f x x y y 在点在点 0 0 0 0 附近有定义附近有定义 且且则则 1 0 0 3 0 0 yx ff A A B B 曲面曲面z z f f x x y y 在点在点 0 0 0 0 f f 0 0 0 0 的法向量的法向量 dd3d 0 0 yxz 为为 3 1 1 3 1 1 Page 12 of 16 C C 曲线曲线在点在点 0 0 0 0 f f 0 0 0 0 的切向量为的切向量为 1 0 3 1 0 3 0 y yxfz D D 曲线曲线在点在点 0 0 0 0 f f 0 0 0 0 的切向量为的切向量为 3 0 1 3 0 1 2001 2001 研招研招 0 y yxfz 一一 2 3 2 3 设设n n 1 1 证明方程证明方程至少有两个实根至少有两个实根 01 12 12 1 2 xaxax n nn 2004 2004 天津竞赛理工天津竞赛理工 2 4 2 4 设设上定义的函数上定义的函数f f x x 在在x x 3 3 连续连续 且对任意且对任意x x 0 0 0 则则f f x x 为常数为常数 6 xfxf 2 5 2 5 若若f f x x 在在连续连续 对任意对任意x x 0 0 0 0 f f x x x x 令令 0 0lim N 0 10 n n nn anafaa则 2 6 2 6 对于任何正整数对于任何正整数n n 设设 xCxCxCxf nn n n nnn cos 1 coscos 1221 1 1 求证求证 方程方程中仅有一根中仅有一根 2 2 设设 0 22 1 在区间 xfn lim 0 2 1 2n n nnn xxfx 求满足 2 7 2 7 设函数设函数z zz z x x y y 由方程由方程所确定所确定 其中其中f f为可微为可微 2222 zxyfzyx 分函数分函数 试计算试计算 并化成最简形式并化成最简形式 y z x z yx 2 8 2 8 设变换设变换 00 2 1 2 2 2 2 2 2 a vu z y z y z y x z yxv yaxu 试确定化为把方程 2 9 2 9 设设u u x x y y 有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数 且且 2 2 2 2 2 221211 2 1 xxuxxuxxuxxxuxxxuuu yyxx 求 2 10 2 10 设设u fu f x x y y z z y y sinsinx x 0 0 e d d 2 x u z gy gfzxg求且都具有一阶连续偏导数其中 Page 13 of 16 2 11 2 11 设设z z 2 2 2 yx z x y y x gfgxyf 求阶连续导数具有阶连续偏导数具有其中 2 12 2 12 已知函数已知函数f f x x 连续连续 g g x x 2002 2002 天津竞赛理工天津竞赛理工 d 0 2 xgtxtft x 求 2 13 2 13 设设u fu f x x y y z z 为可微函数为可微函数 若若证明证明 u u 222 zyxr z f y f x f z y x 是是r r的一元函数的一元函数 2 14 2 14 设函数设函数z fz f x x y y 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数 且且 0 0 证明证明 对任意常对任意常 y f 数数C C f f x x y y C C为一直线当且仅当为一直线当且仅当 0 2 22 xyyxyyxxxy fffffff 三 习题解答或提示 三 习题解答或提示 2 1 2 1 1 3 1 3 2 d 2 dx x d dy y 3 3 2 yxgyyxgxyf y 4 10d 4 10dx x 15d 15dy y 5 5 e 4 6 6 x x y y e e 7 7 8 4 8 4x x z z 2 02 0 9 1 9 1 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 C 1 C DCC DCC 2 3 2 3 证证 f f x x 因此有因此有 lim 1 12 12 1 2 xfxaxax x n nn 且上连续 a a 0 00 0 f f b b 0 0 又又f f 0 0 0 0 根据零点定理根据零点定理 分别在分别在 a a 0 0 与与 0 0 b b 上存在上存在f f x x 的零点的零点 于是命题成立于是命题成立 2 4 2 4 证证 令令 因因N 0 0 N 6 01 nxxnxx nnn 对 3 lim 33 3 1 1 n n nn xxx 由此由此 f f x x f f 3 3 3 lim 3 00 fxfxfxxfxfxf n n n 连续在 x x 0 0 2 5 2 5 证证 因因又因又因f f x x 连连 0 lim 1 n n nnnn abaaafa有极限单减且有下界 续续 得得 0 0 limlim 1 bxxfbfafab n n n n 推出由 Page 14 of 16 2 6 2 6 证证 1 1 据介值定据介值定 0 1 0 0 cos1 1 cos 22 1 nn n n k kk nn ffxxCxf连续在 理理 存在存在单减单减 因此满因此满 cos 0 0 22 1 2 xfxxfx nnnn 单减内在另一方面使 足方程足方程是唯一的是唯一的 nn xxf的根 2 1 2 2 由由 lim1arccos lim 1arccos cos1 1 22 1 2 1 2 1 n n n n n n n n xxx于是解出 2 7 2 7 2 8 2 8 a a 2 2 2 9 2 9 1 2 zfxy z 2 2 2 3 5 123 4 2211 xx xxuxxuxxu 2 10 2 10 cose2 cos 2 sin 1 1 3 xggxx x gz f y f x f 2 11 2 11 3232 1 22112 1 1 ggffxyff y x xy x y 2 12 2 12 解解 换元换元u tu t x x后计算得后计算得 d 2d 2 00 xx uufxuuufxg 2 13 2 13 证证 用球坐标用球坐标 令令 2 15 2 15 关键是证明关键是证明 0 uut z f y f x f z y x 证明 0 2 2 d d x y 练习题练习题 1 1 1 1 设 设 与与在原点相切 则在原点相切 则 答案答案 xfy xysin 2 lim n nf 2 2 2 设 设在在内连续 在内连续 在的某个邻域内满足的某个邻域内满足 xf 0 x 8 sin1 3 sin1 xoxxfxf 且在且在处可导 则曲线处可导 则曲线在点 在点 1 1 处的切线方程为处的切线方程为1 x xfy 1 f 由条件求出 由条件求出 2 1 0 1 ff 3 3 设设在在处可导 且处可导 且 则 则 xf0 x1 1 1cos lim 0 xf x e x 0 0 ff Page 15 of 16